高考模拟练习——河南省大联考2022届高三第三次模拟考试数学(文)试题(含答案解析)
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A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．曲线 在点A处的切线方程为 ，则切点A的坐标为______．
14．抛物线C： 的焦点为F，点 为C上一点，p为从区间 内任意选取的一个实数，则 的概率为______．
15．在正方体 中，点E为线段 上的动点，现有下面四个命题：
A． B． C． D．
2．设 ，若 与 的虚部相等，则 （）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 （）
A．﹣6B．﹣4C．2D．4
4．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）
【分析】
（1）连接EF，BD， ，易得 ，再由 ，得到 证明；．
（2）由直线BE和DF相交，延长BE，DF，设它们相交于点P，然后再论证 平面 ， 平面 即可.
(1)
如图，
连接EF，BD， ．
∵EF是 的中位线，
∴ ．
∵ 与 平行且相等，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴E，F，D，B四点共面．
这五个社团的总人数为 ， ．A错误，C错误．
因为太极拳社团人数的占比为 ，所以脱口秀社团人数的占比为
，B错误．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为 ，D正确．
故选：D．
5．A
【解析】
【分析】
依据未知角向已知角去转化，再利用两角和的正切公式展开即可求解.
【详解】
．
故选：A.
6．A
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)若A是曲线C上一动点，B是线段 上一动点，且直线AB与x轴垂直．求 的最大值．
23．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集．
(2)证明：当 时， ．
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
求出集合 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】
因为 ，所以 ．
故选：B.
2．D
【解析】
12．B
【解析】
【分析】
结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出 ，进而利用勾股定理即可得到 ，从而可求出结果.
【详解】
由题意知延长 则必过点 ,如图：
由双曲线的定义知 ，
又因为 ， ，所以 ，设 ，则 ，因此 ，从而 ，所以 ，又因为 ，所以 ，即 ，即 ，
故选：B.
13．
【解析】
【分析】
令 求出 ，分别代入 、 再令其相等可得答案.
A． B． C． D．
7．已知直线 与圆 相交于A，B两点，且 ，则 （）
A． B． C． D．
8．若x，y满足约束条件 则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
9．若 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
10．若直线 是曲线 的一条对称轴，且函数 在区间 上不单调，则 的最小值为（）
A．9B．15C．21D．33
【详解】
解：圆 的圆心为 ，半径 ，因为直线 与圆相交于 、 两点，且 ，
所以圆心到直线的距离 ，即 ，解得 （舍去）或 ；
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
根据约束条件作出可行域，根据目标函数 中 的意义是截距，结合图象找出最优解，从而求出 的取值范围.
【详解】
依题意x，y满足约束条件 作出可行域，如图：
故答案为：①③
16．
【解析】
【分析】
由余弦定理求出 ，即可求出 ，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】
解：由余弦定理得
，
所以 ．由余弦定理得 ，
则 ，故 ．Biblioteka Baidu
故答案为： ；
17．(1)10.05
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据中位数对应的频率在0.5处即可得结果；
（2）求出这批产品中一等品的频率即可得这批产品的总数量.
11．已知 为定义在R上的奇函数， ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
12．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，从 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 ， ，则E的离心率为（）
河南省大联考2022届高三第三次模拟考试数学（文）试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
目标函数 在 处取得最小值，无最大值，
解得： 即：
的最小值为：
的取值范围为： .
故选：A.
9．A
【解析】
【分析】
利用对数和对数函的性质进行化简后比较.
【详解】
解：
故
故选：A
10．C
【解析】
【分析】
先由 在区间 上不单调，求出 ；由直线 是曲线 的一条对称轴，求出 ，即可得到 的最小值.
【详解】
当 时，因为 ，所以 ，又 在区间 上不单调，所以 ，即 ．
(2)
∵ ，且 ，
∴直线BE和DF相交．
延长BE，DF，设它们相交于点P，
∵ 直线BE，直线 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 直线DF，直线 平面 ，
∴ 平面 ，
∵平面 平面 ，
∴ ，
∴BE，DF， 三线共点．
19．(1) ；证明见解析.
