广东省广州市海珠区2014年中考一模数学试题

2013-2014学年下学期海珠区九年级综合练习（一模）
数学卷
本试卷分为选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分. 考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 4的算术平方根是（ ）
A. 2
B. －2
C. ±2
D. 4
2. 众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50， 20，50，30，50，30，120．这组数据的众数和中位数分别是（ ） A.120，50 B. 50，50
C.50，30
D. 50，20
3. 在平面直角坐标系中，将点P （-2,3）沿x 轴方向向右平移3个单位得到点Q ，则点Q 的坐标是（ ） A.(-2,6) B.(-2,0) C. (1,3) D. (-5,3)
4.已知ABC ∆与'''A B C ∆关于直线l 对称，则∠B 的度数（ ）
A. 30°
B. 50°
C. 100°
D. 90°
5. 下列命题中，是真命题的为（ ）
A.等边三角形都相似
B.直角三角形都相似
C.等腰三角形都相似
D.锐角三角形都相似 6.下列计算正确的是（ ）
A. 222()m n m n -=-
B. 22
1
(0)m m m -=
≠ C.22(2)(2)2m n m n m n +-=- D. 224()m n mn =g
7. 长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（ ）
30°
50°
l
B'
C'
A'
B
A ．52
B ．32
C ．24
D ．9
主视图 俯视图
8.已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列说法错误的是：( )
A ．图象关于直线x =1对称
B ．函数()20y ax bx c a =++≠的最小值是-4
C ．-1和3是方程()200ax bx c a ++=≠的两个根
D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而增大 9. 如图，1∠的正切值等于( ) A. 2 B. 1 C. 12 D. 1
3
10.反比例函数a b
y x
+=
图像上一点(1,1)P m m -+ ，且有21415a b a b +=-++-，则关于x 的方程210x mx ++= 的根的情况为（ ）
A. 有两个不等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根
D. 无法判断
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为2s 甲＝3.6，2s 乙＝15.8，则 种小麦的长势比较整齐．
12. 计算：sin30︒＝ ，（－3a 2）2＝ ，()2
5-＝
4
2
3
4
-4
1
-1O
y
x
13. 方程
12
1x x
=-的解是 . 14. 已知扇形的半径为6cm ，圆心角的度数为120°，则此扇形的弧长为 cm.
15. 如图在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，034A OB D ==，，为OB 的中点，若E 为边OA 上的一个动点，当CDE ∆的周长最小时，则点E 的坐标为 .
16. 王宇用火柴棒摆成如图所示的三个“中”字形图案，依次规律，第n 个“中”字形图案需要 根火柴棒.
三、解答题102分，解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．）
17. 解不等式组：312(1)
312
x x x ->+⎧⎪
⎨-≤⎪⎩，并在数轴上表示出其解集.
18. 如图，四边形
ABCD
中，
//,AB CD ABC CDA ∠=∠ ，求证：四边形
ABCD 为平行四边形.
19. 已知,a b 是方程2
530x x -+=的两根，（1）
求a b +和ab 的值. （2）求
()()
a b
b a b a a b ---的值. 20. 端午节前，爸爸先去超市买了大小，质量都相同的咸肉粽和碱水粽若干，碱水粽是咸肉粽的2倍；妈妈发现咸肉粽偏少，于是妈妈又去买了同样的3只咸肉粽和1只碱水粽，此时碱水粽和咸肉粽的数量相等。

（1）请计算出第一次爸爸买的咸肉粽和碱水粽各有多少只；
A
B
C
O C
A
y x
B D E
（2）若妈妈取出2只咸肉粽，3只碱水粽送爷爷和奶奶后，然后把剩余的粽子放进一个不透明的盒子。

