2018-2019学年江苏省南通市海安市高三(上)期末数学试卷解析版

2018-2019学年江苏省南通市海安市高三（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1.已知集合A={x|x=2k-1，k∈Z}，B={x|x=2k，k∈Z}，则A∩B=______．
2.命题“∀x＞1，x2＞1”的否定是______．
3.已知实数a，b满足a+bi=i2019（i为虚数单位），则a+b的值为______．
4.某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，-4，-1，0，2，则该组
数据的标准差为______．
5.在平面直角坐标系xOy中，双曲线-=1的一条准线与两条渐近线所围成
的面积为______．
6.根据如图所示的伪代码，若输出的y的值为，则输入的x的值为______．
7.已知O为矩形ABCD的对角线的交点，现从A，B，C，D，O这5个点中
任选3个点，则这3个点不共线的概率为______．
8.函数f（x）=sin（ωx+φ）（φ＞0，＜φ＜π）的图象如图所示，则该函数的最小正周期为______．
9.已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6+a5=4，a4+a3-a2-a1=1，则a1的值为______．
10.已知sin（2α+β）=p sinβ，tan（α+β）=p tanα，其中p为正的常数，且p≠1，则p的值为______．
11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-3，0），B（-1，-2），若圆（x-2）2+y2=r2（r＞0）上有且仅有
一对点M，N，使得△MAB的面积是△NAB的面积的2倍，则r的值为______．
12.已知函数f（x）=若关于x的不等式f（x）＞a的解集为（a2，+∞），则实数a的所有可
能值之和为______．x2
13.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足=2，则•（+）=______．
14.设P（x，y）为椭圆=1在第一象限上的点，则的最小值为______
二、解答题（本大题共11小题，共150.0分）
15.如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥PC，M是AB的中点，点D在PB上，MD∥平面PAC，平面PAB⊥平
面PMC，△CPM为锐角三角形，求证：
（1）D是PB的中点；
（2）平面ABC⊥平面PMC．16.已知△ABC的面积为，且•=-1．
（1）角A的大小及BC长的最小值；
（2）设M为BC的中点，且AM=，∠BAC的平分线交BC于点N，求线段MN的长．
17.一张边长为2m的正方形薄铝板ABCD（图甲），点E，F分别在AB，BC上，且AE=CF=x（单位：m）．现
将该薄铝板沿EF裁开，再将△DAE沿DE折叠，△DCF沿DF折叠，使DA，DC重合，且A，C重合于点M，制作成一个无盖的三棱锥形容器D-MEF（图乙），记该容器的容积为V（单位：m3）．（注：薄铝板的厚度忽略不计）
（1）若裁开的三角形薄铝板EFB恰好是该容器的盖，求x，V的值；
（2）试确定x的值，使得无盖三棱锥容器D-MEF的容积V最大．
18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，焦距为2，直线
l与椭圆交于C，D两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l过椭圆的右焦点F且垂直于x轴时，四边形ACBD的面积为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2．
①k2=3k1，求证：直线l过定点；
②若直线l过椭圆的右焦点F，试判断是否为定值，并说明理由．
19. 设k ∈R ，函数g （x ）=k （x -e ），其中e 为自然对数的底数．
（1）设函数f （x ）=
．
①若k =-1，试判断函数f （x ）与g （x ）的图象在区间（1， ）上是否有交点； ②求证：对任意的k ∈R ，直线y =g （x ）都不是曲线y =f （x ）的切线；
（2）设函数h （x ）=2x -x lnx+xg （x ）-ekx ，试判断函数h （x ）是否存在极小值，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
