2011年高考全国数学试卷(新课标)-文科(含详解答案)

绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学(必修+选修I)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
一、选择题
(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（M
N ）
（A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D
【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】
{2,3},(){1,4}U M
N M
N =∴=
(2)函数(0)y x x =≥的反函数为
（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2
(0)4
x y x =≥ （C ）2
4y x =()x R ∈ （D ）2
4(0)y x x =≥ 【答案】B
【命题意图】本题主要考查反函数的求法.
【解析】由原函数反解得2
4y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数(0)y x x =≥的反函数为
2
(0)4
x y x =≥.
(3)设向量,a b 满足||||1a b ==,1
2
a b ⋅=-
,则2a b += （A 2 （B 3 （C 5（D 7
【答案】B
【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.
【解析】2221|2|||44||14()432
a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=,所以23a b +=
(4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则=23z x y +的最小值为
（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C
【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.
【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.
(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是
（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A
【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.
【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.
(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D
【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)
[(2)12][12]442422
k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+
⨯-⨯+⨯=+=，解得
5k =.
解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.
(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3
π
个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于
（A ）
1
3
（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C
【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系. 【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3
π
是此函数周期的整数倍,得
2()3
k k Z π
π
ω
⨯=
∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.
(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂
足,若2,1AB AC BD ==
=，则CD = （A ） 2 （B
（C （D ）1 【答案】C
【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.
【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥
,∴AC ⊥平面β,
BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B
【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.
【解析】第一步选出2人选修课程甲有2
46C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有
22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.
(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2
f -= (A) -
12 (B)1 4- (C)14 (D)12
【答案】A
【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量5
2
-
转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由
()f x 是周期为
2
的奇函数,利用周期性和奇偶性得:
5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-
(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4
，1），则两圆心的距离12C
C = (A)4 (B)【答案】C
【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.
【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标
为(,)(0)a a a >,则
a =,即210170a a -+=,所以由两
点间的距离
公式可求出
128C C ===.
(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为
(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D
【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.
【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离
23
OM =,在
Rt OMN
∆中,
30OMN ︒
∠=, ∴
1
32
ON OM ==,故圆N 的半径2213r R ON =-=,∴圆N
的面积为213S r ππ==.
第Ⅱ卷
注意事项：
1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码卜的准考证号、姓名和科目。

2第Ⅱ卷共2页，请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

线上.
(注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．
) (13)10
(1)x -的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 . 【答案】0
【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和组合数的性质.
【解析】由11010()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-得x 的系数为10-,9x 的系数为9
1010C -=-,所以x 的系数与
9x 的系数之差为0.
(14)已知3(,
)2
π
απ∈,tan 2α=,则cos α= . 【答案】55
-
【命题意图】本题主要考查同角三角函数的基本关系式. 要注意角的范围，进而确定值的符号. 【解析】3(,
)2
π
απ∈,tan 2α=,则cos α=5(15)已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11C D 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 .
【答案】
23
【命题意图】本题主要考查正方体中异面直线AE 与BC 所成的角.
【解析】取A 1B 1的中点M 连接EM ，AM ，AE ，则AEM ∠就是异面直线AE 与BC 所成的角。

在AEM ∆中，
222352
cos 2233
AEM +-∠==⨯⨯.
(16)已知1F 、2F 分别为双曲线C :
22
1927
x y -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为(2，0)，AM 为12F AF ∠的平分线．则2||AF = . 【答案】6
【命题意图】本题主要考查三角形的内角平分线定理，双曲线的第一定义和性质. 【解析】
AM 为12F AF ∠的平分线，∴
2211||||41
||||82
AF MF AF MF === ∴12||2||AF AF = 又点A C ∈，由双曲线的第一定义得12222||||2||||||26AF AF AF AF AF a -=-===. 三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S .
【思路点拨】解决本题的突破口是利用方程的思想建立关于a 1和公比q 的方程，求出a 1和q ，然后利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解即可。

【解析】设{}n a 的公比为q,由题设得
1116
630
a q a a q =⎧⎨
+=⎩ …………………………………3分 解得132a q =⎧⎨=⎩或123a q =⎧⎨=⎩
， …………………………………6分
当13,2a q ==时，132,3(21)n n
n n a S -=⨯=⨯-；
当12,3a q ==时，123,31n n
n n a S -=⨯=- ……………………………10分
(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)
△sin csin sin sin a A C C b B +-=. (Ⅰ)求B ；
（Ⅱ）若0
75,2,A b ==a c 求，.
【思路点拨】第（I ）问由正弦定理把正弦转化为边，然后再利用余弦定理即可解决。

