肥城市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题

肥城市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题
一、选择题
1． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取
20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分
层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ）
A. 5
B.6
C.7
D.10
【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.
2． 设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6 3． 12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
4． 已知变量,x y 满足约束条件20
170
x y x x y -+≤⎧⎪
≥⎨⎪+-≤⎩
，则y x 的取值范围是（ ）
A ．9
[,6]5 B ．9(,][6,)5
-∞+∞ C ．(,3][6,)-∞+∞ D ．[3,6]
5． 设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C ．（﹣2，0）∪（2，+∞）
D ．（﹣2，
0）∪（0，2）
6． 从1，2，3，4中任取两个数，则其中一个数是另一个数两倍的概率为（ ） A
．
B
．
C
． D
．
7．
已知双曲线
﹣
=1的一个焦点与抛物线y 2
=4
x 的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=
±x ，则
该双曲线的方程为（ ） A
．
﹣
=1
B
．
﹣y 2=1 C ．x 2
﹣
=1 D
．
﹣=1
8． 方程（x 2﹣4）2+（y 2﹣4）2=0表示的图形是（ ）
A ．两个点
B ．四个点
C ．两条直线
D ．四条直线
9． 设直线y=t 与曲线C ：y=x （x ﹣3）2的三个交点分别为A （a ，t ），B （b ，t ），C （c ，t ），且a ＜b ＜c ．现给出如下结论：
①abc 的取值范围是（0，4）； ②a 2+b 2+c 2为定值； ③c ﹣a 有最小值无最大值． 其中正确结论的个数为（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
10．若方程C ：x 2+
=1（a 是常数）则下列结论正确的是（ ）
A ．∀a ∈R +，方程C 表示椭圆
B ．∀a ∈R ﹣，方程
C 表示双曲线
C ．∃a ∈R ﹣，方程C 表示椭圆
D ．∃a ∈R ，方程C 表示抛物线 11．已知椭圆，长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5
C ．7
D ．8
12．如图所示，在三棱锥P ABC -的六条棱所在的直线中，异面直线共有（ ）111]
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．6对
二、填空题
13．数列{ a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c （c 为常数），{a n }的前10项和为S 10＝200，则c ＝________． 14．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2132n n S S n n ++=+，若对n N *∀∈，1n n a a +< 恒成立，则m 的取值范围是_______．
【命题意图】本题考查数列递推公式、数列性质等基础知识，意在考查转化与化归、逻辑思维能力和基本运算能力．
15．在等差数列{a n }中，a 1=7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n=8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为 ．
16．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数
（为自然对数的底数），若
，则实数 的取值范围为______．
17．设
,则
的最小值为18．已知x ，y 为实数，代数式222
2)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 .
【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.
三、解答题
19．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且．
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若b=6，a+c=8，求△ABC 的面积．
20．（本小题满分12分）
某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：
员工编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年薪（万元）
3
3．5
4
5
5．5
6．5
7
7．5
8
50
（1）求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；
（2）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；
（3）已知员工年薪收入与工作年限成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元、5.4万元、6.5万元、2.7万元，预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=中系数计算公式分别为： 1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b x x ==--=
-∑∑，x b y a
ˆˆ-=，其中x 、y 为样本均值．
21．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5
A B 两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：
x ＜y ，且A 和B 两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．
（Ⅰ）若从B 班被抽查的5名学生中任抽取2名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率； （Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，X 表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X 的期望．
22．已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，
，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，
G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC ． （1）求证：FG ∥面BCD ；
（2）设四棱锥D ﹣ABCE 的体积为V ，其外接球体积为V ′，求V ：V ′的值．
23．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各 10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．
已知男、女生成绩的平均值相同． （1）求的值；
（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()5f x x a x =-+．
（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时有()0f x ≥，求a 的取值范围．
肥城市第一中学2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】
C
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：设{}n a 的前三项为123,,a a a ，则由等差数列的性质，可得1322a a a +=，所以12323a a a a ++=，
解得24a =，由题意得1313
812a a a a +=⎧⎨=⎩，解得1326a a =⎧⎨=⎩或1362a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是递增的等差数列，所以
132,6a a ==，故选B ．
考点：等差数列的性质． 3． 【答案】B 【解析】
考点：向量共线定理． 4． 【答案】A 【解析】
试题分析：作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），y
x 表示点(,)x y 与原点连线的斜率，易得59(,)22
A ，
(1,6)B ，9
9
2552
OA
k ==，661OB k ==，所以965y x ≤≤．故选A ．
考点：简单的线性规划的非线性应用．
5．【答案】A
【解析】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：
g′（x）=，
∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，
即当x＞0时，g′（x）＜0，
∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，
又∵g（﹣x）====g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数，
∴x＜0时，函数g（x）是增函数，
又∵g（﹣2）==0=g（2），
∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（2），解得：0＜x＜2，
x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（﹣2），解得：x＜﹣2，
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
故选：A．
6．【答案】C
【解析】解：从1，2，3，4中任取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况，
其中一个数是另一个数两倍的为（1，2），（2，4）共2个，
故所求概率为P==
故选：C
【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题．
7．【答案】B
【解析】解：已知抛物线y2
=4x的焦点和双曲线的焦点重合，
则双曲线的焦点坐标为（，0），
即c=，
又因为双曲线的渐近线方程为y=±x，
则有a2+b2=c2=10和=，
解得a=3，b=1．
所以双曲线的方程为：﹣y2=1．
故选B．
【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题．
8．【答案】B
【解析】解：方程（x2﹣4）2+（y2﹣4）2=0
则x2﹣4=0并且y2﹣4=0，
即，
解得：，，，，
得到4个点．
故选：B．
【点评】本题考查二元二次方程表示圆的条件，方程的应用，考查计算能力．
9．【答案】C
【解析】解：令f（x）=x（x﹣3）2=x3﹣6x2+9x，f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0得x=1或x=3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，
当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=4，当x=3时，f（x）取得极小值f（3）=0．
作出函数f（x）的图象如图所示：
∵直线y=t与曲线C：y=x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．
令g（x）=x（x﹣3）2﹣t=x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．
∴abc=t，a+b+c=6，ab+bc+ac=9，
∴a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）=18．
由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，
∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．
故①，②正确，
故选：C．
【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数的图象，三次方程根与系数的关系，属于中档题．
10．【答案】B
【解析】解：∵当a=1时，方程C：即x2+y2=1，表示单位圆
∴∃a∈R+，使方程C不表示椭圆．故A项不正确；
∵当a＜0时，方程C：表示焦点在x轴上的双曲线
∴∀a∈R﹣，方程C表示双曲线，得B项正确；∀a∈R﹣，方程C不表示椭圆，得C项不正确
∵不论a取何值，方程C：中没有一次项
∴∀a∈R，方程C不能表示抛物线，故D项不正确
综上所述，可得B为正确答案
故选：B
11．【答案】D
【解析】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，
，解得m=8
故选D
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系要明了．
12．【答案】B
【解析】
中，则PA与BC、PC与AB、PB与AC都是异面直线，所以共有三对，故选试题分析：三棱锥P ABC
B ．
考点：异面直线的判定．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解析：由a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋c ，知数列{a n }是以2为首项，公差为c 的等差数列，由S 10＝200得 10×2＋10×9
2×c ＝200，∴c ＝4.
