2018年高考数学浙江卷及答案解析

数学试卷 第1页（共14页） 数学试卷 第2页（共14页）
绝密★启用前
浙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试
数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：
若事件
A ，
B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+.
若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B =.
若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生
k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k
k n k n n P k p p k n -=-=….
台体的体积公式：121
()3
V S S h =，其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面
积，h 表示台体的高.
柱体的体积公式：V Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：1
3
V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高. 球的表面积公式：2
4S R =π，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：3
4π3
V R =
，其中R 表示球的半径. 选择题部分（共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.已知全集1,2,3,5{}4,U =，3{}1,A =，则=U
A
（ ）
A .∅
B .{1,3}
C .{2,4,5}
D .1,2,3{,4,5} 2.双曲线2
21 3
=x y -的焦点坐标是
（ ）
A
.(
， B .(2,0)-，(2,0) C
.(0,
， D .(0,2)-，(0,2)
3.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是
（ ）
A .2
B .4
C .6
D .8 4.复数
2
1i
-(i 为虚数单位)的共轭复数是
（ ）
A .1i +
B .1i -
C .1i -+
D .1i -- 5.函数||sin22x x y =的图象可能是
（ ）
A
B
C
D
6.已知平面α，直线m ，n 满足m α⊄，n a ⊂，则“m n ∥”是“m α∥”的
（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
俯视图
正视图
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
-------------
数学试卷 第3页（共14页） 数学试卷 第4页（共14页）
7.设01p <<，随机变量的分布列是
2
2
2
则当p 在(0,1)）内增大时，
（ ）
A .D ξ（）
减小
B .D ξ（）
增大 C .D ξ（）先减小后增大
D .D ξ（）
先增大后减小 8.已知四棱锥S ABCD -的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为1θ，SE 与平面ABCD 所成的角为2θ，二面角S AB C --的平面角为3θ，则
（ ）
A .123θθθ≤≤
B .321θθθ≤≤
C .132θθθ≤≤
D .231θθθ≤≤
9.已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量，若非零向量a 与e 的夹角为π
3
，向量b 满足2430b e b -+=，则||a b -的最小值是
（ ） A 1 B 1 C .2
D .2
10.已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >，则
（ ）
A .13a a <，24a a <
B .13a a >，24a a <
C .13a a <，24a a >
D .13a a >，24a a >
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

11.我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，
鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则100,
1
53100,3x y z x y z ++=⎧⎪
⎨++=⎪⎩
当81z =时，x = ，y = .
12.若x ，y 满足约束条件0,
26,2,x y x y x y -⎧⎪
+⎨⎪+⎩
≥≤≥则3z x y =+的最小值是 ，最大值
是 ．
13.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a 2b =，60A =︒，则sin B = .c = .
14.二项式8
12x ⎫⎪⎭的展开式的常数项是 .
15.已知R λ∈，函数24,),(43x x x x x x f λ
λ-⎧⎪⎨-+<⎪=⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集
是 .若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
16.从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
17.已知点()0,1P ，椭圆22
(1)4
y m m x +=>上两点A ，B 满足2AP PB =，则当
m = 时，点B 横坐标的绝对值最大.
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分14分）
已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P
34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭
. （Ⅰ）求sin(π)α+的值；
（Ⅱ）若角β满足1in(5
3
s )αβ+=
，求cos β的值.
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19．（本小题满分15分）
如图，已知多面体111ABCA B C ，1A A ，1B B ，1C C 均垂直于平面ABC ，120ABC =︒∠，
14A A =，11C C =，12AB BC B B ===.
（Ⅰ）证明：1AB ⊥平面111A B C ；
（Ⅱ）求直线1AC 与平面1ABB 所成的角的正弦值.
20.（本小题满分15分）
已知等比数列{}n a 的公比1q >，且34528a a a ++=，42a +是3a ，5a 的等差中项．数列{}n b 满足11b =，数列{(}1)n n n b b a +-的前n 项和为22n n +. （Ⅰ）求q 的值；
（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式.
21.（本小题满分15分）
如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，
B 满足PA ，PB 的中点均在
C 上．
（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
（Ⅱ）若P 是半椭圆2
2
4
1(0)y x x +=<上的动点，求PAB △面积的取值范围.
