普通高等学校招生全国统一考试数学文科试题(四川卷)真题精品解析

2010高考真题精品解析—文数（四川卷）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至1 0 页．满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
【名师简评】2010年四川高考数学（文）试题的设计总体呈现平稳，体现了数学学科的特点，命题凸现了高中数学的主干知识.试卷起点较低，坡度适中，层次鲜明，结构基本稳定.试题“稳中求新”，没有使学生望而生畏的题目，既全面地考查了基础知识，又突出了对重点内容的考查；既关注了考查数学的基本方法和技巧，又注重了对能力的考查和思维能力的提升.
1.试题几乎涵盖了高中数学的所有基础知识，并对高中数学的重点知识或主干知识进行了重点考查.
2.试卷以稳为主，稳中有新，贴近课本，接近生活，新题不难，难题不怪.如选择题12题虽然有一定难度，但属常规考题，按照常规思想就能够顺利解决了；填空题16题是在集合的基础上出新，并不难上手；解答题19题，推导两角和的正余弦公式，就源自课本；解答题17题，以生活为背景，考生倍感亲切.
3.注重思想和能力的考查，试题以考查数学思想方法为线索，以考查学生的数学能力立意，试题涵盖了高中数学的主要数学方法，如数行结合，递推思想等等.
注意事项：
1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上． 3。

本试卷共1 2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 2
4s R π=
如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 2
43
v R π=
在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
n ()(1)(0,1,2,...)k k n k
n P k C p p k n -=-=
一、选择题
(1)设集合A={3，5,6，8}，集合B={4，5，7，8}，则A n B 等于
(A){3，4，5，6，7，8} (B){3，6} (C) {4，7} (D){5，8} 1. 答案D
【命题意图】本题主要考查集合的交集运算. 【解析】{}5,8A B ⋂=，故选D. (2)函数Y=l 2的图象大致是
2.
答案C
【命题意图】本题主要考查对数函数的图象. 【解析】该对数函数的图象过（1，0），且单调递增，故选C. (3)抛物线2
8y x =的焦点到准线的距离是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 3. 答案C
【命题意图】本题主要考查抛物线的方程及性质. 【解析】焦点到准线的距离是p ，p =4，故选C.
（4）一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是
（A ）12,24,15,9 （B ）9,12,12,7 （C ）8,15,12,5 （D ）8,16,10,6 4.答案D
【命题意图】本题主要考查分层抽样知识.
【解析】∵160:320:200:1204:8:5:3=，∴各层抽取的人数分别是8，16，10，6，故选D.
（5）函数2
()1f x x mx =++的图像关于直线1x =对称的充要条件是 （A ）2m =- （B ）2m = （C ）1m =- （D ）1m = 5. 答案A
【命题意图】本题主要考查二次函数的对称性和充分必要条件. 【解析】该二次函数的对称轴是2m x =-
，∴1,22
m
m -==-，故选A. （6）设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2
16BC =，
10
π
AB AC AB AC +=-，则AM =
（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1 6. 答案C
【命题意图】本题主要考查平面向量的基本运算.
【解析】由AB AC AB AC +=-，两边平方得，0AB AC ⋅=，∴AB AC ⊥,△ABC 为直角三角形,BC 为斜边，∴1
2
AM BC =
,由已知得4BC =，∴2AM =，故选C. （7）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
10
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
（A ）sin(2)
10y x π
=-
415R π （B ）y =sin(2)5x π
-
（C ）y =1sin()210x π- （D ）1sin()220
y x π
=-
7. 答案C
【命题意图】本题主要考查三角函数图象的平移变换和伸缩变换. 【解析】将sin y x =图象向右平移10π个单位得到函数sin()10
y x π
=-，再把横坐标伸长为原来的2倍得到1
sin()2
10
y x π
=-
，故选C.
（8）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为
（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 8. 答案B
【命题意图】本题主要考查线性规划的实际问题.
【解析】设甲车间生产x 箱，乙车间生产y 箱，则所获利润280200z x y =+，由已知条件
0,0,,70106480x y x y Z x y x y ≥≥∈⎧⎪
+≤⎨
⎪+≤⎩
，可行域为(0,0),(0,70),(70,0),(15,55)O A B C 构成的四边形，∴过点C 取得最大值，故选B.
（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是 （A ）36 （B ）32 （C ）28 （D ）24
9. 答案A 【命题意图】本题主要考查排列组合知识和分类讨论的思想方法.
【解析】①若5在个位或万位，有122
23224C A A =种方法；②若5在中间三位，则有12232212C A A =种方法，故有36种方法，故选A.