答案：4 14．【答案】15(,)43
15．【答案】 （﹣1，﹣） ．
【解析】解：∵S n =7n+，当且仅当n=8时S n 取得最大值，
∴
，即
，解得：
，
综上：d 的取值范围为（﹣1，﹣）．
【点评】本题主要考查等差数列的前n 项和公式，解不等式方程组，属于中档题．
16．【答案】 【解析】令，则
所以为奇函数且单调递增，因此
即
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性
去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与
的取值应在外层函数的定义域内
17．【答案】9
【解析】由柯西不等式可知
18．【答案】41. 【
解
析
】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由2bsinA=a，以及正弦定理，得sinB=，
又∵B为锐角，
∴B=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，
∴a2+c2﹣ac=36，
∵a+c=8，
∴ac=，
∴S△ABC==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
20．【答案】
【解析】（1）平均值为10万元，中位数为6万元．
（2）年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人；
取值为0，1，2．
152)0(21024===C C P ξ，158)1(2101614===C C C P ξ，3
1)2(21026===C C P ξ， ∴ξ的分布列为
∴()012151535
E ξ=⨯+⨯+⨯=． （3）设)4,3,2,1(,=i y x i i 分别表示工作年限及相应年薪，则5,5.2==y x ，
21
() 2.250.250.25 2.255n i
i x x =-=+++=∑， 41()() 1.5(2)(0.5)(0.8)0.50.6 1.5 2.27i
i i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，
1
21()()7 1.45
()n i i
i n i
i x x y y b x x ==--===-∑
∑，
ˆˆ5
1.4
2.5 1.5a b
=-=-⨯=
， 由线性回归方程为
1.4 1.5
y x =+
．可预测该员工年后的年薪收入为8.5万元．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵
（7+7+7.5+9+9.5）=8，
=（6+x+8.5+8.5+y ），
∵
，∴x+y=17，① ∵
， =
，
∵，得（
x ﹣8
）2+（y ﹣8）2=1
，② 由①②
解得或，
∵x ＜y ，∴x=8，y=9，
记“2名学生都颁发了荣誉证书”
为事件C
，则事件C 包含
个基本事件，
共有
个基本事件， ∴P （C ）=， 即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．
（Ⅱ）由题意知X 所有可能的取值为0，1，2，3，
P （X=0）==，
P （X=1）==，
P （X=2）==，
P （X=3）==，
EX==．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．
22．【答案】
【解析】解：
（1）证明：取AB 中点H ，连接GH ，FH ，
∴GH ∥BD ，FH ∥BC ，
∴GH ∥面BCD ，FH ∥面BCD
∴面FHG ∥面BCD ，
∴GF ∥面BCD
（2）V=
又外接球半径R=
∴V ′=
π
∴V ：V ′= 【点评】本题考查的知识点是直线与平面平等的判定及棱锥和球的体积，其中根据E 点三条棱互相垂直，故棱锥的外接球半径与以AE ，CD ，DE 为棱长的长方体的外接球半径相等，求出外接球半径是解答本题的关键点．
23．【答案】（１） 7a =；（２） 310
P =
． 【解析】
试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于86分的学生共五人，写出基本事件共10个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．
其
中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87)，(96,91,87)，(96,90,87)共3种情况．
所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率310
P =
．1 考点：平均数；古典概型．
【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，),(y x 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如)1,2)(2,1(相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用)(1)(A P A P -=求解较好．
24．【答案】
【解析】（1）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+，
∴5315x x x ≤+++， ∴13x +≤，∴24x -≤≤．
∴不等式()53f x x ≤+的解集为[4,2]-．
（2）若1x ≥-时，有()0f x ≥，
∴50x a x -+≥，即5x a x -≥-，
∴5x a x -≥-，或5x a x -≤，∴6a x ≤，或4a x ≥-，
∵1x ≥-，∴66x ≥-，44x -≤，∴6a ≤-，或4a ≥．
∴a 的取值范围是(,6][4,)-∞-+∞．。