中考第二次模拟检测《数学试卷》含答案解析

第I 卷(选择题)
一、选择题(每题3分,共30分)
1．计算()3.6 5.4--的结果是( )
A ．1.8
B ．9
C ．-9
D ．-1.8
2．将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后,再按如图3打出一个心形小孔,则展开铺平后的图案是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图,四个图形中的∠1和∠2,不是同位角的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．下列计算中,正确的是( )
A ．235a a a +=
B ．326a a a ⋅=
C ．321a a ÷=
D ．()33a a -= 5．一次函数
满足,且随的增大而减小,则此函数的图象不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 6．如图,在ABC ∆中,CD 平分ACB ∠交AB 于点D ,过点D 作//D
E BC 交AC 于点E .若
54,48A B ∠=∠=,则CDE ∠的大小为()
A ．44
B ．40
C ．39
D ．38
7．直线l 1:y =k 1x +b 与直线l 2:y =k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x 的不等式k 2x >k 1x +b 的解集为( )
A ．x>-1
B ．x<-1
C ．x>3
D ．x<3
8．如图,已知AB =3,BC =4,将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠点C 落在点E 的位置,则AE 的长度为( )
A ．85
B ．125
C ．3
D ．75
9．如图,AB 是O 的直径,CD 是弦,CD AB ,30BCD ∠=︒,6AB =,则AC 的长为( )
A ．π
B ．4π
C ．2π
D ．15π
10．如图,一次函数(0)y kx b k =+≠与抛物线2(0)y ax a =≠交于A,B 两点,且点A 的横坐标是2-,点B 的横坐标是3,则以下结论：①抛物线2
(0)y ax a =≠的图象的顶点一定是原点；②0x >时,一次函数(0)y kx b k =+≠与抛物线2(0)y ax a =≠的函数值都随x 的增大而增大；③AB 的长度可以等于5；④当32x -<<时,2ax kx b +<.其中正确的结论是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
第II 卷(非选择题)
二、填空题(每题3分,共12分)
11______．
12．如图,是某个正多边形的一部分,则这个正多边形是_______边形．
13．已知在平面直角坐标系中有两点A(0,1),B(﹣1,0),动点P 在反比例函数y=
2x
的图象上运动,当线段PA 与线段PB 之差的绝对值最大时,点P 的坐标为_____． 14．如图,矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,按以下步骤作图：①以点A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交AO ,AB 于点M ,N ；②以点O 为圆心,AM 长为半径作弧,交OC 于点M '；③以点M '圆心,MN 长为半径作弧,在COB ∠内部交前面的弧于点N '；④过点N '作射线ON '交BC 于点E ．若8AB =,则线段OE 的长为__________．
三、解答题(15,16,17,18题每题5分,19,20,21,22题每题7分,23题8分,24题10分,25题12分,共78分)
15．计算：()()-2
0201921-2 3.14---12π⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 16．解方程: 22142
x x x +=-- 17．如图,点C,D 分别在射线OA 、OB 上,求作⊙P,使它与OA 、OB 、CD 都相切．(使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹)
18．如图,菱形ABCD 中,点E 是边AD 上一点,延长AB 至点F ,使BF =AE ,连结BE ,CF ．求证：BE =CF ．
19．大雁塔南广场玄奘铜像是为纪念唐代高僧玄奘而设计．在一次课外活动中,甲、乙两位同学测量玄奘铜像的高度他们分别在A ,B 两处用高度为1.8m 的测角仪测得铜像顶部C 的仰角分别为30°,60°,两人间的水平距离AB 为10m ,求玄奘铜像的高度CF ．(结果保留根号)
20．某商场用两个月时间试销某种新型商品,经市场调查,该商品的第x 天的进价y (元／件)与x (天)之间的相关信息如下表：
该商品在销售过程中,销售量m (件)与x (天)之间的函数关系如图所示：
在销售过程中,商场每天销售的该产品以每件80元的价格全部售出．
(1)求该商品的销售量m(件)与x(天)之间的函数关系；
(2)设第x天该商场销售该商品获得的利润为w元,求出w与x之间的函数关系式,并求出第几天销售利润最大,最大利润是多少元？
(3)在销售过程中,当天的销售利润不低于2400元的共有多少天？
21．文具店有三种品牌的6个笔记本,价格是4,5,7(单位：元)三种,从中随机拿出一个本,已知P(一次拿到7
元本)
2
3 =．
(1)求这6个本价格的众数．
(2)若琪琪已拿走一个7元本,嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本．
①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回,之后又随机从剩余的本中拿一个本,用列表法
．．．求嘉嘉两次都拿到7元本的概率．
22．某跳高集训队,对集训队员进行了一次跳高测试,经过统计,将集训队员的测试成绩(单位：m),绘制成尚不完整的扇形统计图(图①)与条形统计图(图②).