(2)
【解析】
【分析】
（1）选①②，结合题意证明数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，进而求解；
选：②③，先根据题意得 ，进而证明数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，再求解即可；
选：①③，结合题意证明数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，进而在求解即可.
（2）结合（1）得 ，再根据等比数列的求和公式求解即可.
(1)
解：选①②，因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以，数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，
对于二次函数 ， ．
当 时， ， 恒成立，f(x)在 单调递减， 有0个极值点；
当 时，二次函数 有2个大于零的零点，由数形结合可知， 有2个极值点；
当 时，二次函数 只有1个大于零的零点，由数形结合可知， 有1个极值点．
(2)
要证 ，即证 ．
设 ，则 ，
【解析】
【分析】
由水上升的体积得圆锥体积，然后求得圆锥的高、母线得侧面积．
【详解】
依题意可得圆锥的体积 ，
又 （其中h为圆锥的高），则 cm，
则圆锥的母线长为 cm，故圆锥的侧面积为 ．
故选：A．
7．B
【解析】
【分析】
首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离及垂径定理、勾股定理得到方程，解得即可；
【详解】
易证 平面 ， 平面 ，所以恒有 ，直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题．点E到直线AB的距离与点E到直线 的距离有关，所以②是假命题．因为 ，由线面平行的判定定理可得 平面 ，故点E到平面 的距离d为定值，则 为定值，所以③是真命题． 平面 ， 在 上变化，例如点E在 处和在 的中点处时，三棱锥 的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．
(1)
因为 ， ，
所以这批产品该质量指标的中位数在 内．
设这批产品该质量指标的中位数为x，则 ，
解得 ，即估计这批产品该质量指标的中位数为10.05．
(2)
由图可知样本中一等品的频率的为 ，
则这批产品中一等品的频率约为0.54．
故这批产品的总数量约为 ．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
所以 ，即
所以，当 时， ，
当 时， ，显然满足 ，
所以 ， .
选：②③，因为 ， ，
所以 ，解得 ，故 .
因为 ，
所以 ，即 ，
所以，整理得 ，
所以数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，
所以 .
选：①③，因为 ， ，
所以 ，
所以，两式作差得 ，即 ，
所以数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，
所以 ， ，
【分析】
由题意得出 的值后计算
【详解】
依题意可得 ，则 ．
故选：D
3．A
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】
因为向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，
所以 ，
故选：A
4．D
【解析】
【分析】
根据饼状图及有关数据得各个社团比例，计算人数及相应概率判断各选项．
【详解】
评卷人
得分
四、解答题
17．某工厂为了检验一批产品的质量，从这批产品中随机抽取100件，检测某一质量指标（单位：厘米）．根据检查结果．将其分成 ， ， ， ， ， 这6组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这批产品该质量指标的中位数；
(2)已知质量指标在 内的产品为一等品，若这批产品中有1080件一等品，估计这批产品的总数量．
所以 ，
所以 .
(2)
解：由（1）得 ，故 ，
所以数列 的前 项和 满足：
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆上、下焦点和左、右顶点的定义，结合正方形的面积进行求解即可；
(2)根据平行线的性质、椭圆的定义，结合直线方程与椭圆方程联立，求出M，N的坐标，利用两点间距离公式列方程，即可得直线 的斜率.
因为直线 是曲线 的一条对称轴，所以 ，即 ，故 的最小值为21．
故选：C
11．D
【解析】
【分析】
首先判断出 的对称性，求得 的解集，从而求得 的解集.
【详解】
因为 为定义在R上的奇函数，所以 的图象关于点 对称，
且 ，又 ，所以 ．
依题意可得，当 或 时， ．
所以 等价于 或 ，
解得 或 ．
故选：D
(1)
因为四边形 为正方形，所以 ，
又四边形 的面积 ，
所以 ，则 ，故C的标准方程为 ．
(2)
由（1）得 ， ．
设 ， ，由题意可知， ， ，
设直线 的斜率为k，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．
联立 得 ，
．
因为 ，所以 ， ，
同理得 ， ．
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ．
21．(1)答案见解析；
(2)证明见解析﹒
【解析】
【分析】
(1)求f(x)的导数，通分化简导数，根据a的范围讨论导数在x＞0时的正负，由此判断f(x)的单调性，根据单调性即可判断f(x)的极值点个数；
(2)化简不等式 为 ，令 ，求h(x)的导数 ，讨论 的单调性和正负，判断h(x)的最小值大于0即可．
(1)
由题意可知 ， ，
【详解】
由 ，得 ，因为 ，所以 ，
则切点A的横坐标为－1，所以 ，
解得 ，所以A的坐标为 ．
故答案为： .
