专题04y=sin(ωx+φ)的图像及应用

专题04y=sin(ωx+φ)的图像及应用
一、考点传真：
1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；
2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
二、知识的梳理：
1．函数y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念
2．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图
用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
(1)两种变换的区别
①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位
变换，平移的量是|φ|
ω
(ω>0)个单位长度．
(2)变换的注意点
无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x 而言的，即图象变换要看“自变量x ”发生多大变化，而不是看角“ωx ＋φ”的变化． 三、例题：
例1.（2020年全国新高考1卷，10）下图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图像，则sin()x ωϕ+=( )
A.πsin()3x +
B.π
sin(2)3x -
C.π
cos(2)6
x +
D.5π
cos(
2)6
x - 【答案】BC
【解析】由题图可知，函数的最小正周期2ππ2π36T ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，
2ππ||ω∴=，2ω=±.当2ω=时，sin(2)y x ϕ=+，将点π06⎛⎫ ⎪⎝⎭，
代入得，πsin 206ϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭，π22ππ6k k ϕ∴⨯+=+∈Z ，，即2π2π3k k ϕ=+∈Z ，，故2πsin 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭.由于2π2ππsin 2sin π2sin 2333y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，故选项B 正确；
ππππsin 2cos 2cos 23236y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，选项C 正确；对于选项A ，当π6x =时，
ππsin 1063⎛⎫
+=≠ ⎪⎝⎭，错误；对于选项D ，当π2π
5π63212
x +==时，5π
5πcos 211612⎛⎫-⨯=≠- ⎪⎝⎭，错误.当2ω=-时，sin(2)y x ϕ=-+，
将π06⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入，得πsin 206ϕ⎛⎫
-⨯+= ⎪⎝⎭，结合函数图象，知π2π2π6k k ϕ-⨯+=+∈Z ，，得4π2π3k k ϕ=+∈Z ，，
4πsin 23y x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，但当0x =时，4πsin 203y x ⎛⎫=-+=< ⎪⎝⎭，与图象不符合，舍去.综上，选BC. 例2.（2020年江苏卷，10）将函数π3sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像向右平移π6个单位长度，则平移后的图像与y 轴
最近的对称轴方程是 . 【答案】5π
24
x =-
【解析】将函数π3sin 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，得到πππ3sin 23sin 26412y x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=-+
=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
的图象，由ππ2π122x k k -=+∈Z ，，得对称轴方程为7π1π242
x k k =+∈Z ，，其中与y 轴最近的对称轴的方程为5π
24
x =-
. 例3. (2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m
变化时，d 的最大值为 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】由题意可得d =
=
=
=
（其中cos ϕ=
，sin ϕ=
），∵1sin()1θϕ--≤≤,
d ≤
1=
∴当0m =时，d 取得最大值3，故选C ． 例4.(2018全国卷Ⅲ)函数()cos(3)6
f x x π
=+在[0,]π的零点个数为_____．
【答案】3
【解析】由题意知，cos(3)06
x π
+
=，所以36
2
x k π
π
π+
=
+，k ∈Z ，
所以93k x π
π=
+
，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49
x π
=；
当2k =时，79
x π
=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．
例5.（2018上海）设常数a R ∈，函数2
()sin 22cos f x a x x =+．
(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；
(2)
若()14
f π
=
，求方程()1f x =ππ-［，］上的解．
【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；
即2
2
sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ， 化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；
(2)2()sin(2)2cos ()114
44
ππ
π
=⨯
+=+=f a a
，所以=a
故2()22cos =+f x x x ．
则方程()1=-f x
2
22cos 1+=-x x
2
22cos 1+-=x x
，化简即为2sin(2)6
π
+
=x
即sin(2)6
π
+
=x ，解得1124ππ=-+x k 或524