（10）椭圆()22
22
10x y a a b
+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上
存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 （A ）（0，
22] （B ）（0，12] （C ）[21-，1） （D ）[12
，1） 10. 答案D
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
11. 答案D
【命题意图】本题主要考查利用均值不等式及变形公式求最值.
【解析】原式= 2
211a ab a ab
++
-= 2222
222()()
2
a a a a a
b a ab ab a ab +≥+=+-- 2222444a a a a +
≥⋅=，当且仅当2ab a ab =-且224a a =即4
414,42
a b ==.故选D.
（12）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面a ，垂足为B ，BCD ∆是平面a 内边长为R 的正三角形，线段AC 、AD 分别与球面交于点M 、N ，那么M 、N 两点间的球面距离是
α•A
B
•β
（A ）17arccos
25R （B ）18arccos 25
R （C ）13R π （D ）4
15
R π
12.A 【命题意图】本题主要考查球面性质与距离问题.
【解析】连接BM,BN ，连接MN ，则BM ⊥AC,BN ⊥BD ，由已知直角△ABC 与直角△ABD 全等，在直角三角形中由等面积法，可得5BM BN R ==
,∴5
AM AN R ==, 5
MC ND R ==
,∴MN ∥CD ，且44
55MM CD R ==，在三角形MON 中，ON=OM=R ，由余
弦定理，222
4
()175cos 225
R R R MOM R R +-∠==
⋅⋅,∴17cos 25MOM arc ∠=，∴MN 两点的球面距离为17
cos 25
Rarc ,故选A
二、填空题 (13)(x －
2x
)4
的展开式中的常数项为______________(用数字作答) 13.24 【命题意图】本题主要考查二项展开式的通项公式和常数项的求法. 【解析】常数项是2
2
222
442()(2)24C x C x
⋅-=-=.
(14)直线250x y -+=与圆22
8x y +=相交于A 、B 两点，则AB
∣∣= . 14. 23【命题意图】本题主要考查直线与圆的位置关系.
【解析】圆心到直线的距离d 5r 为22，∴22
223AB r d =-=.
（15）如图，二面角l αβ--的大小是60°，线段AB α⊂.B l ∈，
AB 与l 所成的角为30°.则AB 与平面β所成的角的正弦值是 .
15.
3
4
【命题意图】本题主要考查线线角、线面角、二面角问题，考查空间推理计算能
力.
【解析】过A 作AO 垂直于β于O ，AN ⊥l 于N ，连接ON,OB ，则ABO ∠为所求，ANO ∠为
二面角的平面角，∴0
60ANO ∠=,设AN 的长为a ，则3
2,2
AB a AO a ==
,∴3
sin 4
AO ABO AB ∠=
=. （16）设S 为实数集R 的非空子集.若对任意x,y S ∈，都有x y,x y,xy S +-∈，则称S 为封闭集。

下列命题：
○
1集合{3S a b =+ a,b 为整数
}为封闭集；
○
2若S 为封闭集，则一定有0S ∈； ○
3封闭集一定是无限集； ○
4若S 为封闭集，则满足S T C ⊆⊆的任意集合T 也是封闭集. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
则1x y T -=-∉，所以T 不是封闭集.故填①②.
三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为1
6
.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.
【命题意图】本题主要考查相互独立事件、互斥事件等概率的计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力. 解：（Ⅰ）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么
()()()16
P A P B P C ===
． ()()()()
3
5125
6216P A B C P A P B P C ⎛⎫⋅⋅=== ⎪⎝⎭
．
答：三位同学都没有中奖的概率是
125
216
．…………………………………………（6分） （Ⅱ）()
1P A B C A B C A B C A B C -⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
23
15125
1366627
⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
或()
2527
P A B C A B C A B C A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=． 答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为
25
27
．……………………………（12分）
（18）（本小题满分12分）
在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点M 是棱AA ′的中点，点O 是对角线BD ′的中点.
（Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA ′和BD ′的公垂线； （Ⅱ）求二面角M －BC ′－B ′的大小；
【命题意图】本题以正方体为载体，考查空间垂直关系的证明以及二面角的计算，考查基本的空间推理与计算能力，考查利用向量解决立体几何的能力. 解法一
（Ⅰ）连结AC ，取AC 的中点K ，则K 为BD 的中点，连结OK ．
因为点M 是棱AA '′的中点，点O 是BD '的中点，
所以1
2
AM DD OK '==∥
∥，
所以MO AK =∥
．
由AA AK '⊥，得MO AA '⊥
因为AK BD ⊥，AK BB '⊥，所以AK ⊥平面BDD B ''， 所以AK BD '⊥． 所以MO BD '⊥．
又因为OM 与异面直线AA '和BD '都相交，
•D 'A B
C
D M O A '
B '
C '
•
故OM 为异面直线AA '和BD '’的公垂线．……………（5分）
（Ⅱ）取BB '的中点N ，连结MN ，则MN ⊥平面BCC B ''．过点N 作NH BC '⊥于H ，连结MH ，则由三垂线定理得，BC MH '⊥．从而，MHN ∠为二面角M BC B ''--的平面角．
设1AB =，则1MN =，
122
sin 45224
NH BN ==
=． 在Rt MNH ∆中，1
tan 222
4
MN MHN NH =
==． 故二面角M BC B ''--的大小为arctan 22．……………………………（12分） 解法二
以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．设1AB =，则()1,0,0A ，
()1,1,0B ，()0,1,0C ，()1,0,1A '，()0,1,1C '，()0,0,1D '．
（Ⅱ）设平面BMC '的一个法向量为()1,,n x y z =． 10,1,2BM ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，()1,0,1BC '=-．
110,
0.n BM n BC ⎧=⎪⎨'=⎪⎩ 即10,2
0.
y z x z ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩ 取2z =，则2x =，1y =．从而()12,1,2n =． 取平面BC B ''的一个法向量为()20,1,0n =．
121212
11
cos ,3
91n n n n n n =
=
=． 由图可知，二面角M BC B ''--的平面角为锐角， 故二面角M BC B ''--的大小为1
arccos
3
．……………………………（12分） 【点评】空间的线线垂直的证明方法主要有：（1）定义法；（2）等腰三角形的性质；（3）三垂线定理；（4）线面垂直；（5）向量法.几何法确定二面角的平面角的方法：（1）直接法；（2）三垂线法；（3）棱的垂面法等，当然如果题目适合建立空间直角坐标系，用向量法更简洁，但对于分步给分的立体几何解答题，传统法也有它的长处.
（19）（本小题满分12分）
（Ⅰ）○1证明两角和的余弦公式C :cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-； ○2由C αβ+推导两角和的正弦公式S :sin()sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+.
（Ⅱ）已知4
31cos ,(,
),tan ,(,),cos()5232
π
ααππββπαβ=-∈=-∈+，求cos()αβ+ 【命题意图】本题主要考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角
函数的关系等基础知识及运算能力.
解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交O 于点1P ，终边交O 于点2P ；角β
的始边为2OP ，终边交O 于点3P ，角β-的始边为1OP ，终边交O 于
点4P ．
则()11,0P ，()2cos ,sin P αα，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()()()
4cos ,sin P ββ--． 由1324PP P P =及两点间的距离公式，得
()()()()2
2
2
2
cos 1sin cos cos sin sin αβαββαβα+-++=--+--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
展开并整理，得()()22cos 22cos cos sin sin αβαβαβ-+=--．
()cos cos cos sin sin αβαβαβ∴+=-．……………（4分）
②由①易得，πcos sin 2αα⎛⎫-=
⎪⎝⎭，πsin cos 2αα⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
． ()()()ππsin cos cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫
+=-+=-+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦
()()ππcos cos sin sin 22αβαβ⎛⎫⎛⎫
=--
---
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
sin cos cos sin αβαβ=+．
()sin sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+．……………………………（6分）
（Ⅱ）3π,
π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos 5
α=-． 3
sin 5
α∴=-．
π,π2β⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，1tan 3β=-．
310cos 10β∴=-
，10
sin 10
β=． ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-
4310310310
55101010⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-
⨯---⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭．………………………（12分）
（20）（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的前3项和为6，前8项和为-4。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1*
(4)(0,)n n n b a q q n N -=-≠∈，求数列{}n b 的前n 项和n S
【命题意图】本小题只要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证与分析问题、解决问题的能力.
解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．由已知得
11
336,828 4.a d a d +=⎧⎨+=-⎩
解得13a =，1d =-．
故()314n a n n =--=-．……………………………………………（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得解答可得，1
n n b n q -=，于是 012
1123n n S q q q n q -=+++
+．
若1q ≠，将上式两边同乘以q 有()121121n n n qS q q n q n q -=+++-+．
两式相减得到
()12111n n n q S n q q q q --=----
-
1
1
n n
q nq
q -=--
()111
1
n n nq n q q +-++=-．
于是()()
12
11
1n n n nq n q S q +-++=
-．
若1q =，则()
11232
n n n S n +=+++
+=
． 所以，()
()()()()121,1,211,1.1n n n n n q S nq n q q q ++⎧=⎪⎪
=⎨-++⎪≠⎪-⎩
…………………………………（12分）
（21）（本小题满分12分）
已知定点A (－1，0)，F (2，0)，定直线l ：x ＝12
，不在x 轴上的动点P 与点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍.设点P 的轨迹为E ，过点F 的直线交E 于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交l 于点M 、N （Ⅰ）求E 的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN 为直径的圆是否过点F ，并说明理由.