（II ）在（I ）问的基础上知道两角一边可以直接利用正弦定理求解. 【解析】(I)由正弦定理得2
2
2
2a c ac b +-=…………………………3分 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-. 故2
cos 2
B =
，因此45B = .…………………………………6分 （II ）sin sin(3045)A =+
sin30cos 45cos30sin 45=+
26
4
+=
…………………………………8分 故 sin 26
13sin 2
A a b
B +=⨯
==+ sin sin 60
26sin sin 45
C c b B =⨯
=⨯=.…………………………………12分 (19)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立.
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (II)求该地3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
【命题意图】本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及次独立重复试验发生k
次的概率，考查考生分析问题、解决问题的能力. 【解析】记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险：
B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险。

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
E 表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买. (I)()0.5P A =, ()0.3P B =, C A B =+ ……………………………3分
()()()()0.8P C P A B P A P B =+=+= ……………………………6分
(II)D=C ,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2, ……………………………9分
P(E)=22
30.20.80.384C ⨯⨯=. ……………………………12分
(20）(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，四棱锥S ABCD -中， AB ∥CD ,BC CD ⊥，侧面
SAB 为等边三角形.2,1AB BC CD SD ====.
(I) 证明：SD SAB ⊥平面
(II)
求AB 与平面SBC 所成角的大小。

【分析】第（I ）问的证明的突破口是利用等边三角形SAB 这个条件，找出AB 的中点E ，连结SE ，DE ，就做出了解决这个问题的关键辅助线。

(II)本题直接找线面角不易找出，要找到与AB 平行的其它线
进行转移求解。

【命题意图】以四棱锥为载体考查线面垂直证明和线面角的计算，注重与平面几何的综合.
解法一：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩
形，2DE CB ==，连结SE ，则SE AB ⊥，3SE =又1SD =,故222ED SE SD =+,
所以DSE ∠为直角. ………………3分
由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =,得AB ⊥平面SDE ,
所以AB SD ⊥.
SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直.
所以SD ⊥平面SAB . ………………6分
另解:由已知易求得1,5,2SD AD SA ===,于是2
2
2
SA SD AD +=.可知SD SA ⊥,同理可得
SD SB ⊥,又SA SB S =.所以SD ⊥平面SAB . ………………6分 (Ⅱ)由AB ⊥平面SDE 知，平面ABCD ⊥平面SDE .
作SF DE ⊥,垂足为F ,则SF ⊥平面ABCD,3
SD SE SF DE ⨯==作FG BC ⊥,垂足为G ,则1FG DC ==. 连结SG .则SG BC ⊥. 又,BC FG SG
FG G ⊥=,故BC ⊥平面SFG ,平面SBC ⊥平面SFG .……9分
作FH SG ⊥,H 为垂足,则FH ⊥平面SBC .
D C
B
E
F
G H
D
C
B
3
7
SF FG FH SG ⨯=
=
,即F 到平面SBC 的距离为217. 由于//ED BC ,所以//ED 平面SBC ,E 到平面SBC 的距离d 也为
21
7
. 设AB 与平面SBC 所成的角为α,则21sin 7d EB α=
=,21arcsin 7
α=.……12分 解法二：以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B . 又设(,,)S x y z ,则0,0,0x y z >>>.
(Ⅰ)(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-, 由||||AS BS =得
222222(2)(2)(2)x y z x y z -+-+=+-+,
故1x =.
由||1DS =得2
2
1y z +=,
又由||2BS =得2
2
2
(2)4x y z +-+=, 即2
2
410y z y +-+=,故13
,22
y z =
=. ………………3分 于是13333313
(1,,
),(1,,),(1,,),(0,,)22222222
S AS BS DS =--=-=, 0,0DS AS DS BS ⋅=⋅=.
故,DS AS DS BS ⊥⊥,又AS
BS S =,
所以SD ⊥平面SAB . ………………6分 (Ⅱ)设平面SBC 的法向量(,,)a m n p =, 则,,0,0a BS a CB a BS a CB ⊥⊥⋅=⋅=.
又33
(1,,
),(0,2,0)22
BS CB =-=,
故33
0,2220m n p n ⎧-+
=⎪⎨⎪=⎩
………………9分 取2p =得(3,0,2)a =-,又(2,0,0),AB =-
21cos ,7
||||
AB a AB a AB a ⋅<>=
=
⋅. 故AB 与平面SBC 所成的角为21
arcsin
7
. ………………12分 (21)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) 已知函数()3
2
()3(36)+124f x x ax a x a a R =++--∈
(Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在处的切线过点（2，2）；
（Ⅱ）若00()f x x x x =∈在处取得最小值，（1，3），求a 的取值范围.
【分析】第(I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率，然后易写出切线方程. (II)第（II ）问是含参问题，关键是抓住方程()0f x '=的判别式进行分类讨论.
解：（I ）2()3636f x x ax a '=++- .………………2分
由(0)124,(0)36f a f a '=-=-得曲线()y f x =在x=0处的切线方程为
(36)124y a x a =-+-
由此知曲线()y f x =在x=0处的切线过点（2，2） .………………6分 （II ）由()0f x '=得22120x ax a +--=. （i ）当2121a -≤≤时，()f x 没有极小值； .………………8分
(ii)当21a >
或21a <-时，由()0f x '=得
221221,21x a a a x a a a =-+-=-+-故02x x =.由题设知2
1213a a a <-+-<，
当21a >
时，不等式21213a a a <-+-<无解；
当21a <-时，解不等式2
1213a a a <-+-<得5
212
a -
<<-
综合(i)(ii)得a 的取值范围是5
(,21)2
--- ..………………12分 (22)(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
) 已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2
2
12
y x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足0OA OB OP ++=. (I)证明：点P 在C 上；
(II)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一
圆上.
【命题意图】本题考查直线方程、平面向量的坐标运算、点与曲线的位置关系、曲线交点坐标求法及四点共圆的条件。

