七年级数学秋季竞赛第15讲 整式

整式
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【知识要点】
（1）单项式：数字与字母的乘积的形式，单独的一个数或一个字母也是
如：－πa 2
bc,系数为－π，指数和为2+1+1=4，即次数为4，
单独一个非零数的次数是0。

（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫多项 式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：a 2
－2ab ＋x ＋1， 项有a 2
，－2ab,x,1。

二次项为a 2
，－2ab ，一次项为x ，常数项为1，各
项次数分别为2,2，1，0。

各项系数分别为1，-2，1，其中1是常数项，所以它是二次四项式。

（3）整式：单项式和多项式统称整式。

（4如：x 3
-2x 2y 2
+xy-2y 3
-1,按x 的升幂为：-1-2y 3
+xy-2x 2y 2
+x 3
， 按y 的降幂排列为：-2y 3
-2x 2y 2
+xy+x 3
-1。

【典型例题】
例1．（1）单项式-32x 3y 2
的系数为________，次数为____ ____； -2
27
m x
的系数为________，次数为________； 222007
1
x π-
的系数为________，次数为________； 2007的系数为________，次数为________；
（2）若单项式-a m y 2
的次数是6，则m=________。

（3）如果-3mx n y 3
是关于x,y 的5次单项式，且系数是6，那么m =________n =________。

例2．（1）多项式3x 2
-2xy-4y 2
+x-y+7是________次________项式；其项分别是___ _____，二次项是________，一次项是________最高次项是________；
（2）只含有字母y 的五次多项式，最多有________项，最少有________（3）把多项式2a 2b 3
+ab 4
-a 5
+3b 2
+7按a 降幂排列为___ _____，按b 升幂排列为____ ____。

例3．根据题意，列出代数式，并判断是否为整式。

（1）a,b 两数的积除以a,b 两数的和 （2）a,b 两数积的一半的平方
（3）3月12日是植树节，七年级一班和二班的同学参加了植树活动，一班 种了a 棵树，二班种的比一班的2倍多b 棵，两个班一共种了多少棵树？
例4．挖一条长为m 的水渠，渠道的横截面是等腰梯形，如图1—1所示，梯
形的上、下底分别为a ，b ，水渠深为h,
否为单项式，若m 2000=米，a 6=米，b =4米，
h =1.5米，求挖这条水渠的土方量。

例5．若0)3(200732=+++-b a a ，求单项式a b b a y x b a +--+-2)(的系数和次数，并写出它的一个同类项.
例6．若39120071200732007
-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+--+x m x
n 是关于x 的六次二项式，试求
mn n m 与+的值.
例7．证明一个两位数与把它的个位数字和十位数字对调后所成的两位数之
差是9的倍数.
图1—1
例8．已知：7︱3x+2y-5z(x,y,z 为整数)，求证：7︱23x+13y-22z
（思考）已知2007=+++a ab abc abcd ，求d c b a ,,,的值.
【练习与拓展】 一：选择题
1、若m,n 为自然数，则多项式4
m
n
m n
x y +--的次数应当是（ ）
A ．m
B ．n
C ．n+m
D ．m,n
2、若n mx y -是关于x,y 的一个单项式，且其系数为3,次数为4，则n
m 值为（ ）
A ．27
B ．-27
C ．81
D ．-81 3、下列多项式中，是四次三项式的是（ ）
A ．1-x 4
B ．x 2y 2
-2xy 3
+3xyz 2
C ．x 4
-3x 2y 2
z+4 D ．2x-y+z 2
二：填空题
1、三个单项式：①4
0.001a b -，②3
9a ，③3xy 序为 2、单项式21
13
m ab c
+-是六次单项式，则正整数m 的值为
3、多项式3223522x x y y -++的次数是
4、写出3个含有字母x 、y ，系数为-8,次数为4的单项式________。

5、如果（m+1）2x 2y n+1
是关于x 、y 的六次单项式，则m 、n ______ __。

6、3x 3
y-x 2y 2
-3z 5
-xy 是 多项式;是关于x 的 次式;是关于y 次式;按字母x 的降幂排列
7、把多项式22
32
33444
24383
a b c ab c a bc b c a --+-按a 的降幂排列为
______ __________；按b 的降幂排列为_____ __ _________； 按c 的降幂排列为__________ ______。

三：解答题
1、一个关于字母x的一次多项式，当x=0时的值是1，当x=2时的值是2，求这个多项式。

2、从长与宽分别为a与b的长方形中挖去一个1
4
圆和一个小半圆，如图1—
所示，用代数式示剩余部分的面积，并说明该代数式是否为多项式。

3、若多项式
)
19
(
20071
2
3-
-+y
x
n
x m
的系数是1，求n
m+的值．
4、已知a、b为整数，且n=10a+b,如果17︱a-5b,证明：17︱n.
5、一个三位数的各位数字互不相同，把它的各位上的数字任意交换位置，又可得到5个三位数.若这6个三位数的和等于1332，求此6个三位数中最大的三位数.
整式课后作业
姓名： 家长签名：
1．填表：
2、把下列代数式的题号字母填入相应集合的括号内：A ．3;xy - B ．2
132x -+； C ．2
;3
xy -
D ．13
2； E ．1x
-； F ．3
x ； G ．3210.28x x x -+； H ．x y z ++； I ．
1003x - （1）单项式集合{ …}； （2）多项式集合{ …}； （3）二次多项式集合{ …
}； （4）三次式集合{
…
}；
（5）按字母x 降幂排列的多项式集合{ …}； （6）非整式的集合{ …}。

3、多项式2
2
312
23
m n m n -+-
-的各项是________，是________次________项式，最高项的系数为________，常数项是________。

4、422334
z b a b a b ab ---按a 的升幂排列为______ __，按b 的降幂排列为____ ____。

5、多项式（a-1）x 3
+x b
-1是关于x 的一次式，则a 、b 的取值条件为：_____ ____. 6、如果单项式3a 2
b
4
3-m 的次数与单项式
3
1x 3y 2z 2
的次数相同，则m=_______________。

7、如果多项式3x m ―（n ―1）x+1是关于x 的二次二项式，试求m ，n 的值。

8、已知：5︱x+9y(x,y 为整数)，求证：5︱8x+7y。