14．
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义求出 的范围，进而利用几何概型求解即可
【详解】
由抛物线的定义可知 ，即 ，
故由几何概型可知所求概率为 ．
故答案为：
15．①③
【解析】
【分析】
由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过 到 的距离来计算 到 的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象 在不同位置时外接球的半径的变化，判断④．
注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分.
20．已知椭圆C： 的上、下焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，且四边形 是面积为8的正方形．
(1)求C的标准方程；
(2)M，N为C上且在y轴右侧的两点， ，若 ，求直线 的斜率．
21．已知函数 ．
(1)讨论 极值点的个数；
(2)证明： ．
22．在直角坐标系 中．曲线C的方程为 ．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25%
C．这五个社团总人数占该校学生人数的8%
D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%
5．若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
6．如图，一个底面边长为 cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）
①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；
③三棱锥 的体积为定值；④三棱锥 外接球的体积为定值．
其中所有真命题的序号是______．
评卷人
得分
三、双空题
16．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距200km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成 角的方向飞行，飞行到C地，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行 到达终点，则A，C两地之间的距离为______km， ______．
18．如图，在长方体 中，E，F分别是 和 的中点．
(1)证明：E，F，D，B四点共面．
(2)证明：BE，DF， 三线共点．
19．已知数列 的前n项和为 .
(1)从① ，② ，③ 这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求 的通项公式；
(2)在第（1）问的前提下，若 ，求数列 的前 项和 .
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．曲线 在点A处的切线方程为 ，则切点A的坐标为______．
14．抛物线C： 的焦点为F，点 为C上一点，p为从区间 内任意选取的一个实数，则 的概率为______．
15．在正方体 中，点E为线段 上的动点，现有下面四个命题：
A． B． C． D．
2．设 ，若 与 的虚部相等，则 （）
A． B． C． D．
3．已知向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则 （）
A．﹣6B．﹣4C．2D．4
4．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（）
【分析】
（1）连接EF，BD， ，易得 ，再由 ，得到 证明；．
（2）由直线BE和DF相交，延长BE，DF，设它们相交于点P，然后再论证 平面 ， 平面 即可.
(1)
如图，
连接EF，BD， ．
∵EF是 的中位线，
∴ ．
∵ 与 平行且相等，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴E，F，D，B四点共面．
这五个社团的总人数为 ， ．A错误，C错误．
因为太极拳社团人数的占比为 ，所以脱口秀社团人数的占比为
，B错误．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为 ，D正确．
故选：D．
5．A
【解析】
【分析】
依据未知角向已知角去转化，再利用两角和的正切公式展开即可求解.
【详解】
．
故选：A.
6．A
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)若A是曲线C上一动点，B是线段 上一动点，且直线AB与x轴垂直．求 的最大值．
23．已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集．
(2)证明：当 时， ．
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
求出集合 ，利用交集的定义可求得集合 .
【详解】
因为 ，所以 ．
故选：B.
2．D
【解析】
12．B
【解析】
【分析】
结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出 ，进而利用勾股定理即可得到 ，从而可求出结果.
【详解】
由题意知延长 则必过点 ,如图：
由双曲线的定义知 ，
又因为 ， ，所以 ，设 ，则 ，因此 ，从而 ，所以 ，又因为 ，所以 ，即 ，即 ，
故选：B.
13．
【解析】
【分析】
令 求出 ，分别代入 、 再令其相等可得答案.
