信号与系统第2章 连续时间系统的时域分析

系统分析的任务是对给定的系统模型和输入信 号求系统的输出响应 系统分析的方法：时域分析方法
频域分析方法
第二章 连续时间系统的时域分析
本章主要内容： 系统时域分析法： 1、微分方程的求解
直接求解微分方程；零输入响应和零状态响 应的概念和求解。 2、根据单位冲激响应求系统的响应；卷积积分。 3、算子符号表示法。
C0 n C1 n1 Cn1 Cn 0
——微分方程的特征方程
特征方程的n个根 1 ，2 ，…，n 称为微分方
程的特征根
第二章 连续时间系统的时域分析
1、在特征根各不相同(无重根)的情况下，微分方 程的齐次解：
n
rh t A1e1t A2e2t Anent Aieit i 1
2、若特征方程有重根，1为k阶重根，则相 应于1的微分方程的齐次解将有k 项，为：
A1t k1 A2t k2 Ak e1t k Ait ki eit
i1
第二章 连续时间系统的时域分析
例2-3 求解微分方程
d3 dt 3
r t
7
d2 dt 2
r t 16
d dt
r t 12r t
dt 2
7 2
duo t
dt
5 2
uo
t
3iS
t
第二章 连续时间系统的时域分析
d 2i1t
dt 2
7 2
di1 t
dt
5 2
i1 t
d
2iS t
dt 2
1 2
diS t
dt
iS
t
d
2i2 t
dt 2
7 2
di2 t
dt
5 2
i2
t
3
diS t
dt
d
2uo t
dt 2
7 2
duo t
dt
5 2
由此可确定Ai，得到完全解。
第二章 连续时间系统的时域分析
线性常系数微分方程的经典解法： 1、通过特征方程写出齐次解(含待定系数)； 2、通过自由项写的特解，并代入原方程中确
定特解的待定系数； 3、完全解=齐次解(含待定系数)+特解，根据
边界条件列方程组，求齐次解中的系数。
第二章 连续时间系统的时域分析
e2t
第二章 连续时间系统的时域分析
完全解=齐次解+特解
n
rt rh t rp t Aieit rp t i 1
边界条件：在(0+≤t≤∞)内任一时刻t0(通常 为0+)时r(t)及其各阶导数(最高为n-1阶)的 值。即
rt0
,
d dt
rt0
,
d2 dt 2
rt0
,,
d n1 dt n1
rt0
etC1cost j sin t C2cost j sin t etC1 C2 cost jC1 C2 sin t etA1 cost A2 sin t
第二章 连续时间系统的时域分析
4、 求微分方程
d 2rt
dt 2
r
t
et
答案： rh t A1 cost A2 sin t
第二章 连续时间系统的时域分析
特解：特解的函数形式与激励的函数形式 有关。
自由项：将激励代入微分方程右端，化简 后的函数式
第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
注意： 1、表中的B、D是待定系统。 2、若自由项由几种函数组合，则特解也为其相应的组合。 3、若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项： t倍乘表中特解。若这种重复形式有k次，则依次增加倍乘t， t2，…， tk诸项。
第二章 连续时间系统的时域分析
2.2 系统数学模型（微分方程）的建立
例2-1 图2-1所示为RLC并联电路的，求并联电路 的端电压v(t)与激励源iS(t)间的关系
+
iR
iC
iL
iS(t)
R
L C v(t)
-
第二章 连续时间系统的时域分析
电阻： 电感： 电容：
iR
t
1 R
vt
iL t
1 L
第二章 连续时间系统的时域分析
当系统已经用微分方程表示时，系统的0-状态到0+ 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否
包含 t 及其各阶导数。 它的原理是根据t=0时刻微分方程左右两端的 t
及其各阶导数应该平衡相等。
d rt 3rt 't
dt
第二章 连续时间系统的时域分析
解法二：用匹配法
0 dt
0 0
1 RC
vR (t)dt
0 (t)dt
0
vR (0 ) vR (0 )