【命题意图】本题主要考查轨迹方程的求解、直线与双曲线的位置关系，考查解析几何的思
想方法及推理运算能力. 解：（Ⅰ）设(,)
P x y，则
1
2
2
x
=-，
化简得
2
21(0)
3
y
x y
-=≠．……………………………………………………（4分）（Ⅱ）①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为(2)(0)
y k x k
=-≠．
与双曲线方程
2
21
3
y
x-=联立消去y得
2222
(3)4(43)0
k x k x k
-+-+=．
由题意知，2
30
k
-≠且0
∆＞．
设
1122
(,),(,)
B x y
C x y，则
2
122
4
3
k
x x
k
+=
-
，
2
122
43
3
k
x x
k
+
=
-
，
111
22
12222
(2)(2)[2()4]
y y k x x k x x x x
=--=-++
22
2
22
438
(4)
33
k k
k
k k
+
=-+
--
2
2
9
3
k
k
-
=
-
．
因为
12
,1
x x≠-，
所以直线AB的方程为1
1
(1)
1
y
y x
x
=+
+
，因此M点的坐标为1
1
3
1
(,)
22(1)
y
x+
，
1
1
3
3
(,)
22(1)
y
FM
x
=-
+
．
同理可得2
2
3
3
(,)
221
y
FN
x
=-
+
．
因此
()()
12
12
9
33
()()
22411
y y
FM FN
x x
=-⨯-+
++
2
22222893443
44133k k k k k k --=+⎛⎫
+++ ⎪--⎝⎭
0=．
②当直线BC 与x 轴垂直时，其方程2x =，则()2,3B ，()2,3C -．
AB 的方程为1y x =+，因此M 点的坐标13,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，33(,)22FM =-．
同理可得33
(,)22FN =-
-． 因此3333
()()()02222
FM FN =-⨯-+-⨯=．
综上，FM FN =0，即FM FN ⊥．
（22）（本小题满分14分）
设11x x
a f (x )a
+=-（0a >且1a ≠），g (x )是f (x )的反函数. （Ⅰ）求()g x ；
（Ⅱ）当[2,6]x ∈时，恒有2()log (1)(7)
a
t
g x x x >--成立，求t 的取值范围；
（Ⅲ）当0＜a ≤1
2
时，试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与4n +的大小，并说明理由.
【命题意图】本题主要考查函数、反函数、不等式、导数及其应用等基础知识，考查化归、分类整合等数学思想，以及推理论证与分析问题、解决问题的能力. 解：（Ⅰ）由题意得，1
1
x
y a y -=
+， 故1
()log 1
a
x g x x -=+，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞．…………………………………………（3分） （Ⅱ）由21()log log 1(1)(7)
a
a x t
g x x x x -=+--＞得
①当a ＞1时，
()()
21117x t
x x x -+--＞＞0． 又因为[]2,6x ∈，所以()()2
017t x x --＜＜．
令()()
()[]2
32179157,2,6h x x x x x x x =--=-+-+∈，
则()()()231815315h x x x x x '=-+-=---．
所以()5h x =最小值， 所以05t ＜＜． ②当0a ＜＜1时，()()
2
10117x t
x x x -+--＜
＜， 又因为[]2,6x ∈，所以()()2
17t x x --＞＞0．
令()()
()[]2
17,2,6h x x x x =--∈，
由①知()32h x =最大值，
所以32t ＞．
综上，当a ＞1时，05t ＜＜；当0a ＜＜1时，32t ＞．………………………………（9分） （Ⅲ）设1
1a p
=
+，则1p ≥． 当1n =时，()2
1135f p
=+≤＜． 当2n ≥时，
设2k ≥，N k *
∈时，
则()()1
22122
11111
k k k k k
k k k a f k a C p C p C p p +==+=+-++++-．
所以()()1
22244
11111
k k f k C C k k k k ≤+
=+=+-+++． 从而()()()44
231121
f f f n n n n +++≤-+-++＜．
所以()()()()12114f f f n f n n +++++≤+＜．
综上()()()124f f f n n ++
++＜．…………………………（14分）
【点评】最后一题总体上来说是一道难题，但难中也有简单部分，因此一定要尽力去做，第（Ⅰ）问是简单题，第（Ⅱ）问有点难度，虽然涉及到了讨论，但考查的内容是我们熟悉的恒成立问题，需要分离参数然后转化成求最值来解决，所以也不陌生；第（Ⅲ）是难题，用到了放缩法，然后裂项相消求和，不易想到，这一问基本是为极少人准备的.。