22.（本小题满分15分）
已知函数l (n )f x x .
（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()88ln2f x f x +>-； （Ⅱ）若34ln2a <-，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点.
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效---
-------------
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________
________________ _____________
数学试卷 第7页（共14页） 数学试卷 第8页（共14页）
浙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学答案解析
一、选择题 1.【答案】C
【解析】由补集概念知，把全集U 中去掉元素1，3得，2,,={}45U
A .
【考点】集合的补集运算 2.【答案】B
【解析】从双曲线的标准方程2
213
x y -=知，焦点在x 轴上，且223,61a ==，则c
222314a b =+=+=，进而焦点坐标为(2,0)±. 【考点】双曲线的标准方程和几何性质 3.【答案】C
【解析】由三视图知，该几何体为直四棱柱，且侧棱长为2，上下底面为上边为1，下边
为2，高为2的直角梯形.故(12)2
262V +⨯=⨯=
【考点】空间几何体的三视图 4.【答案】B 【解析】22(1i)1i 1i
(1i)(1i)
+=
=+--+所以21i -的共轭复数为1i -. 【考点】复数的基本概念 5.【答案】D
【解析】设||()2sin 2x f x x =，因为||||()2sin 2()2sin 2()x x f x x x f x ---=-=-=-，所以函
数()f x 为奇函数，选项A ，B 不符，当2π
3
x =时，()0f x <，则选项C 不符合，故
选D.
【考点】函数的图象和性质 6.【答案】A
【解析】如图，作SO 垂直于平面ABCD ，垂足为O ，取AB 的中点M ，连接SM ，则
23,SEO SMO θθ==∠∠，而23tan ,tan SO SO
OE OM
θθ=
=
，且EO MO ≥,故32θθ≥，根据线面所成角定义可推得，线面所成角是鞋面与平面内直线所成角中最小的角，所以选D.
9.【答案】A
【解析】由2430b e b -+=可得22441b e b e +=-，即2(2)1b e -=，即|2|1b e -=，如图，
由几何意义得，b 的终点B 在以F 为圆心，半径为1的圆上运动，a 的终点A 在射线OP 上，当点B 为点F 到OP 的垂线与圆F 的交点时，||a b -
最小，即
min π
|2sin 113
|a b -=-=
【考点】平面向量的运算及几何意义 10.【答案】B
【解析】由1234123ln()a a a a a a a +++=++结构，想到常用对数放缩公式ln 1x x -≤，
所以1234123123ln()()1a a a a a a a a a a +++=++++-≤，即41a -≤.若1q -≤，则
212341(1)(1)0
a a a a a q q +++=++≤即
123ln()0
a a a ++≤而
212311(1)1a a a a q q a ++=++>≥，故123ln()0a a a ++>，即与123ln()0a a a ++≤矛盾，所以10q -<<，所以选B
【考点】等比数列中的基本量以及对数的有关性质
数学试卷 第9页（共14页） 数学试卷 第10页（共14页）
二、填空题 11.【答案】8 11
【解析】当81z =时，得195373x y x y +=⎧⎨+=⎩
，解得8
11x y =⎧⎨=⎩.
【考点】数学文化与方程组的解法 12.【答案】2- 8
【解析】由3z x y =+得133
z
y x =-+，欲求3z x y =+的最值，即求3z x y =+的最值，
即求直线133
z
y x =-+在可行域内纵截距的最值，由图知，在点A （4，-2），B （2，
2）处分别取得最小值和最大值，即min max 43(2)22328z z =+⨯-=-=+⨯=，. 【考点】二元一次不等式表示平面区域以及线性规划等知识
13.
3
【解析】由正弦定理
得
2sin B =
，
即sin B =，由余弦定理得227222cos60c c =+-⨯︒，解得3,1c c ==-（舍）. 【考点】解三角形中的正弦定理与余弦定理 14.【答案】7
【解析】设8483
18
81122r
r
r
r r
r r T C C x x --+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，令8403r -=，得2r =，此时37T =. 【考点】二项式定理的通项公式 15.【答案】(1,4)
(1,3]
(4,)+∞
【解析】当2λ=，由()0f x <得402x x -<⎧⎨⎩≥或2430
2x x x ⎧-+<⎨<⎩
，即24x <≤或12x <<，
故不等式()0f x <的解集为（1,4）令()0f x =，得4x =或1x =或3x =，欲使得函数()f x 恰好有2个零点，则使4λ>或13λ<≤.
