福建省福州市第八中学高一数学下学期期末考试试题

福州八中2015—2016学年第二学期期末考试

高一数学 必修4

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

2016.7.5

第Ⅰ卷（100分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）

1．已知,13

5

sin =

α且α是第二象限角，那么αtan 的值是 Ａ．125- Ｂ．512- Ｃ．12

5

Ｄ．

5

12 2. 一个半径为R 的圆中,60o

的圆心角所对的弧长为

A. 60R

B.R 6π

C.R 31

D.

3

πR 3. 已知||3a =r ，b r 在a r 方向上的投影为3

2

，则a b ⋅=r r

A ．3

B ．9

2

C ．2

D ．

12

4．已知向量a ，b ，c 满足|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，c ⊥a ，则a 与b 的夹角等于 A ．30° B ．60° C ．120° D ．90° 5. 函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为

A. 3,1-

B.2,2-

C. 3

3,

2

- D. 32,

2

- 6．要将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像转化为某一个偶函数图像，只需将y ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图像

A ．向左平移π4个单位

B ．向左平移π

8个单位

C ．向右平移π4个单位

D ．向右平移π

8

个单位

7. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++u u u r u u u r u u u r u u u r

等于

..2.3.4A OM B OM C OM D OM u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r

8．关于x 的方程02

cos cos cos 22=-⋅⋅-C

B A x x 有一个根为1，则△AB

C 一定是

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．等腰三角形

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 9. 计算：=π6

19

sin

____________ 10. 在△ABC 中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，3=

BC ，则AC=___ _

11. 设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，

则λ的取值范围是

12．tan70°+tan50°－3t an70°tan50°的值等于

三、解答题（本大题共有4个小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 13．（本小题满分10分）

已知非零向量b a ,满足1=a ,且4

3

)()(=+⋅-b a b a . (1)求b ; (2)当4

1

-

=⋅b a 时,求向量a 与b a 2+的夹角θ的值.

14. （本小题满分10分）

已知向量)2,(sin -=θa 与)cos ,1(θ=b 互相垂直，其中(0,)2

π

θ∈．

（1）求θsin 和θcos 的值； （2）若10sin(),0102

π

θϕϕ-=

<<，求cos ϕ的值．

15. （本小题满分10分）

在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、且

3(tan tan )1tan tan A B A B -=+⋅.

（1）求A-B 的大小； （2）已知

6

3

B π

π

<<

，向量(sin ,cos )m A A =u v ，(cos ,sin )n B B =v

，求32m n -u r r 的

取值范围.

16．（本小题满分10分）

设函数f(x)＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x ＋m)． (1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；

(2)当x ∈[0，π

6

]时，－4<f(x)<4恒成立，求实数m 的取值范围．

第Ⅱ卷

四、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）

17．cos 5

πcos 52π

的值等于

A ．4

1 B ．21

C ．2

D ．4

18.在△ABC 中，①若B=60ο

，a=10，b=7，则该三角形有且有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为120ο

；③若△ABC 为锐角三角形，且三边长分别

为2，3，x ．则x 的取值范围是135<<x ．其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

19．已知BC 是单位圆A 的一条直径，F 是线段AB 上的点，且BF →＝2FA →

，若DE 是圆A 中

绕圆心A 运动的一条直径，则 FD →·FE →

的值是

A ．－34

B ．－14

C ． －8

9

D ．不确定

20．已知()sin(2015)cos(2015)63

f x x x ππ

=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x ,

使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为

A ．

2015

π

B ．

22015

π

C ．

42015

π

D ．

4030

π

五、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分）

21.在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|BA →|

·BA →＋1|BC →|

·BC →＝3

|BD →

|

·BD →

，则四边形ABCD

的面积为_______

22．已知α，β∈(0，π4)，tan

α

21－tan

2α

2

＝1

4，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β＝

_____

六、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 23．（本小题满分13分）

已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos ),(23,1)m x x n x x p ===u r r u r

，且cos 0x ≠.

（Ⅰ）若//m p u r u r ，求m n ⋅u r r

的值；

（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos cos 2B b

C a c =-+，且()f x m n =⋅u r r

，求函数()f A 的值域.

24. （本小题满分13分）

岛A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如下图所示)，观察站即刻通知在岛A 正南方向B 处巡航的海监船前往检查.接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C 处，随即以每小时海里的速度前往拦截.

（1）问：海监船接到通知时，距离岛A 多少海里？

（2）假设海监船在D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间.