(1)a=________,请将条形统计图补充完整；
(2)求集训队员测试成绩的众数；
(3)教练发现,测试成绩不包括两名请假的队员,补测后,把这两名队员的成绩(均是0.05的整数倍)与原测试成绩并成一组新数据,求新数据的中位数.
23．如图,AE是△ABC外接圆O的直径,连结BE,作AD⊥BC于D．
(1)求证：△ABE∽△ADC；
(2)若AB=8,AC=6,AE=10,求AD的长．
24．如图,线段AB,A(2,3),B(5,3),抛物线y=﹣(x﹣1)2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C,D(点C在点D的左侧)
(1)求m为何值时抛物线过原点,并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标．
(2)设抛物线的顶点为P,m为何值时△PCD的面积最大,最大面积是多少．
(3)将线段AB沿y轴向下平移n个单位,求当m与n有怎样的关系时,抛物线能把线段AB分成1：2两部分．
25．我们知道三角形任意两条中线的交点是三角形的重心．重心有如下性质：重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍．请利用该性质解决问题
(1)如图1,在△ABC中,AF、BE是中线,AF⊥BE于P．若BP=2,∠F AB=30°,则EP=,FP=；
(2)如图1,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,AF、BE是中线,AF⊥BE于P．猜想a2、b2、c2三者之间的关系并证明；
(3)如图2,在▱ABCD中,点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点,BE⊥BG,AB=3,AD求AF的长．
答案与解析
第I 卷(选择题)
二、选择题(每题3分,共30分)
1．计算()3.6 5.4--的结果是( )
A ．1.8
B ．9
C ．-9
D ．-1.8
【答案】B
【解析】()3.6 5.4 3.6 5.49--=+=；
故选择：B.
2．将一个正方形纸片按如图1、图2依次对折后,再按如图3打出一个心形小孔,则展开铺平后的图案是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】按照图中顺序进行操作,展开后心形图案应该靠近正方形上下两边,且关于中间折线对称,故只有B 选项符合.故选B.
3．如图,四个图形中的∠1和∠2,不是同位角的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】A 、∠1、∠2有一条边在一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角；
C 、∠1、∠2有一条边在一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角；
D 、∠1、∠2有一条边在一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角；
D 、∠1、∠2的两条边都不在一条直线上,不是同位角；故选：D
4．下列计算中,正确的是( )
A ．235a a a +=
B ．326a a a ⋅=
C ．321a a ÷=
D ．()33a a -= 【答案】A
【解析】A 、235a a a +=,故原题计算正确,符合题意；
B 、325a a a ⋅=,故原题计算错误,不合题意；
C 、32a a a ÷=,故原题计算错误,不合题意；
D 、()33a a -=-,故原题计算错误,不合题意.故选：A.
5．一次函数
满足,且随的增大而减小,则此函数的图象不经过( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】A
【解析】根据y 随x 的增大而减小得：k ＜0,又kb ＞0,则b ＜0,故此函数的图象经过第二、三、四象限,即不经过第一象限．故选A ．
6．如图,在ABC ∆中,CD 平分ACB ∠交AB 于点D ,过点D 作//DE BC 交AC 于点E .若54,48A B ∠=∠=,则CDE ∠的大小为()
A ．44
B ．40
C ．39
D ．38
【答案】C 【解析】∵∠A=54°,∠B=48°,
∴∠ACB=180°-∠A -∠B =78°.
∵CD 平分∠ACB,
∴∠DCB=∠ACD=39°.
∵DE ∥BC,
∴∠CDE=∠DCB=39°.故选C.
7．直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k2x> k1x+b的解集为( )
A．x>-1B．x<-1C．x>3D．x<3
【答案】B
【解析】由图可知两直线交点的横坐标为-1,
则k2x>k1x+b的解集为x<-1,故选B.
