八上数学第十二章 全等三角形培优综合试题A（含解析）

【走进重高汇编】八上数学第十二章全等三角形培优综合卷A
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知AB∥CD，AD∥CB，则△ABC≌△CDA的依据是（）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
2．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
3．如图，BC=BE，∠C=∠E，∠CBE=∠ABD，则下列结论错误的是（）
A．∠A=∠D B．BF=BG C．AC=DE D．BA=BD
第1题图第2题图第3题图第4题图
4．如图，点B、F在CD上，∠C=∠D=90°，AB=EF，CF=BD，若∠A=35°，则∠DFE等于（）A．35° B．45° C．55° D．65°
5．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=8，DE=3，则△BCE的面积等于（）
A．11 B．8 C．12 D．3
6．下列命题中：
（1）形状相同的两个三角形是全等形；
（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；
（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A．3个B．2个C．1个 D．0个
7．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
8．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件之一：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）
A．AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE
10．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG，则下列结论：①△ABD≌△GCA，②AD⊥AG，其中正确的结论是（）A．①正确 B．②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确
第5题图第8题图第9题图第10题图
二．填空题（共6小题）
11．如图，△ABC≌△EBG，AC⊥BE，垂足为C，∠EFC=55°，则∠A的度数是．
12．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件．（只需写出符合条件一种情况）
第11题图第12题图
13．已知△ABC≌△DEF，点A与点D．点B与点E分别是对应顶点，
（1）若△ABC的周长为32，AB=10，BC=14，则DF= ；
（2）∠A=48°，∠B=53°，则∠F= ．
14．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，下面四个结论：①∠CBE=∠ACD；②△CEB≌△ACD；③AB=CE；④AD﹣BE=DE，其中正确的是．
15．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE=（AB+AD），若∠D=115°，则∠B= ．
16．如图，Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB的外角平分线CF相交于点D，AD 交CB于P，CF交AB的延长线于F，过D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长线交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF﹣CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤
CF=2CD+EG，其中正确的有．
第14题图第15题图第16题图
三．解答题（共7小题）
17．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠A=∠ACD．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并说明理由．
18．已知：如图，AC∥DF，点B为线段AC上一点，连接BF交DC于点H，过点A作AE∥BF分别交DC、DF于点G、点E，DG=CH，求证：△DFH≌△CAG．
19．阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE．
证明：在△AEB和△AEC中，
∵EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，
∴△AEB≌△AEC…第一步
∴∠BAE=∠CAE…第二步
问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
20．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
21．如图，已知AD∥BC一点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）求证：AD+BC=AB．
22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．点P从点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，一点到相应的终点停止运动，某时刻，分别过P和Q作PE⊥L于E，QF⊥L于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．
23．【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据，可以知道Rt△ABC ≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）已知：△ABC，∠B是锐角，用尺规和圆规作△DEF，使AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E，且∠B、∠E都是锐角，∠B与∠A 还要满足，就可以使△ABC≌△DEF？
【走进重高汇编】八上数学第十二章全等三角形培优综合卷A
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，已知AB∥CD，AD∥CB，则△ABC≌△CDA的依据是（）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】先根据平行线的性质得∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，再加上公共边，则可利用“ASA”判断△ABC≌△CDA．
【解答】解：∵AB∥DC，AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA，∠DAC=∠BCA，
而AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（ASA）．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
2．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
【分析】根据全等三角形的判定：SAS，AAS，ASA，可得答案．
【解答】解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA，
A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；
C、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；
D、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．如图，BC=BE，∠C=∠E，∠CBE=∠ABD，则下列结论错误的是（）
A．∠A=∠D B．BF=BG C．AC=DE D．BA=BD
