2022-2023学年北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元测试题含答案

第一章 特殊平行四边形
一 选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)
1.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,下列说法不正确的是 ( )
A.AB ∥DC
B.AC=BD
C.AC ⊥BD
D.OA=OB
(第1题) (第2题)
2.如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,E 为AD 的中点,连接OE ,若OE=3,则菱形ABCD 的周长为 ( )
A.10
B.12
C.16
D.24
3.如图,正方形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,P 为边BC 上一点,且BP=OB ,则∠COP= ( ) A.15° B.22.5° C.25°
D.17.5°
(第3题) (第4题)
4.如图,在矩形ACBE 中,∠ABC=30°,AB 交CE 于点D ,若AC=2,则CD 的长为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
5.如图,EF 过矩形ABCD 的对角线的交点O ,且分别交AB ,CD 于点E ,F ,那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的 ( )
A.15
B.14
C.13
D.310
(第5题) (第6题)
6.如图,已知▱ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,下列说法正确的是( ) A.当OA=OB 时,▱ABCD 为菱形 B.当AB=AD 时,▱ABCD 为正方形 C.当∠ABC=∠BCD 时,▱ABCD 为矩形 D.当AC ⊥BD 时,▱ABCD 为正方形
7.如图,在矩形ABCD 中,BC=8,AB=4,点E ,F 分别为AD 和BC 的中点,连接CE ,DF ,交于点O ,连接AO ,则AO 的长为
( )
A.2√10
B.5√2
C.3
2√10 D.4√2
(第7题)(第8题)
8.如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,要使四边形EFGH是菱形,四边形ABCD应满足的一个条件是()
A.AD=BC
B.AC⊥BD
C.AC=BD
D.AB=CD
9.如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB'C'D',边B'C'与DC 相交于点O,则OC的长是() A.2√2-2 B.2+√2 C.2-√2 D.√2
(第9题)(第10题)
10.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B'处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是() A.12 B.24 C.12√3 D.16√3
二填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,若∠A=26°,则∠DCA=.
(第11题)(第12题)
12.如图,在平面直角坐标系中,矩形木框OABC的顶点B的坐标为(1,2),若固定OA,向左推矩形木框OABC,使点B落在y轴上的点B'处,则点C的对应点C'的坐标为.
13.对下列现象中蕴含的数学原理阐述正确的是(填序号).
图(1)图(2)图(3)
①如图(1),工人师傅在做矩形门窗时,不仅要测量出两组对边的长度相等,还要测量出两条对角线的长度相等,以确保门窗是矩形.其依据是“对角线相等的四边形是矩形”.
②如图(2),将两张等宽的矩形纸条交叉叠放在一起,重合部分构成的四边形ABCD一定是菱形.其依据是“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”.
③把一张矩形纸片按图(3)的方式折一下,然后沿EF裁剪,打开就可以得到正方形.其依据是“有一组邻边相等的矩形是正方形”.
14.如图,P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PE⊥DC于点E,PF⊥BC于点F,若CF=3,CE=4,则AP的长是.
(第14题)(第15题)
15.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E为AB的中点,F为AC上一动点,连接EF,BF,则EF+BF的最小值是.
三解答题(共6小题,共55分)
16.(7分)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,DE=AF,BE与CF相交于点G.
(1)求证:BE=CF.
(2)若BC=4,DE=1,求CF的长.
17.(8分)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.
(1)求证:BD=BE.
(2)若BE=10,CE=6,连接OE,求△ODE的面积.
18.(8分)如图,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=6 cm.点P从点D出发向点A运动,运动到点A即停止;同时,点Q从点B出发向点C运动,运动到点C即停止.点P,Q的速度都是1 cm/s.连接PQ,AQ,CP.设点P,Q运动的时间为t s.
(1)当t为何值时,四边形ABQP是矩形?
(2)当t为何值时,四边形AQCP是菱形?
19.(9分)如图(1),在菱形纸片ABCD中,∠A=45°.对其进行如下操作:
如图(2),现将纸片进行折叠,使点A与点D重合,点C与点D重合,折痕分别为EG,FH,且两条折痕的延长线交于点O.
(1)求∠EOF的度数;
(2)四边形DGOH是菱形吗?请说明理由.
图(1)图(2)
20.(10分)我们给出如下定义:把对角线互相垂直的四边形叫做“对角线垂直四边形”.
如图(1),在四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,四边形ABCD就是“对角线垂直四边形”.
(1)下列四边形,一定是“对角线垂直四边形”的是.
①平行四边形,②矩形,③菱形,④正方形.
(2)如图(2),在“对角线垂直四边形ABCD”中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是矩形.
图(1)图(2)
(3)小明说:计算“对角线垂直四边形”的面积可以仿照求菱形的面积的方法,其面积是对角线长的乘积的一半.小明的说法正确吗?如果正确,请结合图(1)说明理由;如果不正确,请给出反例.
21.(13分)如图(1),矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连接CP.
(1)猜想:请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.
(2)证明:如果将矩形变为菱形,如图(2),请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.
(3)应用:如果将矩形变为正方形,如图(3),请你判断四边形CODP的形状,并说明理由.