A． B． C． D．
7．已知直线 与圆 相交于A，B两点，且 ，则 （）
A． B． C． D．
8．若x，y满足约束条件 则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
9．若 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
10．若直线 是曲线 的一条对称轴，且函数 在区间 上不单调，则 的最小值为（）
A．9B．15C．21D．33
【详解】
解：圆 的圆心为 ，半径 ，因为直线 与圆相交于 、 两点，且 ，
所以圆心到直线的距离 ，即 ，解得 （舍去）或 ；
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
根据约束条件作出可行域，根据目标函数 中 的意义是截距，结合图象找出最优解，从而求出 的取值范围.
【详解】
依题意x，y满足约束条件 作出可行域，如图：
故答案为：①③
16．
【解析】
【分析】
由余弦定理求出 ，即可求出 ，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
【详解】
解：由余弦定理得
，
所以 ．由余弦定理得 ，
则 ，故 ．Biblioteka Baidu
故答案为： ；
17．(1)10.05
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据中位数对应的频率在0.5处即可得结果；
（2）求出这批产品中一等品的频率即可得这批产品的总数量.
11．已知 为定义在R上的奇函数， ，且 在 上单调递增，在 上单调递减，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
12．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线 的左､右焦点分别为 ， ，从 发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且 ， ，则E的离心率为（）
河南省大联考2022届高三第三次模拟考试数学（文）试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
目标函数 在 处取得最小值，无最大值，
解得： 即：
的最小值为：
的取值范围为： .
故选：A.
9．A
【解析】
【分析】
利用对数和对数函的性质进行化简后比较.
【详解】
解：
故
故选：A
10．C
【解析】
【分析】
先由 在区间 上不单调，求出 ；由直线 是曲线 的一条对称轴，求出 ，即可得到 的最小值.
【详解】
当 时，因为 ，所以 ，又 在区间 上不单调，所以 ，即 ．
(2)
∵ ，且 ，
∴直线BE和DF相交．
延长BE，DF，设它们相交于点P，
∵ 直线BE，直线 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 直线DF，直线 平面 ，
∴ 平面 ，
∵平面 平面 ，
∴ ，
∴BE，DF， 三线共点．
19．(1) ；证明见解析.
(2)
【解析】
【分析】
（1）选①②，结合题意证明数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，进而求解；
选：②③，先根据题意得 ，进而证明数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，再求解即可；
选：①③，结合题意证明数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，进而在求解即可.
（2）结合（1）得 ，再根据等比数列的求和公式求解即可.
(1)
解：选①②，因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以，数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，
对于二次函数 ， ．
当 时， ， 恒成立，f(x)在 单调递减， 有0个极值点；
当 时，二次函数 有2个大于零的零点，由数形结合可知， 有2个极值点；
当 时，二次函数 只有1个大于零的零点，由数形结合可知， 有1个极值点．
(2)
要证 ，即证 ．
设 ，则 ，
【解析】
【分析】
由水上升的体积得圆锥体积，然后求得圆锥的高、母线得侧面积．
【详解】
依题意可得圆锥的体积 ，
又 （其中h为圆锥的高），则 cm，
则圆锥的母线长为 cm，故圆锥的侧面积为 ．
故选：A．
7．B
【解析】
【分析】
首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离及垂径定理、勾股定理得到方程，解得即可；
【详解】
易证 平面 ， 平面 ，所以恒有 ，直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题．点E到直线AB的距离与点E到直线 的距离有关，所以②是假命题．因为 ，由线面平行的判定定理可得 平面 ，故点E到平面 的距离d为定值，则 为定值，所以③是真命题． 平面 ， 在 上变化，例如点E在 处和在 的中点处时，三棱锥 的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．
(1)
因为 ， ，
所以这批产品该质量指标的中位数在 内．
设这批产品该质量指标的中位数为x，则 ，
解得 ，即估计这批产品该质量指标的中位数为10.05．
(2)
由图可知样本中一等品的频率的为 ，
则这批产品中一等品的频率约为0.54．
故这批产品的总数量约为 ．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
所以 ，即
所以，当 时， ，
当 时， ，显然满足 ，
所以 ， .
选：②③，因为 ， ，
所以 ，解得 ，故 .
因为 ，
所以 ，即 ，
所以，整理得 ，
所以数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，
所以 .