20. （1）已知数列{a n }满足：a 1=1，a 2=λ，且a n 2
=a n +1a n -1-λa n a n -1（λ为非零常数，n ≥2，n ∈N *），求数列{
}（
n ≥2，n ∈N *）的前n 项和；
（2）已知数列{b n }满足：
（i ）对任意的n ∈N *，0＜b n ≤b n +1； （ii ）对任意的
n ≥2，n ∈N *，b n -1•b n +1=
∈
∈ （μ＞0，q 1＞0，q 2＞0），且
= ． ①若μ=1，q 1=q 2，求数列{b n }是等比数列的充要条件；
②求证：数列b 1，b 2，b 5，b 6，b 9，b 10，…，b 4m -3，b 4m -2，…是等比数列，其中m ∈N *．
21. 设点（x ，y ）在矩阵M 对应变换作用下得到点（3x ，3y ）．
（1）写出矩阵M ，并求出其逆矩阵M
-1
（2）若曲线C 在矩阵M 对应变换作用下得到曲线C '：y 2
=4x ，求曲线C 的方程．
22. 过极点O 的直线l 与曲线C ： 相交于极轴上方的两点A ，B ，且AB =2．
（1）求直线l 的极坐标方程；
（2）将直线l 绕点O 逆时针旋转
，得到直线m ，点P 在直线m 上，点Q 在曲线C 上，求线段PQ 的长的最小值．
23. 已知x ，y ，z 均为正数，且x +y +z =1，求
的最小值．
24. 从集合P ={x |1≤x ≤9，x ∈N *}中等可能地取出m 个不同元素，记所取元素之和为ξ．
（1）若m =2，求ξ为偶数的概率；
（2）若m =3，η表示ξ被3带队的余数，求η的概率分布及数学期望E （η）．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点T （1，t ）（t ＜0）到抛物线y 2
=2px （p ＞0）焦点的距离为2．
（1）求p ，t 的值；
（2）设A ，B 是抛物线上异于T 的两个不同点，过A 作y 轴的垂线，与直线TB 交于点C ，过B 作y 轴的垂线，与直线TA 交于点D ，过T 作y 轴的垂线，与直线AB ，CD 分别交于点E ，F ． 求证：①直线CD 的斜率为定值； ②T 是线段EF 的中点．
答案和解析
1.【答案】∅
【解析】
解：∵集合A={x|x=2k-1，k∈Z}={奇数}，
B={x|x=2k，k∈Z}={偶数}，
∴A∩B=∅．
故答案为：∅．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】∃x＞1，x2≤1
【解析】
解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x＞1，x2＞1”的否定是：“∃x＞1，x2≥1”．故答案为：∃x＞1，x2≤1．
利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
3.【答案】-1
【解析】
解：由a+bi=i2019=（i4）504•i3=-i，
得a=0，b=-1．
∴a+b=-1．
故答案为：-1．
由虚数单位i的性质结合复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，是基础题．
4.【答案】4
【解析】
解：某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，-4，-1，0，2，
平均数为：（8-4-1+0+2）=1，
∴该组数据的方差为：
S2=[（8-1）2+（-4-1）2+（-1-1）2+（0-1）2+（2-1）2]=16，
∴该组数据的标准差为4．故答案为：4．
先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差．
本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】
解：双曲线C：双曲线-=1中a=2，b=3，c=，
则双曲线-=1的一条准线方程为x=
=，
双曲线的渐近线方程为：y=±x，
可得准线方程与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标（，
），（，
-），
则三角形的面积为××2×=．
故答案为：
求出双曲线的渐近线方程，求出准线方程，求出三角形的顶点的坐标，然后求解面积．
