人教版数学九年级上册第二十一章 一元二次方程达标测试卷(含答案)

一元二次方程自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. 2x 2-x 3+1=0
B.（x +1）（x ﹣1）=x 2﹣x
C. 5x 2﹣4=0
D. ax 2+bx +c =0 2. 用公式法解一元二次方程3x 2=2x ﹣3时，首先要确定a ，b ，c 的值，下列叙述正确的是（ ）
A. a =3，b =2，c =3
B. a =﹣3，b =2，c =3
C. a =3，b =2，c =﹣3
D. a =3，b =﹣2，c =3
3. 若x =1是一元二次方程x 2+ax +2b =0的一个根，则3a +6b 的值为（ ）
A. −3
B. −2
C. −1
D. 6
4. 如图是用配方法解方程
21x 2﹣x ﹣2=0的四个步骤，出现错误的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④
第4题图
5. 若关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+4x +1=0有两个不等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A. k <5
B. k <5且k ≠1
C. k ≤5且k ≠1
D. k >5
6. 若代数式3x 2﹣2x +1与﹣x 2+5x ﹣3的值互为相反数，则x 的值为（ ）
A. ﹣21或﹣2
B. 21或2
C.﹣2或21
D.﹣2
1或2 7. 虎年春晚，舞蹈诗剧《只此青绿》以北宋名画《千里江山图》为灵感创作，将中华传统之美娓娓道来.一幅如图所示的长80 cm ，高90 cm 的《千里江山图》仿品的四周加上宽度相同的边框，装裱成挂图.若仿品的面积占整个挂图面积的80%，所加边框的宽度为x cm ，则列出的方程是（ ）
A.（90+x ）（80+x ）=90×80×80%
B.（90+2x ）（80+2x ）×80%=90×80
C.（90﹣2x ）（80﹣2x ）=90×80×80%
D.（90+x ）（80+x ）×80%=90×80
第7题图
8. 已知x 1，x 2是方程x 2+3x ﹣1=0的两个根，则以x 1-1和x 2-1为根的一元二次方程是（ ）
A. x 2+5x ﹣3=0
B. x 2-5x ﹣3=0
C. x 2-5x +3=0
D. x 2+5x +3=0
9. 已知等腰三角形的三边长分别为a ，b ，4，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x +m +2=0的两根，则m 的值是（ ）
A. 34
B. 30
C. 30或34
D. 30或36
10. 将关于x 的一元二次方程x 2﹣px +q =0变形为x 2=px ﹣q ，就可以将x 2表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x 3=x •x 2=x （px ﹣q ）=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知x 2﹣x ﹣1=0，且x ＞0，则x 4﹣2x 3+3x 的值为（ ）
A. 1﹣5
B. 3﹣5
C. 1+5
D. 3+5
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 若关于x 的方程（k ﹣1）x |k |+1+6x ﹣7=0是一元二次方程，则k 的值为 ．
12. 一元二次方程x 2+x =0的两个实数根中，较大的根是_____________.
13. 已知方程x 2﹣6x +q =0可以配方成（x ﹣p ）2=7的形式，则p +q = ．
14. 下表是2022年10月的日历表，在此表上可以用一个方框圈出2×2个位置相邻的数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小的数为_______________.
第14题图 第16题图 15. 已知6a 2﹣100a +7=0，7b 2﹣100b +6=0，且ab ≠1，则b
a 的值为_______________. 16. 如图，A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB =16 cm ，AD =8 cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向点B 移动，到达点B 后停止；点Q 以2 cm/s 的速度向D 移动.当P ，Q 两点从出发开始到_______________s 时，点P 和点Q 的距离是10 cm.
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17.（每小题3分，共9分）解下列方程：
（1）x 2﹣6x ﹣3=0（配方法）； （2）（x ﹣3）（2x ﹣1）=1（公式法）； （3）2x （x ﹣3）=9﹣3x （因式分解法）.
18.（5分）已知关于x 的方程x 2﹣3x +1=0的一个根是x =a ，求代数式3a 2+2（1﹣4a ）﹣a 的值．
19.（6分）某生态果园2019年冬桃产量为80吨，2021年冬桃产量为115.2吨，若该生态果园冬桃产量的年平均增长率相同．
（1）求该生态果园冬桃产量的年平均增长率；
（2）若下一年冬桃产量的年增长率不变，请预估2022年该生态果园的冬桃产量．
20.（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（m ﹣3）x ﹣m =0．
（1）求证：方程有两个不等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x 1，x 2，且x 12+x 22﹣x 1x 2=13，求m 的值．
21.（8分）以描绘浙江山水的名画《富春山居图》为主题的创意音舞诗画《忆江南》登上央视春晚，一句“但远山长，云山乱，晓山青”再次带火了浙江富春山的旅游业.若富春山某景点的纪念品价格为85元，平均每天可销售100个，获得的销售利润为1000元，根据销售经验知道，当售价每上涨1元时，销售量减少5个．
（1）该纪念品每件的成本价为______元；
（2）若该景点每天想通过此纪念品获得1080元的利润，且尽可能让游客获得实惠，问该纪念品价格应定为多少元？
22.（8分）解方程（x -1）4-8（x -1）2+15=0.
解：设t=（x -1）2，则t 2-8t+15=0，解得t=3或t=5.
