2014年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案(word及解析版)

2014年湖南省长沙市中考数学试题及参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．
1
2
的倒数是（ ） A ．2 B ．－2 C ．
12 D ．－12
2．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（ ） A ． 圆锥 B ．六棱柱 C ．球 D ． 四棱锥
3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（ ） A ．3和3 B ．3和4 C ．4和3 D ．4和4 4．平行四边形的对角线一定具有的性质是（ ）
A ．相等
B ．互相平分
C ．互相垂直
D ．互相垂直且相等 5．下列计算正确的是（ ）
A B ．()2
24ab ab = C ．236a a a += D ．34a a a ⋅=
6．如图，C 、D 是线段AB 上的两点，且D 是线段AC 的中点，若10cm AB =，4cm BC =，则AD 的长为（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．6cm
7．一个关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A ．1x >
B ．1x ≥
C ．3x >
D ．3x ≥
8．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒，则对角线BD 的长是（ ）
A ．1
B
C ．2
D ．
9．下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．函数a
y x
=
与()20y ax a =≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，直线a b ∥，直线c 分别与a b ，
相交，若170∠=︒，则2∠=__________度．
12．抛物线()2
325y x =-+的顶点坐标是__________．
13．如图，A 、B 、C 是O 上的三点，100AOB ∠=︒，则ACB ∠=__________度．
14．已知关于x 的一元二次方程2
2340x kx -+=的一个根是1，则k =__________．
15．100件外观相同的产品中有5件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是__________．
16．如图，在ABC △中，DE BC ∥，
2
3
DE BC =，ADE △的面积是8，则ABC △面积为__________．
17．如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB DF ∥，AB DE =，BE CF =，6AC =，则DF =__________．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点()23A ，
，点()21B -，，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是__________．
19．（6分）计算：()
1
2014
11453-⎛⎫
-++︒ ⎪⎝⎭
．
20．（6分）先简化，再求值：22121124x x x x -+⎛
⎫++
⎪--⎝
⎭，其中3x =． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙－我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图： 请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？
（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A 、B 、
C 、
D ，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A ”的概率． 22．（8分）如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿对角线AC 折叠，点B 落在点
E 处，CE 与AD 相交于点O ．
（1）求证：AOE COD △≌△；
（2）若30OCD ∠=︒，AB =，求AOC △的面积．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23．（9分）为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买一中树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 24．（9分）如图，以ABC △的一边AB 为直径作O ，O 与BC 边的交点恰好为BC 的中点D ，过点D 作O 的切线交AC 于点E ．
（1）求证：DE AC ⊥；
（2）若3AB DE =，求tan ACB ∠的值．
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25．（10分）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（－
1，－1），（0，0），
，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．
（1）若点()2P m ，
是反比例函数n
y x
=（n 为常数，0n ≠）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
（2）函数31y kx s =+-（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若二次函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，0a >）的图象上存在两个不同的“梦之点”()11A x x ，，
()22B x x ，，且满足122x -<<，122x x -=，令2157
248
t b b =-+
，试求出t 的取值范围． 26．（10分）如图，抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的对称轴为y 轴，且经过（0，
0）和116⎫⎪⎭
，两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的P 总经过定点()02A ，
．
（1）求a ，b ，c 的值；
（2）求证：在点P 运动的过程中，P 始终与x 轴相交；
（3）设P 与x 轴相交于()10M x ，
，()20N x ，()12x x <两点，当AMN △为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．
参考答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．1
2
的倒数是（）
A．2 B．－2 C．1
2
D．－
1
2
【知识考点】倒数．
【思路分析】根据乘积为的1两个数倒数，可得一个数的倒数．
【解答过程】解：1
2
的倒数是2，
故选：A．
【总结归纳】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是（）
A．圆锥B．六棱柱C．球D．四棱锥
【知识考点】简单几何体的三视图．
【思路分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．
【解答过程】解：A．圆锥的主视图、左视图、俯视图分别为等腰三角形，等腰三角形，圆及圆心，故A选项不符合题意；
B．六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故B选项不符合题意；C．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故C选项符合题意；
D．四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故D选项不符合题意；
故选C．
【总结归纳】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
3．一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（）
A．3和3 B．3和4 C．4和3 D．4和4
【知识考点】中位数；算术平均数．
【思路分析】根据中位数及平均数的定义求解即可．
【解答过程】解：将数据从小到大排列为：2，3，3，4，8，
则中位数是3，平均数
23348
4
5
++++
==．
故选B．
【总结归纳】本题考查了平均数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
4．平行四边形的对角线一定具有的性质是（）
A．相等B．互相平分C．互相垂直D．互相垂直且相等
【知识考点】平行四边形的性质．
【思路分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得答案．
【解答过程】解：平行四边形的对角线互相平分，
故选：B．
【总结归纳】此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
5．下列计算正确的是（）。