本题考查双曲线方程的应用，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6.【答案】-
【解析】
解：由程序语句知：算法的功能是求
y=的值，
当x≤0时，y=x2-1=，可得：x=-，或（舍去）；
当x＞0时，y=2x =，可得：x=-1（舍去）．
综上x的值为：-．
故答案为：-．
算法的功能是求
y=的值，根据输出y的值，分别求出当x≤0时和当x＞0时的x 值即可得解．
本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．
7.【答案】
【解析】
解：O为矩形ABCD的对角线的交点，
现从A，B，C，D，O这5个点中任选3个点，基本事件总数n==10，
这3个点共线的情况有两种AOC和BOD，
∴这3个点不共线的概率为
p=1-=．
故答案为：．
基本事件总数n==10，这3个点共线的情况有两种AOC和BOD，由此能求出这3个点不共线的概率．
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】8
【解析】
解：由f（0）
=sinφ=，得sinφ=，
∵＜φ＜π，∴
φ=，
则f（x）=sin（ωx+），∵f（1）=sin（ω+）=0，
∴
ω+=π，即
ω=，
则函数的最小正周期T=
==8，
故答案为：8
根据图象利用f（0）=，先求出φ的值，结合f（1）=0求出ω，然后利用周期公式进行求解即可．本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键．
9.【答案】-1
【解析】解：∵，∴，
∴a3×-a1×=1，∴a5=4（a3-a1），∴q4-4q2+4=0，
∴（q2-2）2=0，∴q2=2，∴q=，q4=4，
∴a1q5+a1q4=4，∴
（+1）a1=1，
∴a1
==-1．
故答案为：-1．
运用等比数列的通项公式，即可解得a1．
本题考查等比数列的通项公式及应用，考查计算能力，属于基础题和易错题．
10.【答案】
【解析】
解：由sin（2α+β）=psinβ，得sin[α+（α+β）]=psin[（α+β）-α]，
∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=psin（α+β）cosα-pcos（α+β）sinα，
即（p-1）sin（α+β）cosα=（p+1）cos（α+β）sinα，
∴（p-1）tan（α+β）=（p+1）tanα，
又tan（α+β）=ptanα，
∴，解得：
p=1．
∵p为正的常数，∴
p=．
故答案为：．
把已知等式变形，展开两角和与差的三角函数，结合已知求得p值．
本题考查两角和与差的三角函数，考查数学转化思想方法，是中档题．
11.【答案】
【解析】
解：直线AB的方程
为，即x+y+3=0．
圆（x-2）2+y2=r2（r＞0）的圆心（2，0）
到直线AB的距离
d=，
由△MAB的面积是△NAB的面积的2倍的点M，N有且仅有
一对，
可得点M到AB的距离是点N到直线AB的距离的2倍，
可得MN过圆的圆心，如图：
由，解得
r=．
故答案为：．
写出AB所在直线方程，求出圆心到直线的距离，结合题意可得关于r的等式，求解得答案．本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
12.【答案】6
【解析】
解：由函数f（x）=，可得
f（x）的增区间为（-∞，0），（0，+∞），
x＜0时，f（x）∈（0，3-4），x＞0时，f（x）∈R，
当关于x的不等式f（x）＞a的解集为（a2，+∞），
可得a≤0不成立，
a＞0时，0＜
a≤时，不成立；
f（x）＞a，即为log2x＞a，
可得x＞2a，即有a2=2a，
显然a=2，4成立；由y=2x和y=x2的图象可得在x＞0仅有两个交点．
综上可得a的所有值的和为6．
故答案为：6．
由分段函数可得a≤0不满足题意；a＞0时，log2x＞a，可得x＞2a，即有a2=2a，解方程可得a=2，4，结合指数函数的图象和二次函数的图象即可得到所求和．
本题考查分段函数的图象和性质，考查不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查化简运算能力，属于基础题．
13.【答案】-
【解析】解：M是BC 的中点，=2，
AM=1
=．
故应填-．
由题设条件+
=2=，故可得•（+）
=-2，由于线段PA长度可以求出，故可解出•（+）的值．
