(中考考点梳理)三角形及其全等-中考数学一遍过

考点14 三角形及其全等
一、三角形的基础知识
1．三角形的概念
由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.
2．三角形的三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段不等关
系．
3．三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：①直角三角形的两个锐角互余；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
4．三角形中的重要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线．
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）．
（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
二、全等三角形
1．三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2．全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（2）全等三角形的周长相等，面积相等；学科-网
（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等．
考向一三角形的三边关系
在判断三条线段能否组成一个三角形时，可以根据两条较短线段的长度之和是否大于第三条线段的长度来判断．
典例1 小芳有两根长度为6cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为__________的木条．
A．2cm B．3cm
C．12cm D．15cm
【答案】C
【解析】设木条的长度为x cm，则9–6<x<9+6，即3<x<15，故她应该选择长度为12cm的木条．
故选C．
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是
A．2cm，5cm，8cm B．3cm，3cm，6cm
C．3cm，4cm，5cm D．1cm，2cm，3cm
考向二三角形的内角和外角
在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．
典例2 如图，下列有四个说法，正确的个数是
①∠B ＞∠ACD ；②∠B +∠ACB =180°–∠A ；③∠A +∠B =∠ACD ；④∠HEC ＞∠ B ．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【解答】解：①∠B <∠ACD ，故①错误； ②∠B +∠ACB =180°–∠A ，故②正确； ③∠A +∠B =∠ACD ，故③正确；
④∠HEC =∠AED ＞∠ACD ＞∠B ，则∠HEC ＞∠B ，故④正确． 故选C ．
2．如图，CE 是△ABC 的外角ACD ∠的平分线，若3560，B ACE ∠=︒∠=︒，则A ∠=__________．
3．如图，在△ABC 中，∠ACB =68°，若P 为△ABC 内一点，且∠1=∠2，则∠BPC =__________．
考向三 三角形中的重要线段
三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．另外，要注意区分三角形的中线和中位线．中线：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段；中位线：连接三角形两条边中点的线段.
典例3 在△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =2，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 中点，连接DF ，FE ，则四边形DBEF 的周长是
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
【答案】B
典例4 如图，点G 为△ABC 的重心，则S △ABG ∶S △ACG ∶S △BCG 的值是
A ．1∶2∶3
B ．2∶1∶2
C ．1∶1∶1
D ．无法确定
【答案】C
【解析】如图，分别延长AG 、CG 、BG ，交BC 、AB 、AC 于点D 、F 、E ，根据三角形重心的定理得到AD 、BE 、CF 是△ABC 的中线，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形可得
，ABD ACD BDG CDG S S S S ∆∆∆==，即可得ABG ACG S S ∆∆=，同理可得ABG BCG S S ∆∆=，所以=ABG BCG ACG S S S ∆∆∆=，
即S △ABG ∶S △ACG ∶S △BCG =1∶1∶1，故选C ．
4．如图，在Rt △ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D 点，AB =4，BD =5，点P 是线段BC 上的一动点，则PD 的最小值是__________．
考向四 全等三角形
1．从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路：
（1）已知两边SAS HL
SSS ⎧⎪
⎨⎪⎩
找夹角→找直角→找第三边→ （2）已知一边、一角AAS SAS ASA AAS ⎧⎪
⎧⎪
⎨⎪
⎨⎪
⎪⎪
⎩⎩一边为角的对边→找另一角→找夹角的另一边→一边为角的邻边找夹角的另一角→找边的对角→ （3）已知两角ASA
AAS ⎧⎨
⎩
找夹边→找其中一角的对边→ 2．若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目．