图(1)图(2)图(3)
答案解析
1.C根据矩形的性质可知,矩形的对角线不一定互相垂直.故选C.
【归纳总结】矩形的有关性质
①边,矩形的对边平行且相等;②角,矩形的四个角都是直角;③对角线,矩形的对角线互相平分且相等.
2.D根据菱形的性质可知,O是AC的中点.∵E为AD的中点,∴OE为△ACD的中位
线,∴CD=2OE=6.又菱形的四边相等,∴菱形ABCD的周长为6×4=24.故选D.
【一题多解】
由题意得∠AOD=90°.在Rt△AOD中,∵E为AD的中点,∴AD=2OE=2×3=6,∴菱形ABCD的周长为6×4=24.故选D.
3.B∵四边形ABCD是正方
形,∴∠BOC=90°,∠OBC=45°.∵BP=OB,∴∠BOP=∠BPO=1
2
(180°-45°)=67.5°,∴∠COP=90°-67.5°=22.5°.故选B.
4.A∵四边形ACBE是矩形,∴∠ACB=90°,D为AB的中
点.∵AC=2,∠ABC=30°,∴AB=2AC=4,∴CD=1
2
AB=2,故选A.
5.B∵四边形ABCD为矩形,∴OB=OD,AB∥CD,∴∠EBO=∠FDO.在△EBO与△FDO
中,∵∠EOB=∠FOD,OB=OD,∠EBO=∠FDO,∴△EBO≌△FDO,∴S阴影部分
=S△AEO+S△EBO=S△AOB.∵S△AOB=1
2S△ABC=1
4
S矩形ABCD,∴S阴影部分=1
4
S矩形ABCD.故选B.
【数学思想】
本题利用全等三角形把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积,进而利用整体思想求解.
6.C∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又OA=OB,∴AC=BD,由“对角线相等的平行四边形是矩形”,可判定▱ABCD为矩形,故选项A中说法错误.当AB=AD时,由菱形的定义可知,▱ABCD为菱形,故选项B中说法错误.∵在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°.又
∠ABC=∠BCD,∴∠ABC=90°.由矩形的定义,可判定▱ABCD为矩形,故选项C中说法正确.当AC⊥BD时,根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,可判定▱ABCD为菱形,但无法判定其为正方形,故选项D中说法错误.故选C.
7.A连接EF,过点O作OM⊥AD于点M,易证四边形EFCD为正方形,∴OM=MD=1
2
AB=2,∴AM=6.在Rt△AOM中,由勾股定理,得AO=√AM2+OM2=2√10.
8.A∵点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,∴GH∥AD,EF∥AD,FG∥BC,HE∥BC,且
GH=1
2AD,EH=1
2
BC,∴EF∥GH,HE∥FG,∴四边形EFGH是平行四边形.当AD=BC时,GH=EH,此时平行四
边形EFGH是菱形.故选A.
9.C如图,连接B'C,AC.∵旋转角∠BAB'=45°,∠BAC=45°,∴点B'在对角线AC
上.∵AB=AB'=BC=1,∴AC=√2,∴B'C=√2-1.在等腰直角三角形OB'C
中,OB'=B'C=√2-1,∴OC=√2(√2-1)=2-√2.故选C.
10.D在矩形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=60°.由翻折可
知,∠EFB'=60°,∠A'B'F=∠B=90°,∠A'=∠A=90°,A'E=AE=2,A'B'=AB.在△EFB'
中,∵∠B'EF=∠EFB'=60°,∴△EFB'是等边三角形.在Rt△A'EB'
中,∵∠A'B'E=90°-60°=30°,∴B'E=2A'E=4,∴A'B'=2√3,即
AB=2√3.∵AE=2,DE=6,∴AD=AE+DE=2+6=8,∴矩形ABCD的面积=AB·AD=2√3×8=16√3.故选D.
AB=AD,∴∠DCA=∠A=26°.
11.26°【解析】∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴DC=1
2
12.(-1,√3)【解析】∵四边形OABC是矩形,点B的坐标为(1,2),∴OA=1,AB=2.由题意得
AB'=AB=2,四边形OAB'C'是平行四边形,∴OB'=√AB'2-OA2=√3,B'C'=OA=1,∴点C的对应点C'的坐标为(-1,√3).
13.②③【解析】①∵两组对边的长度相等,∴四边形是平行四边形.又对角线相等,∴该平行四边形是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形),故①错误.②如图,由矩形的对边平行,可得AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.过点D分别作AB,BC边上的高DE,DF,则
DE=DF.∵平行四边形ABCD的面积=AB×DE=BC×DF,∴AB=BC,∴平行四边形ABCD为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形),故②正确.③根据折叠可知,所得到的四边形有三个直角,∴该四边形为矩形.又有一组邻边相等,∴该矩形为正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形),故③正确.故正确的阐述为②③.
14.5【解析】如图,连接PC.∵四边形ABCD是正方
形,∴AD=DC,∠ADP=∠CDP.∵PD=PD,∴△APD≌△CPD,∴AP=CP.∵四边形ABCD是正方
形,∴∠DCB=90°.∵PE⊥DC,PF⊥BC,∴四边形PFCE是矩形,∴PC=EF.在Rt△CEF
中,EF=√CE2+CF2=√42+32=5,∴AP=CP=EF=5.