本题考查向量的内积公式与向量加法的三角形法则，本题恰当地利用向量的相关公式灵活变
形达到了用已知向量表示未知向量，且求出未知向量的目标．
14.【答案】4
【解析】
解：设点P（4cosα，
2sinα），其中0＜α
＜，
∴==
=
=-4++，
由x=4cosα，
y=2sinα，0＜α＜，
可设z=+
=+
=
+，
导数为z′=
-+，
由z′=0，可得
3cosα
-6cos2α+3cos3α-3sinα-sin3α+2sin2α
=（cosα-sinα）（3-6cosα
-2sinα+3cos2α+sin2
α+2sinαcosα）=0，
可得cosα-sinα=0或3-6cosα
-2sinα+3cos2α+sin2α+2sinαcosα=0，
由3-4sin（α+）+2+cos2α+sin2α=5
-4sin（
α+）+2sin（2α+）
=3-4sin（α+）+4sin2（α+）=（2sin（α+）-）2＞0，（0＜α＜），
可得cosα-sinα=0，即tanα=，可得α=，
由0＜α＜可得函数z递减；由＜α＜，可得函数z递增，
可得
α=时，函数z取得最小值，且为
+=8，
则的最小值为4．
故答案为：4．
利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值．
本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题．
15.【答案】证明：（1）在三棱锥P-ABC中，
∵MD∥平面PAC，平面PAB∩平面PAC=PA，
MD⊂平面PAB，
∴MD∥PA，
在△PAB中，∵M是AB的中点，∴D是BP有中点．
（2）在三棱锥P-ABC中，∵△CPM是锐角三角形，
∴在△CPM中，可作CN⊥PM于点N，
∵平面PAB⊥平面PMC，平面PAB∩平面PMC=PM，
CN⊂平面PMC，∴CN⊥平面PAB，
∵AB⊂平面PAB，∴CN⊥AB，
∵AB⊥PC，CN∩PC=C，
∴AB⊥平面PMC，
∵AB⊂平面CAB，∴平面ABC⊥平面PMC．
【解析】
（1）推导出MD∥PA，由M是AB的中点，能证明D是BP有中点．
（2）作CN⊥PM于点N，推导出CN⊥平面PAB，从而CN⊥AB，由AB⊥PC，能证明AB⊥平面PMC，由此能证明平面ABC⊥平面PMC．
本题考查线段中点的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系
等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
16.【答案】解：（1）在△ABC中，由•=-1，得cb cos A=-1，
由S△ABc=，得bc sin A=，
所以（bc）2（cos2A+sin2A）=4，
所以bc=2，cos A=-，
因为在△ABC中，0＜A＜π，所以A=，因为a2=b2+c2-2bc cos A=b2+c2+2≥2bc+2（当且仅当b=c时取等），
所以BC长的最小值为；
（2）在三角形ABC中，因为AM为中线，
所以=+，=+，所以2=+，
因为AM=，所以（2）2=（+）2=b2+c2-2=3，
所以b2+c2=5，
由（1）知bc=2，所以b=1，c=2或b=2，c=1，
所以a2=b2+c2-2bc cos A=，
因为AN为角平分线，S△ABN=AB•AN sin，S△ACN=AC•AN sin，
∴△
△
===或2，
所以BM=，BN=或，
所以MN=．
【解析】
（1）根据面积公式和数量积性质求角A及最大边a；
（2）根据AM的长度求出b，c再根据面积比值求BM，BN从而求出MN．
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．
17.【答案】解：（1）由题意，△EFB为等腰直角三角形，又AE=CF=x，
∴BE=BF=2-x（0＜x＜2），
∵△EFB恰好是该零件的盖，∴x=1，则△ ，
由图甲知，AD⊥AE，CD⊥AF，
则在图乙中，MD⊥ME，MD⊥MF，ME∩MF=M，
又ME，MF⊂平面EMF，∴MD⊥平面EMF，
∴V=△ ；
（2）由题意知，在等腰三角形MEF中，ME=MF=x，
则EF=，cos∠EMF=，
∴△ =．
令f（x）=△ ，
∴f′（x）=x3-8（x-1）=（x-2）（x2+2x-4），
∵0＜x＜2，∴x=．