典例5 如图，已知∠ADB =∠CBD ，下列所给条件不能证明△ABD ≌△CDB 的是
A ．∠A =∠C
B ．AD =B
C C ．∠AB
D =∠CDB D ．AB =CD
【答案】D
【解析】A ．∵∠A =∠C ，∠ADB =∠CBD ，BD =BD ，∴△ABD ≌△CDB （AAS ），故正确；B ．∵AD =BC ，∠ADB =∠CBD ，BD =DB ，∴△ABD ≌△CDB （SAS ），故正确；C ．∵∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD ，BD =DB ，∴△ABD ≌△CDB （ASA ），故正确；D ．∵AB =CD ，BD =DB ，∠ADB =∠CBD
，不符合全等三角
形的判定方法，故不正确，故选D．
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，①三边对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；②两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；③两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；④两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS”；⑤斜边及一直角边对应相等的两个三角形全等，根据这几种判定方法解答即可．
5．如图，OA=OB，∠A=∠B，有下列3个结论：①△AOD≌△BOC，②△ACE≌△BDE，③点E在∠O的平分线上，其中正确的结论个数是
A．0 B．1
C．2 D．3
6．如图，在△BCE中，AC⊥BE，AB=AC，点A、点F分别在BE、CE上，BF、AC相交于点D，BD=CE．求证：AD=AE．
1．如图所示，其中三角形的个数是
A．2个B．3个
C．4个D．5个
2．下列图形不具有稳定性的是
A．正方形B．等腰三角形
C．直角三角形D．钝角三角形
3．直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为
A．45° B．55°
C．65° D．50°
4．若△ABC内一点O到三角形三条边的距离相等，则O为△ABC__________的交点．A．角平分线B．高线
C．中线D．边的中垂线
5．如图所示，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需补充的条件是
A．∠A=∠D B．∠E=∠C
C．∠A=∠C D．∠1=∠2
6．如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是
A ．∠DAE =∠CBE
B ．△DEA 不全等于△CEB
C ．CE =DE
D ．△EAB 是等腰三角形
7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3=__________度．
8．如图所示，AB ⊥BE 于点B ，DE ⊥BE 于点E .
(1)若∠A =∠D ，AB =DE ，则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________； (2)若∠A =∠D ，BC =EF ，则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________； (3)若AB =DE ，BC =EF ，则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________； (4)若AB =DE ，AC =DF ，则△ABC 与△DEF 全等的理由是__________.学-科网
9．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD 是中线，AF ⊥BD ，F 为垂足，过点C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点E .
求证：(1)∠ABD =∠FAD ；(2)AB =2CE .
10．如图，，，于D ，于E ，且．
求证：．
AB AC =90BAC ∠= BD AE ⊥CE AE ⊥BD CE >BD EC ED =+
11．如图，操场上有两根旗杆CA与BD之间相距12m，小强同学从B点沿BA走向A，一定时间后他到达M 点，此时他测得CM和DM的夹角为90°，且CM=DM，已知旗杆AC的高为3m，小强同学行走的速度为0.5m/s，则：
（1）请你求出另一旗杆BD的高度；
（2）小强从M点到达A点还需要多长时间？
1．（2018•柳州）如图，图中直角三角形共有
A．1个B．2个
C．3个D．4个
2．（2018•河北）下列图形具有稳定性的是
A．B．
C．D．
3．（2017•河池）三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是
A．中线B．角平分线
C．高D．中位线
4．（2018•百色）顶角为30°的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的
A．重心B．外心
C．内心D．中心
5．（2018•毕节市）已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是A．4 B．6
C．8 D．10
6．（2018•贵阳市）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是
A．线段DE B．线段BE
C．线段EF D．线段FG
7．（2018•昆明）在△AOC中，OB交AC于点D，量角器的摆放如图所示，则∠CDO的度数为
A．90°B．95°
C．100°D．120°