【分析】由条件∠CBE=∠ABD，得出∠CBA=∠EBD，再根据全等三角形判定出△ABC与△DBE全等，利用全等三角形的性质可判断下列结论即可．
【解答】解：∵∠CBE=∠ABD，
∴∠CBA=∠EBD，
在△ABC与△DBE中
∴△ABC≌△DBE（ASA）
∴∠A=∠D，AC=DE，BA=BD，
但不能得出BF=BG，
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法SSS、SAS、ASA、AAS 和HL是解题的关键．
4．如图，点B、F在CD上，∠C=∠D=90°，AB=EF，CF=BD，若∠A=35°，则∠DFE等于（）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】易证CB=DF．根据“HL”可证明△ABC与△EFD全等．得△DFE=∠ABC．根据三角形内角和定理求∠ABC．
【解答】解：∵CF=BD，
∴CF+FB=BD+FB，即CB=DF．
∵∠C=∠D=90°，AB=EF，
∴△ABC≌△EFD．（HL）
∴∠DFE=∠ABC．
∵∠C=90°，∠A=35°，
∴∠ABC=90°﹣35°=55°．
∴∠DFE=55°．
故选：C．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，属基础题．
5．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=8，DE=3，则△BCE的面积等于（）
A．11 B．8 C．12 D．3
【分析】过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质得出EF=DE=3，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE=3，
∴EF=DE=3，
∴△BCE的面积S==，
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线性质的应用，能求出BC边上的高是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
6．下列命题中：
（1）形状相同的两个三角形是全等形；
（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；
（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）
A．3个B．2个C．1个D．0个
【分析】根据全等三角形的概念：能够完全重合的图形是全等图形，及全等图形性质：全等图形的对应边、对应角分别相等，分别对每一项进行分析即可得出正确的命题个数．
【解答】解：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；
（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，对于全等的等腰三角形来说，根据对应关系可知：相等的角不一定是对应角，相等的边不一定是对应边，故（2）错误；
（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．
综上可得只有（3）正确．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的概念和全等三角形的性质，在解题时要注意灵活应用全等三角形的性质和定义是本题的关键．
7．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【分析】利用作法得到OD=OC=OC′=OD′，CD=C′D′，于是可根据“SSS”判定△OCD≌△OC′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′O′B′=∠AOB．
【解答】解：由作法得OD=OC=OC′=OD′，CD=C′D′，
则可根据“SSS”可判定△OCD≌△OC′D′，
所以∠A′O′B′=∠AOB．
故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
8．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，增加下列条件之一：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先由1=∠2得到∠CAB=∠DAE，然后分别利用“SAS”、“ASA”和“AAS”对各添加的条件进行判断．
【解答】解：∵1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
∵AC=AD，
∴当AB=AE时，可根据“SAS”判断△ABC≌△AED；
当BC=ED时，不能判断△ABC≌△AED；
当∠C=∠D时，可根据“ASA”判断△ABC≌△AED；
当∠B=∠E时，可根据“AAS”判断△ABC≌△AED．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
9．如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（）
A．AB=BF B．AE=ED C．AD=DC D．∠ABE=∠DFE
【分析】从已知条件思考，利用角平分线的性质，结合平行线的性质，可得很多结论，然后与选项进行逐个比对，答案可得．
【解答】解：∵∠BAD+∠ABD=90°，∠ABD+∠C=90°
∴∠BAD=∠C（同角的余角相等）
又∵EF∥AC
∴∠BFE=∠C
∴∠BAD=∠BFE
又∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
∴∠BEF=∠AEB，
在△ABE与△FBE中，
∵
∴△ABE≌△FBE（AAS）
∴AB=BF．
故选：A．
【点评】此题考查角平分线的定义，平行线的性质，同角的余角相等，三角形全等的判定等知识点．
10．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG，则下列结论：①△ABD≌△GCA，②AD⊥AG，其中正确的结论是（）
A．①正确B．②正确C．①②都正确D．①②都不正确
【分析】①由于BE、CF分别是AC、AB两边上的高，那么可知∠AFC=∠AEB=90°，再利用等角的余角
相等，可得∠ACG=∠DBA，再加上BD=CA，AB=GC，利用SAS可证△ABD≌△GCA；
②利用①中全等三角形的对应角相等证得∠GAF+∠BAD=90°，即AD⊥AG．
【解答】证明：①∵BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
∴∠AFC=∠AEB=90°（垂直定义），
∴∠ACG=∠DBA（同角的余角相等），
∴在△ABD与△GCA中，，
∴△ABD≌△GCA（SAS）；
故①正确；
②∵由①知，△ABD≌△GCA，
∴∠AGC=∠DAB，
∵∠CGA+∠GAF=90°，
∴∠GAF+∠BAD=90°，即AD⊥AG．
故②正确．
综上所述，正确的结论是①②．
故选：C．
【点评】本题利用了等角的余角相等、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，一定要熟练掌握这些知识并能灵活应用．
二．填空题（共6小题）
11．如图，△ABC≌△EBG，AC⊥BE，垂足为C，∠EFC=55°，则∠A的度数是35°．
【分析】首先根据三角形内角和计算出∠E的度数，然后再根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠E=35°．
【解答】解：∵AC⊥BE，
∴∠FCE=90°，
∵∠EFC=55°，
∴∠E=35°，
∵△ABC≌△EBG，
∴∠A=∠E=35°，
故答案为35°．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．
12．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA ．（只需写出符合条件一种情况）
【分析】本题要判定△ABC≌△BAD，已知AC⊥BC，AD⊥DB，即∠C=∠D=90°，AB为公共边，故添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．【解答】解：∵AC⊥BC，AD⊥DB，