可得：当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，2）时，f′（x）＜0，∴当x=时，S△EMF有最大值．
由（1）知，MD⊥平面EMF，
∴该三棱锥容积的最大值为V=△ ，且MD=2．
∴当x=时，f（x）取得最大值，无盖三棱锥容器D-MEF的容积V最大．
答：当x值为时，无盖三棱锥容器D-MEF的容积V最大．
【解析】
（1）由已知求得x=1，求得三角形EBF的面积，再由已知得到MD⊥平面EMF，代入三棱锥体积公式求V的值；
（2）由题意知，在等腰三角形MEF中，ME=MF=x，则
EF=，cos∠
EMF=，写出三
角形面积，求其平方导数的最值，则答案可求．
本题考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题．
18.【答案】解：（1）由题意焦距为2，可设点C（1，y0），代入椭圆+=1（a＞b＞0），
得=1，解得，
∴四边形ACBD的面积6=2△ =2b2，
∴b2=3，a2=4，
∴椭圆的标准方程为=1．
证明：（2）①由题意AC：y=k1（x+2），
联立直线与椭圆的方程，得（3+4k2）x2+16k12-12=0，
∴-2x1=，解得x1=，从而y1=k1（x1+1）=，
∴C（-，），同理可得D（，-），
猜想：直线l过定点P（1，0），下证之：
∵k2=3k1，∴k PC-k PD=-
==+=-=0，
∴P，C，D三点共线，∴直线l过定点P（1，0）．
解：②为定值，理由如下：
由题意设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：x=my+1，
代入椭圆标准方程：=1，得（3m2+4）y2+6my-9=0，
∴y1，2=，
∴y1+y2=-，y1y2=-，∴====
==
==（定值）．
【解析】
（1）由题意焦距为2，设点C（1，y0），代入
椭圆
+=1（a＞b＞0
），解得，从而四边形ACBD的面积
6=2=2b2，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）①由题意AC：y=k1（x+2），联立直线与椭圆的方程，得（3+4k2）x2+16k12-12=0，推导出C（-，），D
（，
-），由此猜想：直线l过定点P（1，0），从而能证明P，C，D三点共线，直线l过定点P（1，0）．
②由题意设C（x1，y1），D（x2，y2），直线l：x=my+1，代入椭圆标准方程：=1，得（3m2+4）y2+6my-9=0，推导出y1+y2
=-，y1y2
=-，由此推导出==
= ==（定值）．
本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查两直线的斜率的比值是否为定值的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
19.【答案】解：（1）①当k=-1时，函数g（x）=-x+e，
令F（x）=f（x）-g（x）=+x-e，x∈（1，），
则F（1）=2-e＜0，F（）=3-e＞0，
故F（1）•F（）＜0，
又函数F（x）在区间（1，）上的图象是不间断曲线，
故函数F（x）在区间（1，）上有零点，
故函数f（x）与g（x）的图象在区间（1，）上有交点；
②证明：假设存在k∈R，使得直线y=k（x-e）是曲线y=f（x）的切线，
切点横坐标为x0，且x0∈（0，e）∪（e，+∞），
则切线y=f（x）在点x=x0切线方程为：y=f′（x0）（x-x0）+f（x0），
即y=x-+，
从而k=，且-+=-kx，
消去k得：x0=2e-e ln x0，
故x0=e满足等式，
令s（x0）=x0-2e+e ln x0，所以s′（x0）=1-，
故函数s（x0）在（0，e）递减，在（e，+∞）递增，
故函数s（x0）在x0=e时有最大值s（e）=0，
故方程x0=2e-e ln x0有唯一解x0=e，
又x0∈（0，e）∪（e，+∞），
故x0不存在，即证；
（2）由h（x）=2x-x lnx+xg（x）-ekx=2x-x lnx+kx2-2kex得，
x＞0，h′（x）=1-ln x+2k（x-e），
令m（x）=1-ln x+2k（x-e），
则m′（x）=2k-=，
m（e）=h′（e）=0，
（i）当k≤0时，h′（x）递减，
故当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减，
故h（x）在x=e处取得极大值，不合题意；