【分析】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注
意
把
0.OA OB OP ++=用坐标表示后求出P 点的坐标，然后再结合直线方程把P 点的纵坐标也用A 、B 两点
的横坐标表示出来.从而求出点P 的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P 在C 上;(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明,APB AQB ∠∠互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用到角公式.
思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N ，然后证明N 到四个点A 、B 、P 、Q 的距离相等即可.
【解析】(I)(0,1)F ,l 的方程为21y x =+,代入2
2
12
y x +=并化简得 242210x x --=. …………………………2分
设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y , 则122626
,44
x x =
= 1212122
,2()21,2
x x y y x x +=
+=++= 由题意得3123122
()()1,x x x y y y =-+==-+=- 所以点P 的坐标为2
(1)2
-
-.
经验证点P 的坐标(1)-满足方程2212
y x +=,故点P 在椭圆C 上 …6分
(II)由P (,1)2--和题设知，Q 2
，PQ 的垂直平分线1l 的方程为
2
y x =-. ①
设AB 的中点为M ,则1)42M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为
124
y x =+. ②
由①、②得1l 、2l 的交点为1()8N . …………………………9分
||8
NP ==,
221||||2AB x x =-=
||4AM =,
||MN ==,
||NA ==
, 故 ||||NP NA =,
又 ||||NP NQ =, ||||NA NB =,
所以 ||||||||NA NP NB NQ ===,
由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心,NA 为半径的圆上. ……………12分
（II
）法二：
12
22 tan
(1)(1)
11
PA PB
PA PB
k k
APB
y y
k k
-
∠==
----
++
21
4()
3
x x
-
==
同理
21
22
tan
11
11
22
QB QA
QA QB
k k
AQB
y y
k k
-
-
∠==
--
+
21
1212
4()
3
22
x x
-
==-
所以,
APB AQB
∠∠互补，
因此A、P、B、Q四点在同一圆上。

【点评】本题涉及到平面向量，有一定的综合性和计算量，完成有难度. 首先出题位置和平时模拟几乎没有变化，都保持全卷倒数第二道题的位置，这点考生非常适应的。

相对来讲比较容易，是因为这道题最好特点没有任何的未知参数，我们看这道题椭圆完全给出，直线过了椭圆焦点，并且斜率也给出，平时做题斜率不给出，需要通过一定条件求出来，或者根本求不出来，这道题都给了，反而同学不知道怎么下手，让我求什么不知道，给出马上给向量条件，出了两道证明题，这个跟平时做的不太一样，证明题结论给大家，需要大家严谨推导出来，可能叙述的时候有不严谨的地方。

这两问出的非常巧妙，非常涉及解析几何本质的内容，一个证明点在椭圆上的问题，还有一个疑问既然出现四点共圆，这都是平时很少涉及内容。

从侧面体现教育深层次的问题，让学生掌握解析几何的本质，而不是把套路解决。

其实几年前上海考到解析几何本质问题，最后方法用代数方法研究几何的问题，什么是四点共圆？首先在同一个圆上，首先找到圆心，四个点找圆形不好找，最简单的两个点怎么找？这是平时的知识，怎么找距离相等的点，一定在中垂线，两个中垂线交点必然是圆心，找到圆心再距离四个点距离相等，这就是简单的计算问题.方法确定以后计算量其实比往年少.。