8．如图,已知AB=3,BC=4,将矩形ABCD沿对角线BD折叠点C落在点E的位置,则AE的长度为()
A．8
5
B．
12
5
C．3D．
7
5
【答案】D
【解析】设FD=x,则AF=4﹣x,
∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠点C落在点E的位置,∴∠FBD=∠DBC,BE=BC,
∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,AD=BC,
∴∠ADB=∠DBC,BE=AD,
∴∠ADB=∠FBD,
∴FB=FD=x,
在直角△AFB 中,x 2=(4﹣x )2+32,
解之得,x =25
8,AF =4﹣x =7
8,
∵BE=AD,FB=FD,
∴AF=EF, ∴AF
EF
=FD FB ,
∵∠AFE=∠DFB,
∴△AFE ∽△DFB , ∴AF
AE
=FD DB ,
∴7
8258
解得AE =7
5．故选：D ．
9．如图,AB 是O 的直径,CD 是弦,CD AB ,30BCD ∠=︒,6AB =,则AC 的长为(
)
A ．π
B ．4π
C ．2π
D ．15π
【答案】A
【解析】如图,连接OC,则1
32OC AB ==
//CD AB ,30BCD ∠=︒
30BCD ABC ∴=∠=∠︒
260AOC ABC ∴∠=∠=︒
则AC 的长为603
180ππ⨯=
故选：A ．
10．如图,一次函数(0)y kx b k =+≠与抛物线2(0)y ax a =≠交于A,B 两点,且点A 的横坐标是2-,点B 的
横坐标是3,则以下结论：①抛物线2
(0)y ax a =≠的图象的顶点一定是原点；②0x >时,一次函数
(0)y kx b k =+≠与抛物线2(0)y ax a =≠的函数值都随x 的增大而增大；③AB 的长度可以等于5；④当
32x -<<时,2ax kx b +<.其中正确的结论是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②③④
【答案】B
【解析】①抛物线2
y ax =,利用顶点坐标公式得顶点坐标为()0,0,正确.
②由题图可知,在y 轴右侧,即当0x >时,一次函数与抛物线的函数值都随x 的增大而增大,正确.
③如解图,过点A 作x 轴的平行线,过点B 作y 轴的平行线,两线相交于点D.在Rt ABD ∆中,由A 、B 横坐标分别为2-,3,可知5AD =,故5AB >,错误.
④直线y kx b =-+与y kx b =+关于y 轴对称,如解图所示,可得出直线y kx b =-+与抛物线交点E 、F 横坐标分别为3-,2,由解图可知当32x -<<时,2ax kx b <-+,即2ax kx b +<,正确. 综上所述,正确的结论有①②④.
第II 卷(非选择题)
二、填空题(每题3分,共12分)
11______．
【解析】由相反数的定义可知-,
12．如图,是某个正多边形的一部分,则这个正多边形是_______边形．
【答案】十
【解析】由题意可得：该正多边形的边数为：360°÷36°=10.
即该多边形是：十边形.
故答案为：十.