ππ'=-+x k ，,'∈Z k k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,]2424∈-k ，1929
[,]2424
'∈-k ， 即0=k 或1；0'=k 或1， 对应的x 的值分别为：1124π-
、1324π、524π-、19
24
π． 例6.（2017山东）设函数，其中． 已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左
平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． 【解析】（Ⅰ）因为，
所以
()sin()sin()62
f x x x π
π
ωω=-
+-03ω<<()06f π
=ω()y f x =4
π
()y g x =()g x 3[,]44ππ-()sin()sin()62
f x x x ππ
ωω=-+
-1
()cos cos 22f x x x x ωωω=
-
-3
cos 2
x x ωω=
-13(sin cos )22
x x ωω=-
由题设知，
所以
6
3
k ωπ
π
π-
=，．
故，，又， 所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以． 因为，
所以， 当，
即时，取得最小值． 例7.（2017天津）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(
)28f π=，()08
f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=
，12
ϕπ
= B ．23ω=
，12
ϕ11π
=- C ．13ω=，24ϕ11π=- D ．13
ω=，24ϕ7π
=
【答案】A 【解析】由题意5π8x =
取最大值，11π8
x =与x 相交，设()f x 周期为T ， 所以11538844T πππ-==或
34
T ，所以3T π=或T π=， 又()f x 的最小正周期大于2π，所以3T π=，所以22
3
T πω==，排除C 、D ；
由5π()28f =，即252sin()238πϕ⨯+=，102242
k ππϕπ+=+，
即212
k π
ϕπ=+
，令0k =，12
π
ϕ=
．选A ．
四、巩固练习：
1．函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为(
)
)3
x π
ω=-()06
f π
=k Z ∈62k ω=+k Z ∈03ω<<2ω
=())3
f x x π
=
-()))4312
g x x x π
ππ
=+-=-3[,]44x ππ
∈-
2[,
]1233
x πππ
-∈-12
3
x π
π
-
=-
4
x π
=-
()g x 3
2
-
A ．2，1π，π
4
B ．2，12π，π4
C ．2，1π，π
8
D ．2，
12π，－π8
【答案】A
【解析】由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4.
2．(2019·七台河联考)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则以下判断中正确的是( )
A ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π
8个单位长度得到
B ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π
4个单位长度得到
C ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移3π
8个单位长度得到
D ．函数f (x )的图象可由函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移3π
4个单位长度得到
【答案】A
【解析】因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的图象可由函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π8个单位长度得到，故选A.
3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( )
A ．－ 3 B.33
C ．1 D. 3
【答案】D
【解析】由题意可知该函数的周期为π
2，
∴
πω＝π
2
，ω＝2，f (x )＝tan 2x . ∴f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＝tan π3＝ 3. 4.(2019·贵阳检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π2<φ<π
2 )的部分图象如图所示，则φ
的值为( )
A ．－π3
B.π3 C ．－π6
D.π6
【答案】B
【解析】 由题意，得T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，所以T ＝π，由T ＝2π
ω
，得ω＝2，由图可知A ＝1，所以f (x )
＝sin(2x ＋φ)．又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＋φ＝0，－π2<φ<π2，所以φ＝π3.
5.(2019·武汉一中模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的部分图象如图所示，则f (2 019)＝( )
A ．1 B.3
2 C.1
2 D.34
【答案】C
【解析】 由函数图象可知最小正周期T ＝4，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，观察图象可知f (3)＝12，所以f (2 019)＝1
2
.故选C. 6．(2019·大同一中质检)将函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0<ω<10)的图象向右平移π6个单位长度之后与函数
f (x )的图象重合，则ω＝( )
A ．9
B ．6
C ．4
D ．8
【答案】B
【解析】 函数f (x )＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为f (x )＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π3，∵平移后的图象与函数f (x )的图象重合，∴－ωπ6＋π3＝π3＋
k π，k ∈Z ，解得ω＝－6k ，k ∈Z.又0<ω<10，∴ω＝6.故选B.
