著名机构初中数学培优讲义分式概念、性质及乘除.第01讲(A级).学生版

内容
基本要求
略高要求
较高要求
分式的有关概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件 能确定使分式值为零的条件 分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型
能用分式的性质进行通分和约分 分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则
会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题
1.分式概念，能确定分式有意义或值为零的条件；
2.利用分式的基本性质进行约分和通分；
3.会进行简单的分式乘除运算.
趣味小故事：
《秃头悖论》 一个人有了10万根头发，当然不能算秃头，不是秃头的人，掉了一根头发，仍然不是秃头。

按照这个道理，让一个不是秃头的人一根一根地减少头发，就得出一条结论：没有一根头发的光头也不是秃头！
这种悖论出现的原因是：我们在严格的逻辑推理中使用了模糊不清的概念。

什么叫秃头，这是一个模糊概念，一根头发也没有，当然是秃头，多一根呢？还是秃头吧。

这样一根一根增加，增加到哪一根就不是秃头了呢？很难说，谁也没有一个明确的标准！
根据上面的小故事，告诉同学们，在学习数学知识的同时，一定要弄清概念，避免模糊不清。

分式这一章的知识中就要考察我们概念理解的能力，你准备好了么？Go ！
中考要求
重难点
课前预习
分式的概念、性质及乘除
1.一般地，如果A ,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A
B 叫做分式。

整式与分式统称有理式； 2.分式有意义的条件是分母不为0；当分母为0时，分式无意义；
3.分式的值为零，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意“同时性”；
4.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变；
上述性质用公式可表示为：a a m b b m ⨯=⨯，a a m b b m ÷=÷ (0
m ≠)；
5.分式的乘法用公式可表示为：=a c ac
b d bd
⨯；
6.分式的除法用公式可表示为：=a c a d ad
b d b
c bc
÷⨯=.
模块一 分式的基本概念
【例1】 在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？
1t ，(2)3x x +，2211x x x -+-，24x x +，52a ，2m ，21321x x x +--，3π
x -，32
3a a a +
【答案】分式：1t ，2211x x x -+-，24x x
+，21
321x x x +--，323a a a +
整式：(2)3x x +，52a ，2m ，3π
x
-．
【例2】 下列各式：（1）2x y ，（2）223x y ，（3）38a +，（4）4
x y -，（5）214y x -，（6）()3231
a a
b b a -+，
（7）44
x x --中，整式有 ，分式有 （填序号）.
例题精讲
【总结】
【易错】
模块二分式有无意义的条件☞分子分母不可约分
【例3】x为何值时，分式21
41
x
x
+
+
无意义？
【巩固】求下列分式有意义的条件：
（1）1
x
（2）
3
3
x+
（3）
2
a b
a b
+
-
-
（4）
21
n
m+
（5）
22
x y
x y
+
+
【巩固】（2011房山二模）若分式
1
21
x
x
+
-
有意义，则x____________.
【例4】x为何值时，分式
21
32
x x
-+
有意义？
【巩固】x为何值时，分式
21
28
x x
--
无意义？
【巩固】使分式
1
1)(1) x x
+-
（
有意义的x值是（）
.0
A x≠.1
B x≠.1
C x≠-.1
D x≠±
【巩固】当x取什么值时，分式
23 4
x x -
-
有意义？
【总结】
【易错】
☞分子分母可约分
【例5】x为何值时，分式
21
1
x
x
-
+
有意义？
【巩固】当x= 时，分式
26
(1)(3)
x x
x x
--
--
无意义.
【巩固】当时，分式
2
2
16
34
x
x x
-
+-
有意义.
【总结】
【易错】
模块三分式值为零的条件
☞分子分母不可约分
【例6】当x为何值时，下列分式的值为0？
（1）
1
x
x
+
（2）
21
3
x
x
-
+
（3）
2
8
8
x
x+
【例7】若分式
4
1
x
x
+
-
的值为0，则x的值为.
【巩固】若分24
1
+
+
x
x
的值为零，则x的值为___________.
【巩固】若分式24
2
a
a
-
+
的值为0，则a的值为__________.
【巩固】（2011昌平一模）若分式
4
2
x
x
-
+
的值为0，则x的值为．
【总结】
【易错】
☞分子分母可约分
【例8】当x为何值时，下列分式的值为0？
（1）
21
1
x
x
-
+
（2）
223
1
x x
x
+-
-
（3）
2
2
4
2
x
x x
-
+
【例9】若分式
223
(1)(2)
x x
x x
--
++
的值为0，则x的值为．
【巩固】（2011大兴二模）若分式
24
2
x
x
-
-
的值为0，则x的值为.
【巩固】若分式2
2
25(5)
x x --的值为0，则x 的值为 .
【巩固】如果分式232
1
x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 .
【总结】
【易错】
模块四 分式的基本性质
☞分式变形---扩大与缩小
【例10】 填空：
（1）()
2ab b
a = （2）()32x x xy x y =++
（3）()
2x y x xy
xy ++= （4）()22
2x y x y x xy y +=--+
【例11】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？
（1）x y x y +- （2）xy
x y
- （3）22x y x y -+
【巩固】把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？
（1）2x y x y ++ （2）22
923x x y +
【巩固】若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？
（1）22
22
x y x y +-
（2）3
323x y
（3）22
3x y xy
-
【总结】
【易错】
☞分式变形---系数化整与变号 【例12】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数．
（1）1.030.023.20.5x y x y +- （2）324
31532
x y
x y -+
【巩固】不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数.
（1）0.3 1.20.051x x +-； （2）115
710.12
x y
x y -+
【例13】 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母均不含“-”号.
（1）23b a --- （2）14b - （3）35m n
-- （4）273y
x -
【巩固】不改变分式的值，使下列分式的分子、分母均不含“-”号.
（1）32m n - （2）3a b
- （3）35y
x --
【例14】 不改变分式值，使下列各式分子与分母中的最高次数项的系数为正数：
（1）21
2
a a ---； （2）3223
53a a a a -+---
【巩固】不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数：
（1）232645x x x x +-+- （2） 237
21
x x x -+-+-
【总结】
【易错】
☞分式的通分与约分 【例15】 求下列各组分式的最简公分母
（1）277a -，2
312a a a -+，21
1a -
（2）2145x x --，232
x
x x ++，22310x x x --
（3）22a ab a ab +-，22ab b ab -，222
a a
b -
（4）231881x x -+，2281x -，21
1881
x x ++
【例16】 把下列各式通分.
（1）222
234
,,345a ab a b
- （2）2212,32x y x xy y --+
【巩固】把下列各式通分.
（1）238x y -，3512x yz ，3320xy z - （2）1(1)x x x +-，21x x -，22
21
x x -+
【例17】 以下分式化简：（1）42226131x x x x ++=--；（2）x a a
x b b
+=+；
（3）22x y x y x y +=++；（4）22x y x y x y -=-+。