∴∠C=∠D=90°
∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD
∴添加AC=BD或BC=AD或∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA后可分别根据HL、HL、AAS、AAS判定△ABC≌△BAD．
【点评】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13．已知△ABC≌△DEF，点A与点D．点B与点E分别是对应顶点，
（1）若△ABC的周长为32，AB=10，BC=14，则DF= 8 ；
（2）∠A=48°，∠B=53°，则∠F= 79°．
【分析】（1）求出AC长，根据全等三角形的性质求出DF=AC，即可得出答案；
（2）根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质得出∠F=∠C，即可得出答案．
【解答】
解：（1）∵△ABC的周长为32，AB=10，BC=14，
∴AC=32﹣10﹣14=8，
∵△ABC≌△DEF，
∴DF=AC=8，
故答案为：8；
（2）∵∠A=48°，∠B=53°，
∴∠C=180°﹣48°﹣53°=79°，
∵∵△ABC≌△DEF，
∴∠F=∠C=79°，
故答案为：79°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
14．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，下面四个结论：①∠CBE=∠ACD；②△CEB≌△ACD；③AB=CE；④AD﹣BE=DE，其中正确的是①、②、④．
【分析】首先由△CBE与△ACD中等角的余角相等得到①是正确的，利用等腰三角形的性质及其它条件，证明△CEB≌△ADC，则其他结论易求，而无法证明③是正确的．
【解答】解：∵∠BCA=∠CEB=90°，∠BCE=∠BCE，
∴①∠CBE=∠ACD 正确
∵∠1+∠2=90°∠2+∠CAD=90°
∴∠1=∠CAD
又∠E=∠ADC=90°，AC=BC
∴②△CEB≌△ADC 正确
∴CE=AD，BE=CD
∴④AD﹣BE=DE．正确
而③不能证明，
故答案为①、②、④．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定；要充分利用全等三角形的性质来找到结论，利用相等线段的等量代换是正确解答本题的关键．
15．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE=（AB+AD），若∠D=115°，则∠B= 65°．
【分析】作CH⊥AD于H，如图，根据角平分线的性质定理得CH=CE，则利用“HL”可证明Rt△ACH≌Rt△ACE，得到AE=AH，再证明DH=BE，则可根据“SAS”证明∠CDH=∠B，而利用互补可计算出∠CDH 的度数，从而得到∠B的度数．
【解答】解：作CH⊥AD于H，如图，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CH⊥AH，
∴CH=CE，
在Rt△ACH和Rt△ACE中
，
∴Rt△ACH≌Rt△ACE，
∴AE=AH，
∵AE=（AB+AD），
∴AH=（AE+BE+AD），即AH=BE+AD，
∴DH=BE，
在△CHD和△CEB中
，
∴∠CDH=∠B，
而∠CDH=180°﹣∠ADC=180°﹣115°=65°，
∴∠B=65°．
故答案为65°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
16．如图，Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB的外角平分线CF相交于点D，AD 交CB于P，CF交AB的延长线于F，过D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长线交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF﹣CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG，其中正确的有①②③⑤．
【分析】（1）设∠GCD=x，∠DAC=y，则：，故=45°．
（2）根据三线合一，延长GD与AC相交于点P，则CG=CP，AP=AF；
（3）证△ACD与△AED全等即可，同时可得出三角形CDE是等腰直角三角形；
（4）注意到E是三角形CGF的垂心，从而可证△CHG≌△FHE，则FH=CH=EH+CE=GE+CE=CD+GH；（5）在DF上截取DM=CD，证△EMF≌△CEG即可．
【解答】解：①利用公式：∠CDA=∠ABC=45°，①正确；
②如图：延长GD与AC交于点P'，
由三线合一可知CG=CP'，
∵∠ADC=45°，DG⊥CF，
∴∠EDA=∠CDA=45°，
∴∠ADP=∠ADF，
∴△ADP'≌△ADF（ASA），
∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；
③如图：
∵∠EDA=∠CDA，
∠CAD=∠EAD，
从而△CAD≌△EAD，
故DC=DE，③正确；
④∵BF⊥CG，GD⊥CF，
∴E为△CGF垂心，
∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+CD，故④错误；
⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，
则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，∵∠MFE=∠CGE，
∠CEG=∠EMF=135°，
∴△EMF≌△CEG（AAS），
∴GE=MF，
∴CF=CM+MF=2CD+GE，
故⑤正确；
综上所述，
答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀．
三．解答题（共7小题）
17．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠A=∠ACD．
（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）根据角平分线的画法，画出∠BDC的角平分线DE即可；
（2）结论；DE∥AC．只要证明∠BDE=∠A即可解决问题；
【解答】解：（1）∠BDC的平分线DE如图所示；
（2）结论：DE∥AC．
理由：∵DA=DC，
∴∠A=∠DCA，
∵∠BDC=∠A+∠DCA，∠BDE=∠CDE，
∴∠BDE=∠A，
∴DE∥AC．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的定义、平行线的判定、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．已知：如图，AC∥DF，点B为线段AC上一点，连接BF交DC于点H，过点A作AE∥BF分别交DC、DF于点G、点E，DG=CH，求证：△DFH≌△CAG．
【分析】先根据平行线的性质得出∠C=∠D，∠AGC=∠DHF，再由DG=CH可知CH+HG=HG+DG，即CG=DH，根据ASA定理即可得出结论．
【解答】证明：∵AC∥DF，AE∥BF，
∴∠C=∠D，∠AGC=∠DHF，
∵DG=CH，
∴CH+HG=HG+DG，即CG=DH，
在△DFH和△CAG中，
，
∴△DFH≌△CAG（ASA）．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟知两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等是解答此题的关键．
19．阅读下题及证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE，求证：∠BAE=∠CAE．
证明：在△AEB和△AEC中，
∵EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，
∴△AEB≌△AEC…第一步
∴∠BAE=∠CAE…第二步
问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．