13．已知在平面直角坐标系中有两点A(0,1),B(﹣1,0),动点P在反比例函数y=2
x
的图象上运动,当线段PA与
线段PB之差的绝对值最大时,点P的坐标为_____．【答案】(1,2)或(-2,-1)
【解析】如图,
设直线AB的解析式为y=kx+b,
将A(0,1)、B(-1,0)代入,得：1
-0b k b =⎧⎨
+=⎩
, 解得：1
1k b =⎧⎨=⎩
, ∴直线AB 的解析式为y=x ﹣1, 直线AB 与双曲线y=2
x
的交点即为所求点P,此时|PA ﹣PB|=AB,即线段PA 与线段PB 之差的绝对值取得最大值,
由+1
2y x y x =⎧⎪
⎨=⎪⎩
可得12x y =⎧⎨
=⎩或-2-1x y =⎧⎨=⎩, ∴点P 的坐标为(1,2)或(-2,-1),
14．如图,矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,按以下步骤作图：①以点A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交AO ,AB 于点M ,N ；②以点O 为圆心,AM 长为半径作弧,交OC 于点M '；③以点M '圆心,MN 长为半径作弧,在COB ∠内部交前面的弧于点N '；④过点N '作射线ON '交BC 于点E ．若8AB =,则线段
OE 的长为__________．
【答案】4
【解析】由题意可得出：'''',,AM OM AN ON MN M N ===
∴''MAN M ON ≅ ∴''MAN M ON ∠=∠ ∴//OE AB ∵O 为AC 的中点 ∴OE 为ACB △的中位线 ∵8AB =
∴1
42
OE AB =
= 故答案为：4．
四、解答题(15,16,17,18题每题5分,19,20,21,22题每题7分,23题8分,24题10分,25题12分,共78分)
15．计算：()
()-2
201921-2 3.14---12π⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
【解析】()()-2
201921-2 3.14---12π⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
=414(1)++--- =2． 16．解方程:
2
2142
x
x x +=-- 【解析】两边都乘(x+2)(x -2),得 2+x(x+2)=x 2-4, 2+ x 2+2x= x 2-4, 解得x=-3,
经检验：x=-3是方程的解；
17．如图,点C,D 分别在射线OA 、OB 上,求作⊙P,使它与OA 、OB 、CD 都相切．(使用直尺、圆规、直角板作图并保留作图痕迹)
【解析】如图,作∠DOC 的平分线OM ,∠ODC 的平分线DN ,OM 交DN 于点P 1,作P 1F ⊥OD ,以P 1为圆心,P 1F 为半径作⊙P 1即可；同法作出⊙P 2．
1P ,2P 即为所求；
18．如图,菱形ABCD 中,点E 是边AD 上一点,延长AB 至点F ,使BF =AE ,连结BE ,CF ．求证：BE =CF ．
【解析】∵四边形ABCD 是菱形,∴AD ∥BC ,AB =BC ,∴∠A =∠CBF ．在△ABE 和△BCF 中,∵AE =BF ,∠A =∠CBF ,AB =BC ,∴△ABE ≌△BCF (SAS),∴BE =CF ．
19．大雁塔南广场玄奘铜像是为纪念唐代高僧玄奘而设计．在一次课外活动中,甲、乙两位同学测量玄奘铜像的高度他们分别在A ,B 两处用高度为1.8m 的测角仪测得铜像顶部C 的仰角分别为30°,60°,两人间的水平距离AB 为10m ,求玄奘铜像的高度CF ．(结果保留根号)
【解析】设CG=x m, 在Rt △CGD 中,tan ∠CDG=CG
DG
,
∴DG=
CG
tan CDG
∠,
在Rt △CGE 中,tan ∠CEG=CG
GE
,
∴EG=
3
CG x tan CEG ∠=,
由题意得,10x +=,
解得,x =
,即 ,
∴CF=CG+GF=
1.82
+,
答：玄奘铜像的高度CF 为 1.8⎫
⎪⎪⎝⎭
m ． 20．某商场用两个月时间试销某种新型商品,经市场调查,该商品的第x 天的进价y (元／件)与x (天)之间的相关信息如下表：
该商品在销售过程中,销售量m (件)与x (天)之间的函数关系如图所示： 在销售过程中,商场每天销售的该产品以每件80元的价格全部售出．
(1)求该商品的销售量m (件)与x (天)之间的函数关系；