其中错误的有（ ）
A 1个
B .2个
C .3个
D .4个
【例18】 约分23
3
48a b b -= .
【巩固】约分：（1）3______3mn
m
= （2）227______28x z xy z -= （3）233______26a a a -=-
（4）22
22
2______m mn n m n -+=-
【巩固】约分：（1）323
24______30x y x y -=；（2）262______31
x x
x +=+
【例19】 计算2
2
()ab ab 的结果为（ ）
A ．b
B ．a
C ．1
D ．
1b
【巩固】化简22
2m n m mn -+的结果是（ ）
A ．2m n m -
B ．m n
m
-
C ．
m n
m
+ D ．
m n
m n
-+
【总结】 【易错】
模块五 分式的乘除
【例20】 下列运算中正确的是（ ）
A .m n m m ÷⋅=
B .1m n m n ÷⋅=
C .1
1m m m
÷⋅= D .n m m n ÷⋅=
【巩固】（2010密云一模）化简：2211
x x x x
+-÷．
【巩固】45
________.a b a a b a -⎛⎫⎛⎫
⋅= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
【巩固】32
22_______.x x y y ⎛⎫⎛⎫-÷= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
【巩固】计算()234a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-⋅-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【例21】 计算：（1）22635a b cd c ab --⋅ （2）21285xy x y a
÷
【例22】 计算：2222
963441644x x x x x x x x -+-++÷⋅---
【巩固】计算：2221
x x x x x +÷++
【巩固】计算：22
214(1)441
a a a a a a --÷+⋅++-
【总结】
【易错】
【练习1】当x= 时，分式
1
21
x
x
-
-
无意义.
【练习2】当x= 时，分式
21
1
x
x
-
-
的值为零？
【练习3】通分：
2
2
23
,, 35 a c bc a b
【练习4】约分：
2
2
412
____ 710
x x
x x
--
=
++
【练习5】计算：
22
2
2
2
()
x xy y x y xy x
xy x
-+--÷⋅
课堂检测
1.通过本堂课你学会了 ．
2.掌握的不太好的部分 ．
3.老师点评：① ．
② ． ③ ．
1.当x 取何值时，分式
5(2)(3)
x x x ---有意义？
2.当x = 时，分式26(1)(3)
x x x x ----的值为零.
3.不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数.
⑴1-51124
x x y - ⑵0.010.50.30.04a b a -+
4.把下列各式通分.
总结复习
课后作业
（1）
223,156
x x x +-- （2）2212,22x y x xy y ---
5.约分：2239
x x x --
6.计算：22448()()3()y x xy x y x y x y x y x y x y ⎡⎤--+-÷+-⎢⎥-+-⎣⎦。