选：①③，因为 ， ，
所以 ，
所以，两式作差得 ，即 ，
所以数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，
所以 ， ，
【分析】
由题意得出 的值后计算
【详解】
依题意可得 ，则 ．
故选：D
3．A
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】
因为向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，
所以 ，
故选：A
4．D
【解析】
【分析】
根据饼状图及有关数据得各个社团比例，计算人数及相应概率判断各选项．
【详解】
评卷人
得分
四、解答题
17．某工厂为了检验一批产品的质量，从这批产品中随机抽取100件，检测某一质量指标（单位：厘米）．根据检查结果．将其分成 ， ， ， ， ， 这6组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这批产品该质量指标的中位数；
(2)已知质量指标在 内的产品为一等品，若这批产品中有1080件一等品，估计这批产品的总数量．
所以 ，
所以 .
(2)
解：由（1）得 ，故 ，
所以数列 的前 项和 满足：
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆上、下焦点和左、右顶点的定义，结合正方形的面积进行求解即可；
(2)根据平行线的性质、椭圆的定义，结合直线方程与椭圆方程联立，求出M，N的坐标，利用两点间距离公式列方程，即可得直线 的斜率.
因为直线 是曲线 的一条对称轴，所以 ，即 ，故 的最小值为21．
故选：C
11．D
【解析】
【分析】
首先判断出 的对称性，求得 的解集，从而求得 的解集.
【详解】
因为 为定义在R上的奇函数，所以 的图象关于点 对称，
且 ，又 ，所以 ．
依题意可得，当 或 时， ．
所以 等价于 或 ，
解得 或 ．
故选：D
(1)
因为四边形 为正方形，所以 ，
又四边形 的面积 ，
所以 ，则 ，故C的标准方程为 ．
(2)
由（1）得 ， ．
设 ， ，由题意可知， ， ，
设直线 的斜率为k，则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．
联立 得 ，
．
因为 ，所以 ， ，
同理得 ， ．
所以 ，
因为 ，所以 ，解得 ．
21．(1)答案见解析；
(2)证明见解析﹒
【解析】
【分析】
(1)求f(x)的导数，通分化简导数，根据a的范围讨论导数在x＞0时的正负，由此判断f(x)的单调性，根据单调性即可判断f(x)的极值点个数；
(2)化简不等式 为 ，令 ，求h(x)的导数 ，讨论 的单调性和正负，判断h(x)的最小值大于0即可．
(1)
由题意可知 ， ，
【详解】
由 ，得 ，因为 ，所以 ，
则切点A的横坐标为－1，所以 ，
解得 ，所以A的坐标为 ．
故答案为： .
14．
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义求出 的范围，进而利用几何概型求解即可
【详解】
由抛物线的定义可知 ，即 ，
故由几何概型可知所求概率为 ．
故答案为：
15．①③
【解析】
【分析】
由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过 到 的距离来计算 到 的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象 在不同位置时外接球的半径的变化，判断④．
注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分.
20．已知椭圆C： 的上、下焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，且四边形 是面积为8的正方形．
(1)求C的标准方程；
(2)M，N为C上且在y轴右侧的两点， ，若 ，求直线 的斜率．
21．已知函数 ．
(1)讨论 极值点的个数；
(2)证明： ．
22．在直角坐标系 中．曲线C的方程为 ．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25%
C．这五个社团总人数占该校学生人数的8%
D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%
5．若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
6．如图，一个底面边长为 cm的正四棱柱形状的容器内装有部分水，现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入容器，圆锥放入后完全沉入水中，并使得水面上升了1cm．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（）
①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；
③三棱锥 的体积为定值；④三棱锥 外接球的体积为定值．
其中所有真命题的序号是______．
评卷人
得分
三、双空题
16．如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距200km．飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成 角的方向飞行，飞行到C地，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行 到达终点，则A，C两地之间的距离为______km， ______．
18．如图，在长方体 中，E，F分别是 和 的中点．
(1)证明：E，F，D，B四点共面．
(2)证明：BE，DF， 三线共点．
19．已知数列 的前n项和为 .
(1)从① ，② ，③ 这三个条件中任选两个作为条件，证明另一个成立，并求 的通项公式；
(2)在第（1）问的前提下，若 ，求数列 的前 项和 .