当t=3时，有（x -1）2=3，解得当t=5时，有（x -1）2=5，解得
所以原方程的根为x=1x=1认真阅读例题的解法，体会解法中蕴含的数学思想，解方程（2x+1）4-7（2x+1）2-8=0．
23. （10分）设a ，b ，c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程x 2++2c ﹣a =0有两个相等的实数根，关于x 的方程3cx +2b =2a 的根为0．
（1）求证：△ABC 为等边三角形；
（2）若a ，b 为方程x 2+mx ﹣3m =0的两根，求m 的值．
24.（12分）如图，已知A （a ，0），B （0，b ）分别是x 轴，y 轴正半轴上的点，且满足8 a +|4-b |=0，点P 从点O 开始在线段OA 上向点A 以每秒2个单位长度的速度运动；点Q 从点B 开始在线段BO 上向点O 以每秒1个单位长度的速度运动.如果P ，Q 同时出发，运动时间为t 秒.
（1）求a ，b 的值；
（2）Rt △AOB 斜边上的高h=___________；
（3）当△POQ 的面积是△AOB 面积的16
3时，求t 的值； （4）连接AQ ，试探究：△APQ 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由.
第24题图
题报第①期 一元二次方程自我评估参考答案
10. C 解析：因为x 2-x -1=0，所以x 2-x=1，x 2=1+x.所以x 4﹣2x 3+3x=x 4-x 3-x 3+3x=x 2（x 2-x ）-x （x 2-3）=x 2-x （1+x -3）
=1+x -x 2+2x=1-1+2x=2x.因为方程x 2-x -1=0，且x ＞0，解得x 1，x 2=1+.
15. 6
7 解析：因为7b 2﹣100b +6=0，所以211610070b b ⋅-⋅+=.因为6a 2﹣100a +7=0，所以a ，1b 是方程6x 2
﹣100x +7=0的两根.所以由根与系数的关系，得a b =6
7. 三、17.（1）x 1=3+23，x 2=3﹣23. （2）x 1=
4337+，x 2=4337-. （3）x 1=3，x 2=﹣23． 18. 解：因为x =a 是方程x 2﹣3x +1=0的根，所以a 2﹣3a +1=0，即a 2﹣3a =﹣1.
所以原式=3a 2+2﹣8a ﹣a =3（a 2﹣3a ）+2=-1．
19. 解：（1）设该生态果园冬桃产量的年平均增长率为x .
根据题意，得80（1+x ）2=115.2，解得x 1=20%，x 2=﹣220%（不符合题意，舍去）.
该生态果园冬桃产量的年平均增长率为20%.
（2）115.2×（1+20%）=138.24（吨）.
预计该生态果园2022年冬桃产量为138.24吨．
20.（1）证明：由题意，得Δ=[-（m ﹣3）]2﹣4×（﹣m ）=m 2﹣6m +9+4m =m 2﹣2m +1+8=（m ﹣1）2+8. 因为（m ﹣1）2≥0，所以（m ﹣1）2+8>0.所以方程有两个不等的实数根.
（2）解：由根与系数的关系，得x 1+x 2=m ﹣3，x 1x 2=﹣m .
因为x 12+x 22﹣x 1x 2=13，所以（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2=13，即（m ﹣3）2+3m =13.整理，得m 2﹣3m ﹣4=0，解得m =-1或m =4.所以m 的值为-1或4.
21. 解：（1）75
（2）设该纪念品每件的售价为（85+x ）元.
由题意，得（85+x ﹣75）（100﹣5x ）=1080.整理，得x 2﹣10x +16=0，解得x 1=8，x 2=2.
因为尽可能让游客获得实惠，所以x=2.
85+2=87（元），所以该纪念品每件的售价应定为87元．
22. 解：设t=（2x+1）2，方程变形为t 2-7t -8=0，解得t=-1或t=8.
因为（2x+1）2≥0，所以t 的值为8.
当t=8时，（2x+1）2=8，解得x 1，x 2.
综上，原方程的根为x 1=12，x 2=12
-. 23.（1）证明：因为方程x 2+2b x +2c ﹣a =0有两个相等的实数根，所以Δ=（2b ）2﹣4（2c ﹣a ）=0.所以b +a =2c .
因为方程3cx +2b =2a 的根为0，所以b =a .所以b =a =c .所以△ABC 为等边三角形.
（2）解：因为a ，b 为方程 x 2+mx ﹣3m =0的两根，由（1）知a =b ，所以m 2﹣4×（﹣3m ）=0，解得m 1=0，m 2=﹣12.因为a ，b ，c 是△ABC 的三边长，所以a >0.所以m 的值为﹣12．
24. 解：（1）a=8，b=4. （2）55
8 （3）由已知，得0≤t≤4，OP=2t ，BQ=t ，OQ=4-t. 当△POQ 的面积是△AOB 面积的
163时，得21OP•OQ=163×21OA•OB ，即21·2t （4-t ）=163×21×8×4.整理，得t 2-4t+3=0，解得t 1=1，t 2=3.
当△POQ 的面积是△AOB 面积的
163时，t 的值为1或3. （4）△APQ 能成为等腰三角形.
由（3）可得AP=8-2t.在Rt △POQ 中，PQ 2=OP 2+OQ 2=（2t ）2+（4-t ）2=5t 2-8t+16.
因为∠APQ 是△OPQ 的一个外角，所以∠APQ ＞∠POQ=90°.
若△APQ 是等腰三角形，则∠APQ 只能是顶角，此时PQ=AP.所以PQ 2=AP 2，即5t 2-8t+16=（8-2t ）2.整理，得t 2+24t -48=0，解得t 1=83-12，t 2=-83-12（舍去）.
当t=83-12时，△APQ 能成为等腰三角形.。