小波分类_精品文档

式中 c 2，其1/傅4 里叶变换为
3
() 2 c2e2 / 2
该小波是由一高斯函数的二阶导数所得到的,其波形
和其频谱如图所示。
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2.常用的基本小波
Mexican hat wavelet: Psi 1
The FT of Psi 20
18 0.8
16
0.6
14
12 0.4
10 0.2
0.2
10
0
8
-0.2
6
-0.4 4
-0.6
-0.8
2
-1
0
-4 -2
0
2
4
0
0.5
1
Morlet小波， (a)时域波形， (b)频谱
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2.常用的基本小波
Mexican hat小波
该小波的中文名字为“墨西哥草帽”小波，又称
Marr小波。它定义为:
(t) c(1 t2 )et2 / 2
的支撑范围在
， 的支撑范围在
。小波
(t) 具有N阶消失矩t ，0 ~在(2N 1) (t)
处具(有1NN阶) ~零N点。但db(t小) 波是非对称的，(其)相应的 0滤
波器组属共轭正交镜像滤波器组（CQMFB）。
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3.正交小波
1
1
0
－1 01
0 －1 230
db 2
1
0
－1
(t), (2 j t) 0 • Haar波是对称的。系统的单位冲击响应若具有对称性，
则该系统具有线性相位，这对于去除相位失真是非常有 利的。Haar小波是目前唯一一个既具有对称性又是有限 支撑的正交小波；
• Haar小波仅取＋1和－1，计算简单。
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2.常用的基本小波
➢ Haar小波缺点
都不具有线性相位（Haar小波除外）。 Daubechies和Cohen提出并构造了双正交小波， 其目的是在放宽小波正交性的条件下得到线性相位 的小波及相应的滤波器组。
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3双正交小波
双正交滤波器组简称biorNr,Nd，其中Nr是低通
重建滤波器的阶次，Nd是低通分解滤波器的阶次。在
小波分析及其matlab工具箱
小波分类
基本内容
1.小波的分类 2.常用的基本小波
3.正交小波 4.双正交小波
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1.小波的分类
第一类:是所谓地“经典小波”，在 MATLAB中又称作“原始小波”。 第二类：是Daubecheis构造的正 交小波 第三类：是由Cohen， Daubechies构造的双正交小波
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2.常用的基本小波
Haar小波
Haar小波来自于数学家Haar于1910年提出的 Haar正交函数集，其定义是：
1
(t) 1
0
0 t 1/ 21/2t Nhomakorabea1
其它
其波形如图所示。 (t的) 傅里叶变换是：
() j 4 sin2 ( )e j / 2 a
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反对称。下图中给出了k=4时的 (t的) 时域波形及对
应的频谱。
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2.常用的基本小波
Gaussian wavelet: Psi 1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-10
-5
0
5
10
15 10
5 0
0
The FT of Psi
0.5
1
高斯小波，取k=4,(a)时域波形，(b)频谱
24
0
db 3
24
db 4
1
1
0
0
－1
－1
6 02468 0
db 5
5 10
db 6
1
0
－1 0
5 10
db 7
1
1
1
0
0
0
－1
－1
－1
0 5 10 15
0 5 10 15 0 5 10 15
db 8
db 9
db 10
dbN小波
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3.正交小波
表 7-1 Daubechies小波滤波器系数（低通滤波器） hk 2
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3.正交小波
目前提出的正交小波大致可分为四种， 即Daubechies小波，对称小波， Coiflets小波和Meyer小波。这些正交 小波和前面所讨论的“经典小波”不同， 它们一般不能由一个简洁的表达式给出，(t) 而是通过一个叫做“尺度函数”的 (的t) 加权组合来产生的。
3.正交小波
1.2
1.5
1
1 0.8
0.6
0.5
0.4
0.2
0
0 -0.2
-0.5
-0.4
-10
-5
0
5
10
-1
-10
-5
0
Meyer小波，(a)(t)，(b) (t)
5
10
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3双正交小波
由于离散小波变换最后是由两通道滤波器组来实现。 因此，正交小波条件下的 (，t) 和(t) h0与,h1, g0 g1
3.正交小波
Sym4: Phi 1.2
Sym4: Psi 1.5
1
1
0.8 0.5
0.6 0
0.4
-0.5 0.2
0
-1
-0.2
-1.5
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
N＝4时的对称小波，(a) (t)，(b) (t)
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3.正交小波
Coiflets小波
该小波简记为coifN，N=1,2,…,5。在db小波中， Daubechies小波仅考虑了使小波函数 (t) 具有消失 矩（N阶），而没考虑尺度函数 (t。) coifN是紧支撑正交、双正交小波，支撑范围 为 6N ，1也是接近对称的。 的(t消) 失矩是2N，
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2.常用的基本小波
Gaussian小波
高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到
的，定义为： (，t)
c
dk dt k
et2 / 2
k 1,2,,8
式中定标常数是保证 (t) 。 1 2 该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧
支撑的。当k取偶数时 (t正) 对称，当k取奇数时， (t)
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3.正交小波
dbN中的表示db小波的阶次N， 2 ~ 1，0 N 。1当时，db1即是
Haar小波。因此，前述的Haar小波应归于“正交小
波”类。Daubechies计算出了N 2 ~ 1时0 的 (t及), h0,h。1, g0
db小g波1 是正交小波，也是双正交小波，并是紧支撑的。
4
2.常用的基本小波
(t ) 1
1/ 2 1
t
0
1 (t 1)
1 0
2
t
(t / 2)
1
2t
0
Harr小波
(a) (t) ，(b) (t 1)，(c) (t / 2)
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2.常用的基本小波
➢ Haar小波的优点
• Haar小波在时域是紧支撑的，即其非零区间为（0，1） • Haar小波属正交小波。若取 a 2 j , j Z , b Z ，那么
Meyer小波
Meyer小波简记为meyr，它是由Meyer于1986年 提
出的。该小波无时域表达式，它是由一对共轭正交镜
像滤波器组的频谱来定义的。
Meyer小波是正交、双正交的，但不是有限支撑
的，但其有效的支撑范围在[－8，8]之间。该小波是
对称的，且有着非常好的规则性。
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Haar小波是不连续小波，由于 t (t)dt 0 ， 因此处() 只有一阶零点 0 ，这就使 得Haar小波在实际的信号分析与处理中 受到了限制。
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2.常用的基本小波
Morlet小波
Morlet小波定义为
(t) et2 / 2e jt
其傅里叶变换
() 2 e(0 )2 / 2
MATLAB中，Nr和Nd的可能组合是： Nr=1, Nd=1,3,5 Nr=2, Nd=2,4,6,8 Nr=3, Nd=1,3,5,7,9 Nr=4, Nd=4 Nr=5, Nd=5 Nr=6, Nd=8
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3双正交小波
这一类小波不是正交的，但它们是双正
交的，是紧支撑的，更主要的是它们是 对称的，因此具有线性相位。分解小波 的消失矩为Nr-1。下图给出的bior3.7 的分解小波、尺度函数及重建小波和尺 度函数。
的(t )消失矩是2N－1。
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3.正交小波
1.2 1
0.8 0.6 0.4 0.2
0 -0.2
0
Coif4: Phi
10
20
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
30
0
Coif4: Psi
10
20
30
Coiflets小波，(a) ，(b)(t)
(t)
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3.正交小波
0.6
0.5
0.4
0
0.2
-0.5
0
-1
0
5
10
15
0
5
10
15
双正交小波bior3.7
(a) 分解尺度函数 ，((tb) ) 分解小波 ， (t)
2023/10/12 (c) 重建尺度函数 ， ((td) ) 重建小波
(t)
30
8
0
6
4
-0.2 2
-0.4
0
-4 -2
0
2
4
0
0.5
1
墨西哥草帽小波，(a)时域波形，(b)频谱
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2.常用的基本小波
Mexican hat小波不是紧支撑的，不是
正交的，也不是双正交的，但它是对称 的，可用于连续小波变换。由于该小波 在 处0 有二阶零点，因此它满足容许 条件，且该小波比较接近人眼视觉的空 间响应特征
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3.正交小波
对称小波 对称小波简记为symN，N=2,3,…,8，它是db小波 的改进，也是由Daubechies提出并构造的。它除
了有db小波的特点外，主要(t是) 是接近对称的，因
此，所用的滤波器可接近于线性相位。下图中是N ＝4时的对称小波。
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并取 0 5 该小波不是紧支撑的，理论上讲t可取 ~ 但是当 0 5 ，或再取更大的值时，() 和 (t) 在时域和
频域都具有很好的集中，如图所示。
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2.常用的基本小波
Morlet wavelet: Psi 1
The FT of Psi 16
0.8
14
0.6 12
0.4
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3双正交小波 Dec. scalling function:Phi 2 1 0
Dec. wavelet function:Psi 4
2
0
-2
-1
0
5
10
15
Rec. scalling function:Phi 0.8
-4
0
5
10
15
Rec. wavelet function:Psi 1
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3.正交小波
Daubechies小波
Daubechies小波简称db小波。它是由法国女学者 Ingrid Dauechies于90年代初提出并构造。 Daubechies对小波变换的理论做出了突出的贡献， 特别是在尺度a取2的整数次幂时的小波理论及正交 小波的构造方面进行了深入的研究，其代表作 《Ten Lectures on Wavelet（小波十讲）》
它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到
待分析的信号一般是实信号。
Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用
于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广
泛的一种小波。
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2.常用的基本小波
MATLAB中将Morlet小波定义改造为： (t) et2 / 2 cos0t