高中数学北师大版必修1课件第三章指数函数和对数函数_6

2
3
4
5
6
4现有一组实验数据如下:
t
1.99
3.00
V 1.5
4.04
4.00
7.5
5.10
12
6.12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中
最接近的是(
)
A.V=log2t
B.V=log 1 t
C.V=
2
2 -1
D.V=2t-2
2
解析:当 t=4 时,选项 A 中 V=log24=2,错误;
点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.
(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图像,判断f(8),g(8),f(2 016),g(2 016)的大小.
分析:(1)根据函数图像特征判断;(2)根据函数值和单调性比较.
题型一
题型二
题型三
解:(1)曲线C1对应的函数为g(x)=x3,曲线C2对应的函数为f(x)=2x.
像如图.根据图中提供的信息,回答问题:
(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(单位:mg)与时间
t(单位:h)之间的关系式为
;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降到0.25 mg以下时,学生才
可进入教室,那么从药物释放开始至少经过
后,
学生才能回到教室.
1
2
3
4
5
6
1
10
解析:(1)设 0≤t≤ 时,y=kt,
由图像知,当xห้องสมุดไป่ตู้<x<x2时,f(x)<g(x),则f(8)<g(8),
当x>x2时,f(x)>g(x),且g(x)在(0,+∞)上是增加的,
故f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8).
反思根据函数图像写解析式,可利用列表、描点、连线的程序完
成,也可以通过图像变换画出图像.若点在同一函数图像上,则根据
对数函数y=log2x,当x由x1=1增加到x2=3时,x2-x1=2,而y2-y1=log23log21≈1.585.
由此可知,在区间[1,+∞)上,指数函数y=2x随着x的增长函数值的
增长速度快,而对数函数y=log2x的增长速度缓慢.
题型一
题型二
题型三
反思在同一平面直角坐标系内作出函数y=2x和y=log2x的图像,从
选项 B 中 V=log 1 4=-2,错误;
2
选项 C 中
42 -1
V=
=7.5,正确;
2
选项 D 中 V=2×4=8,错误.
答案:C
1
2
3
4
5
6
5为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释
放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(单位:mg)与时间t(单位:h)
1 -
成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系为 y= 16 (a为常数),其图
图像上可观察出函数的增减变化情况.如图:
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动,
假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是
1
2
f1(x)=x , f2(x)= 2 ,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果运动时间足够长,那么运
动在最前面的物体一定是(
行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,
但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖
励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型符合该公司要求?
解:借助计算器或计算机作出函数
y=5,y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x在第一象限的图像,如图:
数.
1
2
3
4
5
6
1当a>1时,有下列结论:
①指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;
②指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;
③对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;
④对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.
其中正确的结论是(
)
A.①③ B.①④C.②③
(2)因为g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,f(9)=512,g(9)=729,f(10)=1
024,g(10)=1 000.
所以f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10).
因此1<x1<2,9<x2<10,从而x1<8<x2<2 016.
y=ax2(a为常数,a≠0)来描述,在限速为100 km/h的高速公路上,此车
在速度为50 km/h时,刹车距离为10 m,则此车刹车距离为多少米时,
交通部门可以判定此车超速?
1
;交通部门判定此车超速的依据是
250
1
此车车速超过 100 km/h 的限速,因为函数 y= x2 在 x>0 时是增加
解析:方法一:在同一平面直角坐标系中画出函数y=log2x,y=x2,y=2x,
在区间(2,4)上从上往下依次是y=x2,y=2x,y=log2x的图像,所以当
2<x<4时,x2>2x>log2x.
方法二:比较三个函数值的大小,作为选择题,可以采用特殊值代
入法.可取x=3,经检验知选B.
答案:B
1
250
1
的,所以可以把 x=100(km/h)代入确定的解析式 y= x2,求得
250
1
y= ×1002=40(m).
250
解:由题意,得 10=502a,解得 a=
故当刹车距离超过 40 m 时,可以判定此车超速.
(
)
A.y=2x
B.y=x10
C.y=lg x
D.y=10x2
答案:A
【做一做2】 当x>0,n>1时,幂函数y=xn是
函数,并
且当x>1时,n越大其函数值的增长就
.
答案:增 越快
题型一
题型二
题型三
题型一 指数函数、对数函数、幂函数的图像
【例1】 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图.设两函数的图像交于
单调性来判断;若点分别在两个函数图像上,则根据图像的上下位
置关系判断.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知f1(x)=ax,f2(x)=xa,f3(x)=logax(a>0且a≠1).在同
一坐标系中画出其中两个函数在第一象限的图像,正确的是(
)
解析:由于f1(x)=ax,
所以f1(0)=1,由于f3(x)=logax,
§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比
较
1.巩固幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质.
2.通过比较幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢,了解这三
种函数增速的差别.