7.(2019·日照一模)函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到
g (x )＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )
A ．向左平移π
6个单位长度
B ．向左平移π
12个单位长度
C ．向右平移π
6个单位长度
D ．向右平移π
12个单位长度
【答案】B
【解析】 由题图知A ＝2，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2cos(2x ＋φ)，将⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，2代入得cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3＋φ＝1，∵－π<φ<0，∴－π3<2π3＋φ<2π3，∴2π3＋φ＝0，∴φ＝－2π3，∴f (x )＝
2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，故将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位长度可得到g (x )的图象．
8．(2019·郑州一中入学测试)定义运算：⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝
⎪⎪⎪
⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω>0)的图
象向左平移2π
3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )
A.14
B.5
4 C.74 D.34
【答案】B
【解析】依题意得f (x )＝3cos ωx －sin ωx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝ 2cos [ ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋
π6 ]＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝ 32⎝ ⎛⎭⎪⎫k －16，k ∈Z.又ω>0，
所以ω的最小值是32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16＝5
4
，选B.
9．(2019·绵阳一诊)已知函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)图象的最高点与相邻最低点的距离是17，若将y ＝f (x )的图象向右平移16
个单位长度得到y ＝g (x )的图象，则函数y ＝g (x )图象的一条对称轴方程是( )
A ．x ＝5
6
B ．x ＝13
C ．x ＝12
D ．x ＝0
【答案】B
【解析】函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最大值为2，由r(17
2
－42
)＝1可得函数f (x )的周期T ＝2×1
＝2，所以ω＝π，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3.将y ＝f (x )的图象向右平移16个单位长度得到的图象对应的
函数解析式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x －16＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，当x ＝13时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝2，为函数的
最大值，故直线x ＝1
3
为函数y ＝g (x )图象的一条对称轴．故选B.
10.(2019·涞水波峰中学期中)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)( ω>0，φ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π )的部分图象如图所示，其中f (0)＝1，|MN |＝5
2，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，得到函
数g (x )
的图象，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2cos π
3x
B ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
x ＋2π3
C ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3x ＋π3
D ．g (x )＝－2cos π
3
x
【答案】A
【解析】设函数f (x )的最小正周期为T .由题图及|MN |＝52，得T 4＝32，则T ＝6，ω＝π
3.又由f (0)＝1，φ∈
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2，π得sin
φ＝12，φ＝5π6.所以f (x )＝2sin ( π3x ＋5π6 ).则g (x )＝2sin [π3(x −1)+5π6]＝2cos π3x .故选A.
11．(2019·惠州调研)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长
度，得到g (x )的图象，若g (x 1)·g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( ) A.25π
6 B.49π12 C.35π
6
D.17π4
【答案】B
【解析】由题意可得，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)·g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π12＋k π(k ∈Z)，因为x 1，x 2∈[－
2π，2π]，所以(2x 1－x 2)max ＝2×⎝
⎛⎭⎪⎫π12＋π－⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12－2π＝49π12
，故选B.
12已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为6π，将其图象向右平移2π3个单位长度
后得到函数g (x )＝sin ωx 的图象，则φ等于( ) A.4π
9 B.2π9 C.π6
D.π3
【答案】B
【解析】由题意得2πω＝6π，∴ω＝13.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋φ.将其图象向右平移 2π3个单位长度后得到的 函数图象的解析式为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2π9＋φ＝sin 13x ，
∴φ－2π9＝2k π(k ∈Z)．解得φ＝2k π＋2π9(k ∈Z)，∵|φ|<π2，∴φ＝2π
9
.故选B
13．(2019·临沂重点中学质量调研)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个
最高点和与它相邻的一个最低点的距离为22，且图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝____________.
【答案】sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6
【解析】依题意得
22
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，ω>0，所以ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2x ＋φ.因为该函数图象过
点⎝
⎛⎭⎪⎫2，－12，所以sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12.因为－π2≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
x ＋π6. 14．已知函数f (x )＝A cos 2
(ωx ＋φ)＋1( A >0，ω>0，0<φ<π2 )的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交
点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝________. 【答案】4 035
【解析】∵函数f (x )＝A cos 2
(ωx ＋φ)＋1＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A 2( A >0，ω>0，0<φ<π2
)的最大值
为3，∴A 2＋1＋A
2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即
2π2ω＝4，∴ω＝π
4
.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0，
又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π4.故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ( π2x ＋π2 )＋2＝－sin π
2
x ＋2，∴
f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－( sin π
2＋sin
2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2
)＋2×2 018＝－504×0－sin π
2－ sin π＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.