（ii）k＞0时，则m（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，①当0＜k＜时，＞e，
故m（x）在（0，）递减，
可得当x∈（0，e）时，h′（x）＞0，
当x∈（e，）时，h′（x）＜0，
∵m（）=（1-2ke）+2-ln，
易证＞，令m（k）=2-ln，k∈（e，），
令t=＞2e，
故n（t）=2et-ln t-t，则n′（t）=2e--1＞0，
故n（t）在（2e，+∞）递增，
则n（t）＞n（2e）＞n（1）＞0，
即0＜k＜时，m＞0，
故在（，）内存在x0，使得m（x0）=0，
故h（x）在（，x0）上递减，在（x0，+∞）递增，
故h（x）在x=x0处取得极小值．
②由（1）知k=，=e，
故h′（x）在（0，e）递减，在（e，+∞）递增，
故x∈（0，+∞）时，h′（x）≥0，f（x）递增，不合题意；③当k＞时，0＜＜e，
当x∈（，e）时，h′（x）＜0，f（x）递减，
当x∈（e，+∞）时，h′（x）＞0，f（x）递增，
故h（x）在x=e处取极小值，符合题意，
综上，实数k的范围是k＞0且k≠．
【解析】
（1）①令F（x）=f（x）-g（x），结合函数零点的判定定理判断即可；②设切点横坐标为x0，求出切线方程，得到x0=2e-elnx0，根据函数的单调性判断即可；
（2）求出h（x）的解析式，通过讨论k的范围，求出函数的单调区间，确定k的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
20.【答案】解：（1）a1=1，a2=λ，且a n2=a n+1a n-1-λa n a n-1（λ为非零常数，n≥2，n∈N*），
可得-=λ，
可得数列{}的首项为λ，公差为λ的等差数列，
可得=λ（n-1），前n项和为λ；
（2）①若μ=1，可令q1=q2=q，b n-1•b n+1=q n，
且==q，即b2=b1q，b3=，b4==，b5=b1q2，
对任意的n∈N*，0＜b n≤b n+1，可得0＜b1≤b2≤b3≤b4≤b5，
可得q≥1，b1≥1，
数列{b n}是等比数列，则b22=b1b3，b42=b3b5，
可得b1=q=1，b n-1•b n+1=1，即b2=b3=b4=b1=1，
又b n+1•b n+3=1，即有b n-1=b n+3，即b n=1，
数列{b n}是等比数列的充要条件为b1=q1=q2=q=1；
②证明：对任意的n≥2，n∈N*，b n-1•b n+1=∈
∈
（μ＞0，q1＞0，q2＞0），
当k=2m，b4m-1•b4m+1=μq24m，b4m-1•b4m-3=μq24m-2，
可得=q22，即{b4m-3}以b1为首项、q22为公比的等比数列；
同理可得{b4m-2}以b2为首项、q12为公比的等比数列；
对任意的n∈N*，0＜b n≤b n+1，可得b4m-3≤b4m-2≤b4m+1，
即有b1q22m-2≤b2q12m-2≤b1q22m，
所以对∀m∈N*，•（）2m-2≤1，•（）2m-2≤1，
可得2（m-1）lg+lg≤0，2（m-1）lg+lg-2lg q2≤0，
即q1≤q2且q2≤q1，则q1=q2，可令q1=q2=q0，
故数列b1，b2，b5，b6，b9，b10，…，b4m-3，b4m-2，…是以b1为首项，q0为公比的等比数列，其中m∈N*．【解析】
（1
）由条件可得-=λ，结合等差数列的定义和通项公式、求和公式，即可得到所求；
（2）①若μ=1，可令q1=q2=q，运用已知条件和等比数列的性质，即可得到所求充要条件；
②当k=2m，b4m-1•b4m+1=μq24m，b4m-1•b4m-3=μq24m-2，由等比数列的定义和不等式的性质，化
简变形，即可得到所求结论．
本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法和推理、运算能力，属于难题．
21.【答案】解：（1）由题意，可知：
∵点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到点（3x，3y），
∴矩阵M=．
又∵det（A）=9≠0，
∴M存在逆矩阵．
∴根据逆矩阵公式，可得：M-1=．
（2）在曲线C上任取一点（x，y），在矩阵M对应变换作用下得到点（x0，y0）．
由（1），可知：x0=3x，y0=3y在曲线C′上，
又∵ ，
∴（3y）2=4×3x．
∴曲线C的方程为：．
【解析】