3.体会数形结合思想在研究函数中的应用.
三种增长函数模型的比较
在区间(0,+∞)上,尽管y=ax(a>1),y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)都
是增函数,但它们增长的速度不同,而且不在一个“档次”上,随着x的
增大,y=ax(a>1)的增长速度会越来越快,会超过并远远大于
y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)的增长速度.由于指数函数值增长非
常快,人们常称这种现象为“指数爆炸”.
【做一做1】 当x(x>0)增大时,下列函数中,增长速度最快的是
)
A.a B.b
C.c D.d
解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是变化最快的函数.当
运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数关系运动的
物体.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型三 函数的增长差异在实际中的应用
【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激
励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进
这说明,按模型y=log7x+1进行奖励,奖金不超过利润的25%.
综上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.
反思从这个例题可以看到,底数大于1的指数函数模型比一次项
系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多,而后者又比真数大
于1的对数函数模型增长速度要快,从而我们可以体会到对数增长、
直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义.
题型一
题型二
题型三
观察图像发现,在区间[10,1 000]上,模型y=0.25x,y=1.002x的图像
都有一部分在y=5的上方,这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励才
符合公司要求,下面通过计算确认上述判断.
首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x,它在区间[10,1 000]上是增加的,当x∈(20,1 000]
若模拟函数为y=p·qx+r,
· + = 1,
由已知得, · 2 + = 1.2,
· 3 + = 1.3,
= -0.8,
解得 = 0.5,
= 1.4,
则有y=-0.8×0.5x+1.4,因此,当x=4时,y=1.35.
因为1.35比1.3更接近1.36,所以应将y=-0.8×0.5x+1.4作为模拟函
时,y>5,因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x
在(-∞,+∞)上是增函数,故当x∈(806,1 000]时,y>5,因此,也不符合题
意.
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上是增加的,且当x=1 000
时,y=log71 000+1≈4.55<5,所以它符合奖金总数不超过5万元的要
求.
题型一
题型二
题型三
再计算按模型y=log7x+1奖励时,奖金是否超过利润x的25%,即当
x∈[10,1 000]时,利用计算器或计算机作出f(x)=log7x+1-0.25x的图
像(图略),由图像可知f(x)在[10,1 000]上是减少的,因此f(x)<f(10)≈0.316 7<0,即log7x+1<0.25x.所以当x∈[10,1 000]时,y<0.25x.
, >
1
,
10
1
10
1
10
a= ,
1
2
3
4
5
6
6汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车制动后,还要继续向前滑行一段
距离才能停住,我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通
事故的一个重要因素.在一个限速为100 km/h的高速公路上,一辆汽
车的刹车距离y(单位:m)与刹车速度x(单位:km/h)的关系可用模型
哪个函数作为模拟函数较好?并说明理由.
解:若模拟函数为y=ax2+bx+c,
+ + = 1,
由已知得, 4 + 2 + = 1.2,
9 + 3 + = 1.3,
= -0.05,
解得 = 0.35,
= 0.7,
题型一
题型二
题型三
则有y=-0.05x2+0.35x+0.7,因此,当x=4时,y=1.3.
故f3(1)=0,由于f2(x)=xa,
所以f2(1)=1,且f2(0)=0,
从而A,C,D均不正确,B正确.
答案:B
题型一
题型二
题型三
题型二 比较函数增长的差异
【例2】 分析指数函数y=2x与对数函数y=log2x在区间[1,+∞)上
的增长情况.
解:指数函数y=2x,当x由x1=1增加到x2=3时,x2-x1=2,y2-y1=23-21=6;
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 某服装厂某年1月份、2月份、3月份分别生产某
名牌衣服1万件、1.2万件、1.3万件,为了估测当年每个月的产量,
以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模型模拟该产品的月产
量y与月份x的关系,模拟函数可选用y=p·qx+r(其中p,q,r为常数)或
二次函数,又已知当年4月份该产品的产量为1.36万件,请问用以上
将(0.1,1)代入得 k=10,
1 -
又将(0.1,1)代入 y=
中,得
16
1
10,0 ≤ ≤ ,
10
∴y=
1
1 -10
16
(2)令
1
16
-
1
10
, >
1
.
10
≤0.25,得 t≥0.6,
∴t 的最小值为 0.6.
10,0 ≤ ≤
答案:(1)y=
(2)0.6 h
1
16
1
10
-
D.②④
答案:B
1
2
3
4
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6
2下列所给函数,增长速度最快的是(
A.y=5x B.y=x5 C.y=log5x D.y=5x
答案:D
)
1
2
3
4
5
6
3当2<x<4时,2x,x2,log2x的大小关系是(
)
A.2x>x2>log2x
B.x2>2x>log2x
C.2x>log2x>x2
D.x2>log2x>2x