将 e(t) u(t) 代入
得
dvR (t) dt
1 RC
vR
(t)
de(t) dt
dvR (t) dt
1 RC
vR
(t)
(t)
（2-1）
为保持方程左右两端各阶奇异函数平衡，可以判断，等式左端最高阶项应包含 (t ) ，所以 vR (t)
在0点发生跳变。
将（2-1）两端同时做积分得
0 dvR (t)dt
de(t) dt
+
E(t)
C
-
+
R VR(t) -
当输入端激励信号发生跳变时，电容二端电压保持连续值，仍等于0，而电阻两端电压将产生跳变，
即 vR (0 ) 1
特征根：
1 RC
t
齐次解： Ae RC
代入起始条件：
0
vR (0 ) Ae RC A 1
特解：0
完全解：
t
vR (t) e RC (t 0)
et
的齐次解。
解：
特征方程： 3 7 2 16 12 0
特征根： 齐次解：
1 3,2 3 2
rh t A1e3t A2t A3 e2t
第二章 连续时间系统的时域分析
1、 求微分方程
d 2r dt
t
2
3
drt
dt
2r
t
et
的齐次解。
答案： rh t A1et A2e2t
uo
t
3iS
t
第二章 连续时间系统的时域分析
2.3 用时域经典法求解微分方程
设激励信号为e(t)，系统响应为r(t)，则可以用一高阶 的微分方程表示复杂的系统。
C0
dn dt n
r(t)
C1
d n1 dt n1
r(t)
Cn1
d dt
r(t)
Cn r (t )
E0
dm dt m
e(t)
E1
d m1 dt m1
iL t
1 LC
iL t
R1 L
diS t
dt
1 LC
iS t
第二章 连续时间系统的时域分析
u1t
R1
iL
u1t vC
t t
iS t L diL t
dt
R2iL
t
L
iC(t) iL(t)
iS(t)
＋
R1 u1(t)
R2
－
u1
t
1 C
t
u1
R1
d
L
diS t
dt
u1t
R1
R2iS t
例如：齐次解： A1e2t A2e3t
激励： e2t
特解： (c1 c2t)e2t
第二章 连续时间系统的时域分析
例2-4 给定微分方程
d2 dt 2
r t
2
d dt
rt
3rt
d dt
et
et
如果已知：(1) e(t)= t2 ；(2)e(t)=et，分别求两种情
况下此方程的特解。
解：(1) 将e(t)=t2代入方程右端，得自由项t2+2t
2
iS
t
3i1t
d iS
t
dt
i1 t
uo
t
uo t
t
i2
d
1H
i1(t)
i2(t)
iS(t) 3 1 F 2
＋ uO(t) －
d 2i1t
dt 2
7 2
di1t
dt
5 2
i1 t
d
2iS t
dt 2
1 2
diS t
dt
iS
t
第二章 连续时间系统的时域分析
i1
t
i2
t
uo t
特解为：
rp
t
1 3
t
2
2 9
t
10 27
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 将e(t)=et代入方程右端，得自由项2et 特解rp(t)=Bet 将特解代入原微分方程，得：
Bet+2Bet+3Bet=2Bet
B1 3
特解为：
rp
t
1 3
et
第二章 连续时间系统的时域分析
1、 求微分方程
d 2rt
第二章 连续时间系统的时域分析
例2-6 如图所示RC一阶电路，电路中无储能，起始电压和电流都为0，激励信号e(t)=u(t)，求t>0系统的响
应——电阻两端电压 vR (t)
解：根据KVL和元件特性写出微分方程
e(t) 1
RC
t
vR ( )d vR (t)
dvR (t) dt
1 RC
vR (t)
2
iS
t
3i1 t
di2 t
dt
1 2
i2 t
t
i2
d
uo t
t
i2
d
1H
i1(t)
i2(t)Leabharlann iS(t) 3 1 F 2
＋ uO(t) －
di2 t
dt
7 2
i2
t
5 2
t
i2
d
3iS t
d
2i2 t
dt 2
7 2
di2 t
dt
5 2
i2
t
3
diS t
dt
d
2uo t
系统加入激励之后的状态：
r k 0
r
0
,