8．（2018•青海）小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E=90°，∠C=90°，∠A=45°，∠D=30°，则∠1+∠2等于
A．150°B．180°
C．210°D．270°
9．（2018•广西）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于
A．40°B．45°
C．50°D．55°
10．（2018•聊城市）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是
A．γ=2α+βB．γ=α+2β
C．γ=α+βD．γ=180°–α–β
11．（2018•黔西南州市）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是
A．甲和乙B．乙和丙
C．甲和丙D．只有丙
12．（2018•安顺市）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD
A．∠B=∠C B．AD=AE
C．BD=CE D．BE=CD
13．（2018•南京市）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥A D．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为
A．a+c B．b+c
C．a–b+c D．a+b–c
14．（2018•辽阳市）如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA=5，AB=6，则点B到AC的距离为
A．5 B．24 5
C．4 D．12 5
15．（2018•绵阳市）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=__________．
16．（2018•泰州）已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为__________．17．（2018•陇南市）已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a–7|+（b–1）2=0，c为奇数，则c=__________．18．（2018•柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△ED C．
19．（2018•云南）如图，已知AC平分∠BAD，AB=A D．求证：△ABC≌△ADC．
4．【答案】3
【解析】由勾股定理知AD3
=，BD平分∠ABC交AC于D点，所以PD=AD最小，PD=3，故答案为：3．
5．【答案】D
【解析】∵OA=OB，∠A=∠B，∠O=∠O，
∴△AOD≌△BOC（ASA），故①正确；
∴OD=CO，∴BD=AC，
∴△ACE≌△BDE（AAS），故②正确；
∴AE=BE，连接OE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AOE =∠BOE ，∴点E 在∠O 的平分线上，故③正确， 故选D ．
6．【解析】∵AC ⊥BE ，∴∠BAD =∠CAE =90°，
在Rt △ABD 和Rt △ACE 中，BD CE
AB AC =⎧⎨=⎩
，
∴Rt △ABD ≌Rt △ACE （HL ），∴AD =AE ．
1．【答案】D
【解析】图中的三角形有：△ABC ，△BCD ，△BCE ，△ABE ，△CDE 共5个.故选D ． 2．【答案】A
【解析】根据三角形具有稳定性可知，只有选项A 不具有稳定性，故选A ． 3．【答案】B
【解析】设两个锐角分别为x 、y ，由题意得，，解得，所以最大锐角为55°．
故选B ． 4．【答案】A
【解析】∵到角的两边的距离相等的点在角的平分线上， ∴这个点是三角形三条角平分线的交点.故选A ． 5．【答案】D
【解析】根据全等“SAS”判定可知，要证△ABE ≌△DBC 还需补充条件AB ，BE 与BC ，BD 的夹角相等，即∠ABE =∠CBD 或者∠1=∠2，故选D ． 6．【答案】B
【解析】∵∠1+∠C +∠ABC =∠2+∠D +∠DAB =180°，且∠1=∠2，∠C =∠D ， ∴∠ABC =∠DAB ，∴∠ABC –∠2=∠DAB –∠1，∴∠DAE =∠CBE ．故A 正确；
∵∠1=∠2，∴AE =BE .在△DEA 和△CEB 中DAE CBE C D AE BE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△DEA ≌△CEB （AAS ），故B 错误；
由△DEA ≌△CEB 可得CE =DE ．故C 正确．
∵∠1=∠2，∴BE =AE ，∴△EAB 是等腰三角形故D 正确；故选B ．
=90=20x y x y +︒-︒⎧⎨⎩=55=35x y ︒
︒⎧⎨⎩
7．【答案】135 【解析】如图所示：
由题意可知△ABC ≌△EDC ，∴∠3=∠BAC ， 又∵∠1+∠BAC =90°，∴∠1+∠3=90°，
∵DF =DC ，∴∠2=45°，∴∠1+∠2+∠3=135度， 故答案是：135．
8．【答案】ASA ，AAS ，SAS ，HL
【解析】(1)在△ABC 和△DEF 中，因为∠B =∠E =90°， AB =DE ，∠A =∠D ，所以△ABC ≌△DEF (ASA)； (2)在△ABC 和△DEF 中，因为∠B =∠E =90°， ∠A =∠D ，BC =EF ，所以△ABC ≌△DEF (AAS)； (3)在△ABC 和△DEF 中，因为AB =DE ，∠B =∠E =90°， BC =EF ，所以△ABC ≌△DEF (SAS)；
(4)在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，因为AC =DF ，AB =DE ， 所以Rt △ABC ≌Rt △DEF (HL)． 故答案为：ASA ；AAS ；SAS ；HL.