【考点】一元一次不等式、一元二次不等式的解法、函数零点的求法 16.【答案】1 260
【解析】分两类讨论，第一类不取0，则有224
534720C C A =，第二类，取0，则有
21145334540C C C A =2114
5334540C C C A =，一共可以组成1 260个没有重复数字的四位数.
【考点】计数原理中排列组合等知识 17.【答案】5
【解析】设点1122,),((,)A x y B x y ，当直线AB 的斜率不存在时，此时9m =；当直线AB
的斜率存在时，设直线AB 为1y kx =+，代入方程2
2(1)4
x y m m +=>可得
22(14)8440k x kx m +++-=，由
0∆>得2410mk m +->，由书达定理得
121222
844,1414k m
x x x x k k -+=-
=++，由2AP PB =得122x x =-，联立解得1222168,1414k k x x k k =-=++，所以2
28||8
||21
144||||
k x k k k ==++≤（当且仅当1||2k =时取等号），此时122216881414k k x x k k -==-++，而动12
2442214m
x x m k -==-+，解得5m =，经检验，5m =符合题意。

【考点】直线与椭圆的位置关系以及平面向量等知识 三、解答题 18.【答案】
（Ⅰ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
得4sin 5α=-，
数学试卷 第11页（共14页） 数学试卷 第12页（共14页）
所以4sin(π)sin 5
αα+=-=
. （Ⅱ）由角α的终边过点34,55P ⎛⎫
-- ⎪
⎝⎭
得3cos 5α=-， 由5
sin()13
αβ+=得12cos()13αβ+=±.
由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，
所以56cos 65β=-或16
cos 65β=-.
【考点】三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力
19.【答案】（Ⅰ）如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正
半轴，建立空间直角坐标系O-xyz .
由题意知各点坐标如下：
111(0,
3,0),(1,0,0),(0,3,4),(1,0,2),A B A B C --
因此11111(1,3,2),(1,3,2),(0,23),AB A B A C ==-=- 由1110AB A B =得111AB A B ⊥. 由1110AB A C =得111AB A C ⊥. 所以1AB ⊥平面111A B C .
（Ⅱ）设直线1AC 与平面1ABB 所成的角为θ.
由（Ⅰ）可知11
(0,23,1),(1,3,0),(0,0,2),AC AB BB === 设平面1ABB 的法向量(
,,)x y z =n .
由10,0,AB BB ⎧⋅=
⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20,x z ⎧+=⎪
⎨=⎪
⎩可取(=n .
所以111|sin |cos ,|13
|||AC AC AC θ⋅==
=
⋅n |n n |
. 因此，直线1AC 与平面1ABB . 【考点】空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识 20.【答案】（Ⅰ）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.
由3520a a +=得18()20q q
+=，
因为1q >，所以2q =.
（Ⅱ）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .
由11,1,, 2.n n
n S n c S S n -=⎧=⎨-⎩≥解得41n c n =-.
由（Ⅰ）可知12n n a -=，
所以111
(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，
故211
(45)(),22
n n n b b n n ---=-⋅≥，
11123221()()()()
n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-
23111
(45)()(49)()73222
n n n n --=-⋅+-⋅+++.
设22111
3711()(45)(),2
222
n n T n n -=+⋅+⋅++-≥，
2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-+- 所以22111111
344()4()(45)()22222
n n n T n --=+⋅+⋅++--，
因此21
14(43)(),22
n n T n n -=-+≥，
又11b =，所以21
15(43)()2
n n b n -=
-+⋅.
【考点】等差数列、等比数列、数列求和等基础知识
21.【答案】（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2
221(,)4
B y y ．
因为PA ，PB 的中点在抛物线上，
数学试卷 第13页（共14页） 数学试卷 第14页（共14页）
442
y x +即02,
y 12|||y y -=2
004x x =--15102,4【考点】椭圆、抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识。