(2)设第x 天该商场销售该商品获得的利润为w 元,求出w 与x 之间的函数关系式,并求出第几天销售利润最大,最大利润是多少元？
(3)在销售过程中,当天的销售利润不低于2400元的共有多少天？ 【解析】(1)设该商品的销售量m 与x 之间的函数关系为()0m kx b k =+≠ 由图可知,点()0,120,()50,20在m kx b =+上 将点()0,120,()50,20代入得120
5020b k b =⎧⎨
+=⎩
解得2
120k b =-⎧⎨
=⎩
则该商品的销售量m 与x 之间的函数关系为2120m x =-+； (2)由题意,分以下两种情况：
①当130x ≤<时
()()()2808070212021001200w y m x x x x =-⋅=+-⋅-+=-++
()2
2252450x =--+
由二次函数的性质可知,当25x =时,w 取得最大值,最大值为2450 ②当3050x ≤≤时
()()80402120804800w x x =-⋅-+=-+
∵800k =-< ∴w 随x 的增大而减小
则当30x =时,w 取得最大值,最大值为803048002400-⨯+= 因24502400>
故第25天时利润最大,最大利润为2450元
综上,w 与x 之间的函数关系式为221001200(130)
804800(3050)
x x x w x x ⎧-++≤<=⎨
-+≤≤⎩,第25天时利润最大,最大利润为2450元；
(3)①当130x ≤<时,()2
2252450w x =--+ 则()2
22524502400x --+= ∴120x =或230x =
∴2030x ≤<,利润不低于2400元
即此时,共有10天的销售利润不低于2400元 ②当3050x ≤≤时,804800w x =-+ 则8048002400x -+≥ 解得30x ≤
30x ∴=
即此时,只有1天的销售利润不低于2400元 综上,共有11天的销售利润不低于2400元．
21．文具店有三种品牌的6个笔记本,价格是4,5,7(单位：元)三种,从中随机拿出一个本,已知P (一次拿到7
元本)
2
3 =．
(1)求这6个本价格的众数．
(2)若琪琪已拿走一个7元本,嘉嘉准备从剩余5个本中随机拿一个本．
①所剩的5个本价格的中位数与原来6个本价格的中位数是否相同？并简要说明理由；
②嘉嘉先随机拿出一个本后不放回,之后又随机从剩余的本中拿一个本,用列表法
．．．求嘉嘉两次都拿到7元本的概率．
【解析】(1)∵P(一次拿到7元本)
2 3 =,
∴7元本的个数为6×2
3
=4(个),按照从小到大的顺序排列为4,5, 7,7,7,7,
∴这6个本价格的众数是7.
(2)①相同；
∵原来4、5、7、7、7、7,∴中位数为77
7 2
+
=,
5本价格为4、5、7、7、7,中位数为7,∴77
=,∴相同.
②见图
∴P(两次都为7)
63 2010 ==.
22．某跳高集训队,对集训队员进行了一次跳高测试,经过统计,将集训队员的测试成绩(单位：m),绘制成尚不完整的扇形统计图(图①)与条形统计图(图②).
(1)a =________,请将条形统计图补充完整； (2)求集训队员测试成绩的众数；
(3)教练发现,测试成绩不包括两名请假的队员,补测后,把这两名队员的成绩(均是0.05的整数倍)与原测试成绩并成一组新数据,求新数据的中位数. 【解析】(1)25；
补全条形统计图如解图所示：
()%110%20%30%15%25%a =-+++=,故25a =；测试成绩为1.50m 的有2人,占总人数的10%,故
总人数为210%20÷=(人).则测试成绩为1.55m 的人数为2020%4⨯=(人). (2)由条形统计图可知,集训队员测试成绩的众数为1.65m ； (3)当两名请假队员的成绩均大于或等于1.65m 时,中位数为
1.60 1.65
1.625(m)2
+=；
当两名请假队员的成绩均小于1.65m 或一个小于1.65m,一个大于或等于1.65m 时,中位数为1.60m. 23．如图,AE 是△ABC 外接圆O 的直径,连结BE,作AD ⊥BC 于D ． (1)求证：△ABE ∽△ADC ；
(2)若AB=8,AC=6,AE=10,求AD 的长．
【解析】(1)如图,∵AE是△ABC外接圆O的直径,且AD⊥BC,∴∠ABE=∠ADC=90°；而∠E=∠C,
∴△ABE∽△ADC．
(2)∵△ABE∽△ADC,
∴AB AE
AD AC
,而AB=8,AC=6,AE=10,
∴AD=4.8．
24．如图,线段AB,A(2,3),B(5,3),抛物线y=﹣(x﹣1)2﹣m2+2m+1与x轴的两个交点分别为C,D(点C在点D的左侧)