10．【解析】，，，
，，， ，
90BAC ∠= CE AE ⊥BD AE ⊥90ABD BAD ∠∠∴+= 90BAD DAC ∠∠+= 90ADB AEC ∠∠== ABD DAC ∠∠∴=
在和中，，
∴≌（AAS ），
，， ，
∴BD =EC +ED ．
11．【解析】（1）如图，∵CM 和DM 的夹角为90°，
∴∠1+∠2=90°，∵∠DBA =90°，∴∠2+∠D =90°，∴∠1=∠D ，
在△CAM 和△MBD 中，，
∴△CAM ≌△MBD （AAS ），∴AM =DB ，AC =MB ， ∵AC =3m ，∴MB =3m ，
∵AB =12m ，∴AM =9m ，∴DB =9m ； （2）9÷0.5=18（s ）．学_科网
答：小强从M 点到达A 点还需要18秒．
1．【答案】C
ABD CAE ABD EAC BDA E AB AC ∠=∠∠=∠=⎧⎪
⎨⎪⎩
ABD CAE BD AE ∴=EC AD =AE AD DE =+ 1A B D CM MD ∠=∠∠=∠=⎧⎪
⎨⎪⎩
【解析】如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，故选C．
2．【答案】A
【解析】三角形具有稳定性．故选A．
3．【答案】A
【解析】∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．
4．【答案】A
【解析】三角形三条中线的交点是三角形的重心，故选A．
5．【答案】C
【解析】设第三边长为x，则8–2<x<2+8，6<x<10，故选C．
6．【答案】B
【解析】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，故选B．
7．【答案】B
【解析】∵CO=AO，∠AOC=130°，∴∠CAO=25°，又∵∠AOB=70°，∴∠CDO=∠CAO+∠AOB=25°+70°=95°，故选B．
8．【答案】C
【解析】如图：
∵∠1=∠D+∠DOA，∠2=∠E+∠EPB，
∵∠DOA=∠COP，∠EPB=∠CPO，
∴∠1+∠2=∠D+∠E+∠COP+∠CPO=∠D+∠E+180°–∠C=30°+90°+180°–90°=210°，故选
C ． 9．【答案】C
【解析】∵∠A =60°，∠B =40°，∴∠ACD =∠A +∠B =100°， ∵CE 平分∠ACD ，∴∠ECD =1
2
∠ACD =50°，故选C ． 10．【答案】A
【解析】由折叠得：∠A =∠A '，∵∠BDA '=∠A +∠AFD ，∠AFD =∠A '+∠CEA '， ∵∠A =α，∠CEA ′=β，∠BDA '=γ，∴∠BDA '=γ=α+α+β=2α+β，故选．
11．【答案】B
【解析】乙和△ABC 全等；理由如下：
在△ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS ，所以乙和△ABC 全等； 在△ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS ，所以丙和△ABC 全等； 不能判定甲与△ABC 全等；故选B ．
13．【答案】D
【解析】∵AB ⊥CD ，CE ⊥AD ，BF ⊥AD ，∴∠AFB =∠CED =90°，∠A +∠D =90°，∠C +∠D =90°，∴∠A =∠C ，∵AB =CD ，∴△ABF ≌△CDE ，∴AF =CE =a ，BF =DE =b ， ∵EF =c ，∴AD =AF +DF =a +（b –c ）=a +b –c ，故选D ． 14．【答案】B
【解析】由题意可得，OC 为∠MON 的平分线， ∵OA =OB ，OC 平分∠AOB ，∴OC ⊥AB ， 设OC 与AB 交于点D ，作BE ⊥AC 于点E ，
∵AB =6，OA =5，AC =OA ，OC ⊥AB ，∴AC =5，∠ADC =90°，AD =3， ∴CD =4，∵
2AB CD ⋅=2AC BE ⋅，∴642
⨯=52BE ⨯，
解得，BE =
24
5
，故选B ． 15
【解析】∵AD 、BE 为BC ，AC 边上的中线，
∴BD =
12BC =2，AE =12AC =3
2
，点O 为△ABC 的重心，∴AO =2OD ，OB =2OE ， ∵BE ⊥AD ，∴BO 2+OD 2=BD 2=4，OE 2+AO 2=AE 2=94，∴BO 2+14AO 2=4，14BO 2+AO 2=9
4
，
∴54BO 2+54AO 2=254
，∴BO 2+AO 2=5，∴AB
． 16．【答案】5
【解析】根据三角形的三边关系，得4<第三边<6． 又第三条边长为整数，则第三边是5．故答案为：5． 17．【答案】7
【解析】∵a ，b 满足|a –7|+（b –1）2=0，∴a –7=0，b –1=0，解得a =7，b =1， ∵7–1=6，7+1=8，∴6<c <8，又∵c 为奇数，∴c =7，故答案是：7．
18．【解析】∵在△ABC 和△EDC 中，，
∴△ABC ≌△EDC （ASA ）．
19．【解析】∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC =∠DAC ，
在△ABC 和△ADC 中，，
∴△ABC ≌△ADC ．
A E
AC EC ACB ECD ∠=∠=∠=∠⎧⎪
⎨⎪⎩
AB AD BAC DAC AC AC =∠=∠=⎧⎪
⎨⎪⎩。