数列补缺补差

数列复习提纲
1.数列的概念
（1）按_____________________________叫数列。

在函数意义下,数列是____________________, （2）递增数列⇔1+n a ___n a ;递减数列⇔1+n a ___n a ;常数列⇔1+n a ___n a . （3）若已知n S ，则_______________
_______________
n a ⎧=⎨
⎩
2.等差数列
(1) 定义： ___________________________,若公差d _ _0则这个数列为递增数列, 若d _ _0则这个数列为递减数列, 若d _ _0则这个数列为常数列. 定义法：对于数列{}n a ，若 ，则数列{}n a 是等差数列。

(2)如果三个数x ,A ,y 组成等差数列,那么A 叫做x 和y 的__________,且A =_________. 等差中项法：对于数列{}n a ，若 ，则数列{}n a 是等差数列。

(3)等差数列}{n a 的通项为 n a =_____ ____,或n a =_____ ____,其中m ,n N *∈.推导方法为 、 (4)}{n a 成等差数列⇔n a kn b =+(q p ,为常数).其中k =
(5)等差数列的求和公式为:______ _____可变形为_____ _____.推导方法为__________ ____. 整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 函数法：{}Bn An S B An a a n n n +=⇔+=⇔2
成等差数列（0d ≠）。

(6)}{n a 为等差数列,求n S 的最值:若01>a ,0<d ,且满足⎩⎨⎧+________,_________,1
n n a a 时, n S 取最_______;
若01<a ,0>d ,且满足⎩⎨
⎧+________,
_________,
1n n a a 时, n S 取最_______.
(7)对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

(8)若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*
N k ∈，那么 成等差数列。

如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++、
运算思想：678234__________a a a a a a ++=+++此性质可推导为： （9）设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：
)1()1(21211
21+⋅=+⋅+=
+++n a n a a S n n n 奇项，则若有奇数项，n a n a a S n n ⋅=⋅+=+122
2偶
所以有____________(21)___S S n a S S a +==+⋅⎧⎨-==⎩奇偶中奇偶中 S ________S =奇
偶
；
2_________________n S ==奇若有偶数项项，则,_________________S ==偶 所以有()()()2143221____n n S S a a a a a a --=-+-+⋯+-=偶奇
(10) 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'
12-n S ，
则21
21n n S a n -=-，()(21)n n n
n A a f n f n B b =⇒=-即 。

3.等比数列
(1)若数列}{n a 满足 _______________,则称这个数列为等比数列,这个常数叫等比数列的__________,记为q ,即
______1
=+n
n a a ( ). (2)若}{n a 为等比数列,则通项n a =____________或n a =_____________,其中m ,n N *∈ (3)等比数列}{n a 的单调性: }{n a 单调递增⇔________________或_________________;
}{n a 单调递减⇔_________________或_________________;}{n a 为常数列⇔_______.
(4) 如果三个数x ,A ,y 组成等比数列,那么A 叫做x 和y 的__________,且2A =______或A =________.
(5)等比数列}{n a 中⎩
⎨⎧≠===1_______,______1
____,__________q q S n 推导方法为____________________.
(6)对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+，则v u m n a a a a ⋅=⋅
也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n n
a a a a a a 。

如图所示：
n
n a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---11
2,,,,,,12321
(7) 若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和且1q ≠-，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等比
数列。

如下图所示：
k
k
k k
k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k
31221S 321-+-+++++++++++
（8）运算思想：678234a a a a a a ++++和的关系是 此性质可推导为： 练习：
1．数列{}n a 中，1015=a ，9045=a ，若{}n a 是等差数列，则=60a ； 若{}n a 是等比数列，则=60a ；
2．在等差数列{}n a 中，若017151193=++++a a a a a ，则=21S ； 3．两个等差数列，它们的前n 项和之比为1
23
5-+n n ，则它们的第9项之比为 ； 4．等差数列{}n a 的公差为
2
1
，且145100=S ，则=++++99531a a a a ； 5．项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求此数列的中间项； 4．数列通项公式的求法
(1) 观察法:观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n 的关系. 例：(1)
,3231,1615,87,43; (2) 6
7,51,45,31,23,1. 注：对一般数列，它的通项公式不一定存在，即使有，也不唯一，必要时可采用分段表示，故观察的角度
不同，可能会写出几个形式完全不同的通项公式。

(2)已知数列的前n 项和求通项时，通常用公式⎩⎨
⎧≥-==-)2()1(11
n S S n S a n n
n 。

例：已知数列{a n }的前n 项和n S 满足,1)1(log 2+=+n S n 求此数列的通项公式。

例：设数列{}n a 满足2*12333()3
n n
a a a a n N +++=∈n-1…+3，求数列{}n a 的通项公式 注:用公式法求和时要注意验证1=n 时的情形。

(3)叠加（乘）法:若数列{a n }满足)
(1n f a a n n +=+1
()n n
a g n a +=（）的递推式，累差迭加（累商迭乘法）求通项。

例：已知数列{a n }满足)(,2
)1(,11N n a n S a n
n ∈+==，求{a n }的通项公式。

（4）构造新数列：待定系数法
(,1≠+=+c d ca a n n ,则可以将其改写变形成:
例：已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.
5.数列求和常见的方法 （1）公式法
例：求和：
个
n n s 111111111++++=
（2）错位相减法：n n n c b a ⋅=, {}{}成等比数列成等差数列，
n n c b n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211， 则
所以有 例：若等比数列{}n a 的首项11=a 且满足2
2
1--+=n n n a a a () ,4,3=n 求数列{}n na 的前n 项和n s
（3）裂项相消法求和：)1
1(1))((1C
An B An B C C An B An a n +-+-=++=
例：求数列()
,21,,531,421,311+⨯⨯⨯n n 的前n 项和n s
（4）倒序相加法：如a n =n
nC 100; 又如一知函数1()()42x f x x R =∈+， 求：12
()()()m
m
S f f f m m m
=+++。

（5）通项分解法：n n n c b a ±=如：a n =2n+3n 练习：
1、在等比数列{}n a 中,12a =,前项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于
2、若数列{}n a 中，3
1
1=
a ，且对任意的正整数,p q 都有q p q p a a a =+，则=n a 3、已知数列{}n a 为等差数列，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的 条件 4、等差数列{}n a 中，若9418,240,30n n S S a -===，则n 的值为 5、若{}n a 为等比数列，4738512,124a a a a ⋅=-+=，若公比为整数，则10a =
6、正数数列{a n }，1n a =+， }{n b 是公比大于1的等比数列，n S 为数列}{n b 的前n 项和．已知37S =，且123334b b ++，
，b 构成等差数列． （1）求数列{a n }和}{n b 的通项公式; （2）若n n n b a c +=，求}{n c 的前n 项和 （3）若n n n b a d ⋅=，求}{n d 的前n 项和 （4）求数列}1
{1
+n n a a 的前n 项和。