15．设定义在R 上的函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( ω>0，－π12<φ<π
2
)，给出
以下四
个论断：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6，0上是增函数；③f (x )的
图象关于点⎝
⎛⎭
⎪⎫π3，0对称；④f (x )的图象关于直线x ＝π12对称．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为
结论，写出你认为正确的一个命题(写成“p ⇒q ”的形式)__________．(用到的论断都用序号表示) 【答案】①④⇒②③或①③⇒②④
【解析】若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．同时若f (x )的图象关于直线x ＝
π12对称，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π12＋φ＝±1，又－π12<φ<π2，∴2×π12＋φ＝π2，
∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，②③成立，故①④⇒②③.若f (x )的最小正周期为π，则ω＝2，函
数f (x )＝sin(2x ＋φ)，同时若f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，则2×π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又－π12<φ<π2，
∴φ＝π3，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，②④成立，故①③⇒②④.
16.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，
设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋
φ)⎝
⎛⎭
⎪⎫
t ≥0，ω>0，|φ|<π2
.
则下列叙述正确的是________． ①R ＝6，ω＝π30，φ＝－π
6
；
②当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6； ③当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )单调递减； ④当t ＝20时，|PA |＝6 3. 【答案】①②④
【解析】①由点A (33，－3)，可得R ＝6，
由旋转一周用时60秒，可得T ＝2πω＝60，则ω＝π
30，
由点A (33，－3)，可得∠AOx ＝π
6，
则φ＝－π
6
，故①正确；
②由①知，f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30
t －π6，
当t ∈[35,55]时，π30t －π6∈⎣
⎢⎡
⎦⎥⎤π，5π3，
即当π30t －π6＝3π
2
时，点P (0，－6)，点P 到x 轴的距离的最大值为6，故②正确；
③当t ∈[10,25]时，π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，由正弦函数的单调性可知，函数y ＝f (t )在[10,25]上有增有减，
故③错误；
④f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30
t －π6，
当t ＝20时，水车旋转了三分之一周期， 则∠AOP ＝2π
3
，所以|PA |＝63，故④正确．
17.(2019·天津新四区示范校期末联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若α为第二象限角且sin α＝3
5，求f (α)的值．
【解析】(1)由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT ＝2.
又∵函数f (x )的图象过点⎝
⎛⎭⎪⎫5π12，0，且点⎝ ⎛⎭
⎪
⎫5π12，0处于函数图象下降部分，
∴2×5π12＋φ＝π＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝π
6＋2k π，k ∈Z.
∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
∵函数图象过点(0,1)，∴A sin π
6＝1，∴A ＝2，
∴f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
(2)∵α为第二象限角且sin α＝35，∴cos α＝－4
5
，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2
α＝725
，
∴f (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2( sin 2αcos π6＋cos 2αsin π6 )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425×32＋725×12＝7－24325.
18．(2019·西安长安区质检)设函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫πx 3－π6－2cos 2π6x .
(1)试说明y ＝f (x )的图象由函数y ＝3sin π
3
x 的图象经过怎样的变化得到；
(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最值． 【解析】(1)∵函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6＝sin π3x cos π6－cos π3x sin π6－cos π3x －1＝3
2sin π3x －32cos π3x －1＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3－1，∴把函数y ＝3sin πx 3的图象向先右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y ＝f (x )的图象． (2)∵函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (x )＝f (4－x )＝3sin [π3(x −1)−π
3]－1＝3sin π3
x －1.
当x ∈[0,1]时，π3x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，故当x ＝0时，函数y ＝g (x )取得最小值－1；当x ＝1时，函数y ＝g (x )取得最大值1
2.。