【分析】上面证明过程不正确，因为没有正确理解全等三角形的判定方法，SAS指的是两边一角且角为这两边的夹角，所以上面证明过程不正确．这就要求我们要真正理解且正确运用全等三角形的判定方法．
【解答】解：上面证明过程不正确；错在第一步．正确过程如下：
在△BEC中，
∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
又∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC．
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE=∠CAE．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
20．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．
【分析】（1）直角三角形中斜边对应相等，即可证明全等，再由线段对应相等，得出②中结论；（2）由图可知，△ADC与△CEB仍全等，但线段的关系已发生改变．
【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE．
又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，
∴△ADC≌△CEB．
②∵△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，AD=CE．
∴DE=CE+CD=AD+BE．
（2）△ADC≌△CEB成立，DE=AD+BE．不成立，此时应有DE=AD﹣BE．
证明：∵∠ACD+∠BCE=90°∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE．
又AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°，
∴△ADC≌△CEB．
∴CD=BE，AD=CE．
∴DE=AD﹣BE．
【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质和判定，此题作为选择或填空很容易漏掉后一问，注意运用．
21．如图，已知AD∥BC一点E为CD上一点，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，BE交AD的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）求证：AD+BC=AB．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，∠3=∠4，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2=∠F，然后求出∠1=∠F，再利用“角角边”证明△ABE和△AFE全等即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得BE=FE，然后利用“角边角”证明△BCE和△FDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BC=DF，然后根据AD+BC整理即可得证．
【解答】（1）证明：如图，∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠F，∠1=∠F，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS）；
（2）证明：∵△ABE≌△AFE，
∴BE=EF，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BC=DF，
∴AD+BC=AD+DF=AF=AB，
即AD+BC=AB．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解
题的关键．
22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．点P从点出发沿A﹣C﹣B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B﹣C﹣A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，一点到相应的终点停止运动，某时刻，分别过P和Q作PE⊥L于E，QF⊥L于F．问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由．
【分析】推出CP=CQ，①P在AC上，Q在BC上，推出方程6﹣t=8﹣3t，②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，得到方程6﹣t=3t﹣8，Q在AC上，③P在BC上，Q在AC时，此时不存在，④当Q到A点，与A重合，P在BC上时，求出即可得出答案．
【解答】解：设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，
∵△PEC≌△QFC，
∴斜边CP=CQ，
有四种情况：①P在AC上，Q在BC上，
CP=6﹣t，CQ=8﹣3t，
∴6﹣t=8﹣3t，
∴t=1；
②P、Q都在AC上，此时P、Q重合，
∴CP=6﹣t=3t﹣8，
∴t=3.5；
③P在BC上，Q在AC时，此时不存在；
理由是：8÷3×1＜6，Q到AC上时，P应也在AC上；
④当Q到A点（和A重合），P在BC上时，
∵CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t﹣6，
∴t﹣6=6
∴t=12
∵t＜14
∴t=12符合题意
故点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等．
【点评】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
23．【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）已知：△ABC，∠B是锐角，用尺规和圆规作△DEF，使AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E，且∠B、∠E都是锐角，∠B与∠A 还要满足∠B≥∠A ，就可以使△ABC≌△DEF？
【分析】（1）根据直角三角形全等的方法“HL”证明；
（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠D，然后利用“角角边”证明△ABC和△DEF全等；
（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF 与△ABC不全等；
（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A即可．
【解答】解：（1）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据斜边直角边对应相等的两个三角形全等可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF，
故答案为：斜边直角边对应相等的两个三角形全等．
（2）如图，
过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠ABC=∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是钝角，
∴180°﹣∠ABC=180°﹣∠DEF，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
∵，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）如图，△DEF和△ABC不全等；
以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△DEF与△ABC 不全等．
（4）若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF，
故答案为：∠B≥∠A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．。