本题第（1）题可根据两个坐标的特点得出矩阵M，然后根据矩阵M是主对角阵得到它的逆矩阵M-1；第（2）题可在曲线C上任取一点（x，y），在矩阵M对应变换作用下得到点（x0，y0），然后根据已知的曲线C′的方程可得到曲线C的方程．
本题第（1）题主要考查根据根据两个坐标的特点得出变换对应的矩阵以及逆矩阵的求法；第（2）题主要考查已知变换对应的矩阵及其中一条曲线方程的情况下求另一条曲线方程．本题属中
档题．
22.【答案】解：（1）以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立对应的平面直角坐标系，
将曲线C：化为普通方程：（x-2）2+y2=4，∵点A，B在极轴上方，且AB=2，
∴设直线l：y=kx，（k＞0），
∴=，解得k=（舍去负值），
∴直线l的极坐标方程为．
（2）∵将直线l绕点O逆时针旋转，得到直线m，∴依题意直线m：y=x，
由（1）知曲线C的普通方程为：（x-2）2+y2=4，
∴曲线C的参数方程为，（θ为参数，且θ∈[0，2π]），
又线段PQ的长的最小值是曲线C上一点到直线m距离d的最小值，
∴d==||=|2sin（）+3|，
∵1，∴2sin（-θ）+3的最小值为1，
∴线段PQ的长的最小值为1．
【解析】
（1）将曲线C化为普通方程：（x-2）2+y2=4，设直线l：y=kx，（k＞0），则=
，求出k，由此能求出直线l的极坐标方程．
（2）求出直线m：y=x，曲线C的参数方程为，（θ为参数，且θ∈[0，2π]），线段PQ的长的最小值是曲线C上一点到直线m距离d的最小值，由此能求出线段PQ的长的最小值．
本题考查直线的极坐标方程的求法，考查线段长的最小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23.【答案】解：x，y，z均为正数，
∴（）（1+x+1+y+1+z）≥（x+y+z）2，
∵x+y+z=1，
∴≥，
当且仅当x=y=z=时，取等号，
∴的最小值
【解析】
根据柯西不等式即可求出，
本题考查不等式的证明，主要考查运用重要不等式和不等式的基本性质，属于基础题
24.【答案】解：（1）从集合P={x|1≤x≤9，x∈N*}中等可能地取出2个不同元素，记所取元素之和为ξ．基本事件总数n==36，
ξ为偶数包含的基本事件个数m==16，
∴ξ为偶数的概率p=．
（2）从集合P={x|1≤x≤9，x∈N*}中等可能地取出3个不同元素，记所取元素之和为ξ．
η表示ξ被3带队的余数，则η的可能取值为0，1，2，
设集合A={1，4，7}，B={2，5，8}，C={3，6，9}，
则“η=0”表示从A，B，C中各取1个或从A中取3个或多C中取3个，
∴P（η=0）==，
“η=1”表示从A中取1个，C中取2个或从A中取2个，B中取1个或从B中取2个，C中取1个，
∴P（η=1）==，
“η=2”表示从A中取2个，C中取1个或从B中取1个，C中取2个，或从A中取1个，B中取2个，∴P（η=2）==，
数学期望E（η）==．
【解析】
（1）基本事件总数n==36，ξ为偶数包含的基本事件个数m==16，由此能求出ξ为偶数的概率．
（2）η表示ξ被3带队的余数，则η的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出η的分布列和数学期望E（η）．
本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
25.【答案】解：（1）由抛物线定义知，1+=2，
所以p=2，
将点T（1，t）（t＜0）代入抛物线得y2=4x，t=2．
（2）设A（，y1）．B（，y2）
①则直线TA的方程为y+2=（x-1）=：令y=y2得，x=，所以D（，y2）
同理C（，y1）
所以直线CD的斜率为=（定值）
②设点E，F的横坐标分别为x E，x F
由①知，直线CD的方程为：y-y1=-x+，
令y=-2得，
又直线AB的方程为：y-y1=
令y=-2得，
．
所以=
=
所以T是线段EF的中点．
【解析】
（1）由抛物线定义知，1+=2，p=2，将点T（1，t）（t＜0）代入抛物线得y2=4x，得t=2．
（2）设A （，y1）．B（，y2），分别写出直线TA、TB的方程，可得D（，y2），C （，y1）
即可得直线CD的斜率为=（定值）
②设点E，F的横坐标分别为x E，x F
写出直线CD、AB的方程，可得，．
可得==即可．
本题考查了抛物线得性质，直线与抛物线得位置关系，考查了计算能力、转化思想，属于中档题．。