(1)求m为何值时抛物线过原点,并求出此时抛物线的解析式及对称轴和项点坐标．
(2)设抛物线的顶点为P,m为何值时△PCD的面积最大,最大面积是多少．
(3)将线段AB沿y轴向下平移n个单位,求当m与n有怎样的关系时,抛物线能把线段AB分成1：2两部分．
【解析】(1)当y=﹣(x﹣1)2﹣m2+2m+1过原点(0,0)时,0=﹣1﹣m2+2m+1,得m1=0,m2=2,
当m1=0时,y=﹣(x﹣1)2+1,
当m2=2时,y=﹣(x﹣1)2+1,
由上可得,当m=0或m=2时,抛物线过原点,此时抛物线的解析式是y=﹣(x﹣1)2+1,对称轴为直线x=1,顶点为(1,1)；
(2)∵抛物线y=﹣(x﹣1)2﹣m2+2m+1,
∴该抛物线的顶点P为(1,﹣m2+2m+1),
当﹣m2+2m+1最大时,△PCD的面积最大,
∵﹣m 2+2m+1=﹣(m ﹣1)2+2,
∴当m=1时,﹣m 2+2m+1最大为2,
∴y=﹣(x ﹣1)2+2,
当y=0时,0=﹣(x ﹣1)2+2,得x 1,x 2=1,
∴点C 的坐标为(1,0),点D 的坐标为,0)
∴)﹣(1,
∴S △PCD =22
,
即m 为1时△PCD 的面积最大,最大面积是；
(3)将线段AB 沿y 轴向下平移n 个单位A(2,3﹣n),B(5,3﹣n)
当线段AB 分成1：2两部分,则点(3,3﹣n)或(4,3﹣n)在该抛物线解析式上,
把(3,3﹣n)代入抛物线解析式得,
3﹣n=﹣(3﹣1)2﹣m 2+3m+1,
得n=m 2﹣2m+6；
把(4,3﹣n)代入抛物线解析式,得
3﹣n=﹣(3﹣1)2﹣m 2+3m+1,
得n=m 2﹣2m+11；
∴n=m 2﹣2m+6或n=m 2﹣2m+11．
25．我们知道三角形任意两条中线的交点是三角形的重心．重心有如下性质：重心到顶点的距离是重心到对边中点距离的2倍．请利用该性质解决问题
(1)如图1,在△ABC 中,AF 、BE 是中线,AF ⊥BE 于P ．若BP =2,∠F AB =30°,则EP = ,FP = ；
(2)如图1,在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,AB =c ,AF 、BE 是中线,AF ⊥BE 于P ．猜想a 2、b 2、c 2三者之间的关系并证
明；
(3)如图2,在▱ABCD 中,点E 、F 、G 分别是AD 、BC 、CD 的中点,BE ⊥BG ,AB =3,AD 求AF 的长．
【解析】(1)∵在△ABC 中,AF 、BE 是中线,
∴BP =2EP =2,AP =2FP ,
∴EP =1,
∵AF ⊥BE ,∠F AB =30°,
∴AB=2BP=4,
∴AP =
∴FP =12
AP ；
故答案为：
(2)a 2+b 2=5c 2；理由如下：
连接EF ,如图1所示：
∵AF ,BE 是△ABC 的中线,
∴EF 是△ABC 的中位线,
∴EF ∥AB ,且EF =
12AB =12c , ∴12
PE PF PB PA ==, 设PF =m ,PE =n ,
∴AP =2m ,PB =2n ,
在Rt △APB 中,(2m )2+(2n )2=c 2,即4m 2+4n 2=c 2,
在Rt △APE 中,(2m )2+n 2=(
12b )2,即4m 2+n 2=14
b 2, 在Rt △FPB 中,m 2+(2n )2=(12a )2,即m 2+4n 2=14
a 2, ∴5m 2+5n 2=14(a 2+
b 2)=54
c 2, ∴a 2+b 2=5c 2；
(3)连接AC、EC,如图2所示：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵点E,F分别是AD,BC,CD的中点,∴AE=CE,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AF=CE,
∵AD∥BC,
∴△AEQ∽△CBQ,
∴
1
2 AQ EQ AE
CQ BQ BC
===,
设AQ=a,EQ=b,则CQ=2a,BQ=2b,
∵点E,G分别是AD,CD的中点,
∴EG是△ACD的中位线,
∴EG∥AC,
∵BE⊥EG,
∴BE⊥AC,
由勾股定理得：AB2﹣AQ2=BC2﹣CQ2,
即9﹣a22﹣4a2,
∴3a2=11,
∴a2=11 3
,
∴BQ2=4b22﹣4×11
3
=
16
3
,
∴b2=16
3
×
1
4
=
4
3
,
在Rt△EQC中,CE2=EQ2+CQ2=b2+4a2=16,∴CE=4,
∴AF=4．。