d dt
r0
,
d2 dt 2
r0
,,
d n1 dt n1
r0
——初始条件(0+状态，导出的起始状态)
第二章 连续时间系统的时域分析
对于一个具体的电网络，系统的0-状态就 是系统中储能元件的储能情况，即电容 上的起始电压和电感中的起始电流。
当电路中没有冲激电流(或阶跃电压)强迫 作用于电容以及没有冲激电压(或阶跃电 流)强迫作用于电感，则换路期间电容两 端的电压和流过电感中的电流不会发生 突变。
dt 2
3
drt
dt
2r
t
et
的特解。
et et
答案： rp t tet
2、 求微分方程
的特解。
d 2r dt
t
2
2
drt
dt
r
t
et
et et
答案：
rp t
1 2
t 2et
第二章 连续时间系统的时域分析
3、 求微分方程
d 2rt
dt 2
2
drt
dt
2r
t
et
et e2t
答案：
rp
t
1 2
e(t)
Em1
d dt
e(t)
Em e(t )
第二章 连续时间系统的时域分析
完全解由齐次解与特解组成。 齐次解：齐次方程的解。 齐次方程：
C0
dn dt n
r(t) C1
d n1 dt n1
r(t) Cn1
d dt
r(t)
Cn r (t )
0
齐次解的形式是形如 Aet 的线性组合。
第二章 连续时间系统的时域分析
2、 求微分方程
d 2r
的齐次解。 dt
t
2
2
drt
dt
r
t
et
答案： rh t A1t A2 et
第二章 连续时间系统的时域分析
3、 求微分方程
d 2rt
dt 2
2
drt
dt
2r
t
et
答案： rh t C1e1 jt C2e1 jt et A1 cost A2 sin t
rh t et C1e jt C2e jt
第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1 引言 2.2 微分方程的建立与求解 2.3 起始点的跳变 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应与阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质 2.8 用算子符号表示微分方程
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1 引言
系统在时域中数学模型的建立 微分方程：输入-输出法——高阶微分方程
iS(t)
＋
R1 u1(t)
R2
－
第二章 连续时间系统的时域分析
iC t iL t
R1iC
t
vC
t
iS t L
diL t
dt
R2iL
t
R1 iS
t
iL
t
1 C
t
iS
iL
d
L
diL t
dt
R2iL
t
L
iC(t) iL(t)
iS(t)
＋
R1 u1(t)
R2
－
d
2iL t
dt 2
R1
R2 L
d dt
特解rp(t)=B1 t2+B2t+B3 将特解代入原微分方程，得：
3B1t 2 4B1 3B2 t 2B1 2B2 3B3 t 2 2t
第二章 连续时间系统的时域分析
等式两端各对应幂次的系统相等，
3B1 1 4B1 3B2 2
2B1 2B2 3B3 0
可得：
1
2
10
B1 3 , B2 9 , B3 27
t v
d
iC
t
C
d dt
vt
iR t iL t iC t iS t
C
d2 dt 2
vt
1 R
d dt
vt
1 L
vt
d dt
iS
t
第二章 连续时间系统的时域分析
例：输入激励是电流源iS(t),试列出电流 iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方 程式。
L
iC(t) iL(t)
特征方程的根 i 称为系统 的“固有频
率”，决定齐次解的形式。
齐次解——自由响应。 特解——强迫响应
第二章 连续时间系统的时域分析
2.4 起始点的跳变 ——从0-到0+状态的转变
系统加入激励之前的状态：
r k 0
r
0
,
d dt
r0
,
d2 dt 2
r0
,,
d n1 dt n1
r0
——起始状态(0-状态)
u1t
R1
d
2u1 t
dt 2
R1