15.3√3【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴点B,D关于AC对称,AB=AD.如图,连接BD,ED,则ED 的长即为EF+BF的最小值.∵∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形.∵E为AB的中
点,∴DE⊥AB,AE=1
2
AB=3.在Rt△ADE中,根据勾股定理,得ED=√AD2-AE2=√62-32=3√3,∴EF+BF 的最小值为3√3.
16.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD=DA,∠BCE=∠CDF=90°.(2分)∵DE=AF,
∴CE=DF.(3分)
在△BCE和△CDF中,{BC=CD,
∠BCE=∠CDF, CE=DF,
∴△BCE≌△CDF,
∴BE=CF.(5分) (2)∵CD=AD=BC=4,AF=DE=1,
∴DF=3.
在Rt△CDF中,CF=√CD2+DF2=5.(7分) 17.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AB∥CD.
又BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∴AC=BE,
∴BD=BE.(3分)
(2)如图,过点O作OF⊥CD于点F.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°,
∴∠BCE=90°.
在Rt△BCE中,根据勾股定理可得BC=8.∵BE=BD,
∴CD=CE=6,
∴DE=12.
∵OD=OC,
∴CF=DF.
又OB=OD,
∴OF为△BCD的中位线,
∴OF=1
2
BC=4,
∴S△ODE=1
2DE·OF=1
2
×12×4=24.(8分)
18.【参考答案】(1)由题意得,BQ=DP=t,AP=CQ=6-t.
在矩形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC.
要使四边形ABQP是矩形,
则BQ=AP,
即t=6-t,解得t=3.
故当t=3时,四边形ABQP是矩形.(4分) (2)由题意得,四边形AQCP是平行四边形.
要使平行四边形AQCP是菱形,
则AQ=CQ,
即√32+t2=6-t,解得t=9
4
.
故当t=9
4
时,四边形AQCP是菱形.(8分)
19.【参考答案】(1)由折叠可知∠DEG=∠DFH=90°.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,∠C=∠A=45°,
∴∠A+∠ADC=180°,
∴∠ADC=135°.
∵∠EOF+∠DEG+∠DFH+∠ADC=360°,
∴∠EOF=360°-90°-90°-135°=45°.(4分) (2)是菱形.(5分)理由:由折叠可知∠ADG=∠A=45°,∠CDH=∠C=45°.
∵∠ADC=135°,
∴∠GDC=∠ADH=90°.
∵∠AEG=∠CFH=90°,
∴GE∥DH,GD∥HF,
∴四边形DGOH是平行四边形.(7分)∵∠A=∠C,AD=CD,∠ADG=∠CDH,
∴△ADG≌△CDH,
∴DG=DH,
∴四边形DGOH是菱形.(9分)
20.【参考答案】(1)③④(2分) (2)∵点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,
∴HG∥AC,EF∥AC,
∴HG∥EF.
同理可得HE∥GF.
∴四边形EFGH是平行四边形.(4分)∵DB⊥AC,
∴HE⊥HG,
∴∠EHG=90°,
∴四边形EFGH是矩形.(6分) (3)正确.(7分)
理由:S四边形ABCD=S△ADC+S△BAC=1
2AC·OD+1
2
AC·BO=1
2
AC(OD+OB)=1
2
AC·BD,
即“对角线垂直四边形”的面积是对角线长的乘积的一半.(10分)
【提分技法】解决中点四边形的有关方法
(1)解决中点四边形问题,往往借助三角形的中位线的性质证明四边形的对边相等或平行.(2)中点四边形的形状由原来四边形对角线的特征决定.连接矩形各边中点得到的四边形是菱形;连接菱形各边中点得到的四边形是矩形;连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.
21.【解题思路】(1)由DP∥OC且DP=OC,得四边形CODP是平行四边形,根据矩形的性质得OC=OD,从而可证得四边形CODP是菱形;(2)由DP∥OC且DP=OC,得四边形CODP是平行四边形,又根据菱形的性质得∠DOC=90°,从而证得四边形CODP是矩形;(3)由DP∥OC且DP=OC,得四边形CODP 是平行四边形,又由正方形的性质得∠DOC=90°,OD=OC,从而证得四边形CODP是正方形.【参考答案】(1)四边形CODP是菱形.(1分)理由:∵DP∥OC,DP=OC,
∴四边形CODP是平行四边形.(2分)∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,OC=1
2AC,OD=1
2
BD,
∴OC=OD,
∴四边形CODP是菱形.(4分) (2)四边形CODP是矩形.(5分)理由:∵DP∥OC,DP=OC,
∴四边形CODP是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠DOC=90°,
∴四边形CODP是矩形.(8分) (3)四边形CODP是正方形.(9分)理由:∵DP∥OC,DP=OC,
∴四边形CODP是平行四边形.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,AC=BD,OC=1
2AC,OD=1
2
BD,
∴∠DOC=90°,OC=OD,(12分)∴四边形CODP是正方形.(13分)。