小明从盒中任取2只，问恰好是咸肉粽，碱水粽各1只的概率是多少？（可以用字母和数字代替咸肉粽和碱水粽的文字）.
21. 如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A 处测得塔尖D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进73.2米到达山脚B 处，测得塔尖D 的仰角为60°，山坡BE 的坡度i=1：，求塔高．（精确到0.1
3 1.732≈）
22. 如图圆O 内接三角形ABC ∆.把ABC ∆以点O 为旋转
中心，顺时针方向旋转BOA ∠的度数得到EAF ∆. （1） 利用尺规作出EAF ∆（要求保留作图痕迹，不
写作法）
（2） 连接CE ，设EF 与AC ，BC 分别交于点K 23. 如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 左侧）与y 轴交于点()0,3C -，对称轴是直线1x =轴交于点D ，点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点（点P 在第三象限） （1）求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式；
（2）当CDE ∆是直角三角形，且90CDE ∠=o 时，求出点P 的坐标； （3）当PBC ∆ 的面积为
21
8
时，求点E 的坐标. 24. 如图，,1012ABC AB AC BC ∆===， ，点D 在边
BC ，且4BD =，以点D 为顶点作EDF B ∠=∠，分别
交边AB 于点E ，交射线CA 于点F
O
A
B C
F
A E
D
P A C B
O E x
y
D
E
（1） 设 AE x CF y ==， ，求y 关于x 的函数解析式；
（2） 若以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C ，以点A 为圆心AE 长为半径的⊙
A ，当两圆相切时，求BE 的长；
（3） 当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 直，请说明理由.
25.已知抛物线2111:14
C y x x =-+，点(2,1)F . （1） 求抛物线1C 的顶点坐标；
（2）○1若抛物线1C 与y 轴的交点为A ，连接AF ，
并延长交抛物线1C 于点B ，求证：111AF BF
+=；
○2抛物线1C 上任意一点(,)(02)p p p P x y x <<，连
接PF ,并延长交抛物线1C 于点(,)Q Q Q x y ，11
PF QF
+为常数，请说明理由； （3） 将抛物线1C 作适当的平移得到抛物线21
:(),C y x h =-若1x m <≤时，
2y x ≤恒成立，求m 的最大值.
2013学年下学期海珠区九年级综合练习数学卷
参考答案
一、 选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B
C
C
A
B
C
D
D
A
二、 填空题
11． 甲 12．1
2
，49a ，5 13．x=2 14．4π 15．(1,0) 16．6n+3 三．解答题
17．（本题满分10分）解：312(1)3
2
x x x ->+⎧⎪⎨-≤⎪⎩①1 ② 由①得 x>3
Q
B A F O
y
x P
由②得 x ≤5
∴不等式的解集为 3<x ≤5 18．（本题满分10分）证明：∵AB//CD
∴∠BAC=∠ACD 在△ABC 和△ACD 中
B D BA
C AC
D AC CA ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABC ADC ∆≅∆ ∴AB CD = ∴,AB CD AB CD =∥
∴四边形ABCD 为平行四边形
19．（本题满分10分）解： （1）由根与系数关系得：5,3a b ab +==
（2）原式=22
()()a b ab a b ab a b ---
=22()a b ab a b -- =()()()a b a b ab a b +-- =a b
ab + 3
=33
20．（本题满分11分）⑴解：设第一次爸爸买的咸肉粽x 只，碱水粽y 只
由题意得 231
y x
x y =⎧⎨
+=+⎩ 解得
2
4
x y =⎧⎨
=⎩ 答: 第一次爸爸买的咸肉粽2只，碱水粽4只 ⑵ 由题意得,剩下3只咸肉粽，2只碱水粽 若用a 表示咸肉粽，b 表示碱水粽 则可列表为
第1
组 第2组
1a
2a
3a
1b
2b
A
C
共有20
种情况，其中满足条件的有(1a ,1b )、(2a ,1b )、(3a ,1b )、
(1a ,2b )、(2a ,2b )、(3a ,2b )、（1b ，1a ）、(1b ,2a )、(1b ,3a )、（2b ，1a ）、(2b ,2a )、(2b ,3a )共12种 ∴(1)P 咸肉粽和碱水粽各只=
123
=205
21．（本题满分11分）解：由题意可知，∠BAD=45°，∠CBD=60°DC AC ⊥
∴∠ACD=90° ∵ 3i = 即 tan ∠EBC=3 ∴ ∠EBC=30° ∴ ∠DBE=60°-30°=30° ∴ ∠DBE=∠BDC ∴ BE=DE
设CE=x ，则3BC x =
在Rt △BCE 中 ∵ ∠EBC=30° ∴ 2BE x = ∴ 2DE x = 在Rt △ACD 中
∠ADC=90°-45°=45° ∴ ∠A=∠ADC ∴ AC=CD
∴ 73.233x x += ∴33
x =
- ∴ 2115.5DE x =≈ 答：塔高约为115.5米。

22. （本题满分9分）解：（1）如图：EAF ∆为所求．
（2）由（1）作图可知AOB AOE COF ∠=∠=∠
∴ACB CEF ∠=∠ 而CDK CDE ∠=∠
1a
（2a ，1a ）
（3a ，
1a ）
（1b ，1a ） （2b ，1a ）
2a （1a ，
2a ）
（3a ，
2a ）
(1b ,2a ) (2b ,2a ) 3a (1a ,3a ) (2a ,3a ) (1b ,3a ) (2b ,3a ) 1b
(1a ,1b ) (2a ,1b ) (3a ,1b ) (2b ,1b ) 2b
(1a ,2b )
(2a ,2b )
(3a ,2b )
(1b ,2b )
D
K
F
E
O A B
C
D
E
∴CED CDK ∆∆: ∴
CD DK
DE CD
=
∴2CD DE DK =g 23. （本题满分13分）解（1）∵对称轴1x = ∴2b =-
∵()0,3C - ∴3c =- ∴抛物线方程2y x =∴()()1,0;3,0A B - ∴3BC y x :=-
（2）∵Rt CDE ∆ 中90CDE ∠=o ，3BC y x :=- ∴∠∵点D 在对称轴1x =与直线3y x =-上 ∴()1,2D - ∵Rt CDE ∆为等腰直角三角形 易得()0,1E - ∵点P 在CE 垂直平分线上 ∴点P 纵坐标为2-
∵点P 在223y x x =--上
∴2232x x --=- 解得 12x =± ∵P 在第三象限 ∴()12,2P -
（3） 过P 作//PK x 轴，交直线BC 于点K ，设(),p p P x y ，其中223p p p y x x =--
∵3BC y x :=- ∴()3,p p K y y + ∴233p p p p PK y x x x =+-=- ∵218
PBC PKC PKB S S S ∆∆∆=+= ∴1
2132
8PK ⨯=
∴27
34p p
x x -= 解得1217;22
p p x x =-=
∵P 在第三象限， ∴17,24P ⎛⎫--
⎪⎝⎭
∵点P 在CE 垂直平分线上 ∴10,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
24. （本题满分14分）解：（1）∵
10,AB AC AE x CF y ====，
∴10BE x =- ∵412BD BC ==， ∴8DC =
F
A
C
E
D
P A C B
O E x
y
K
P B C
A O y
x E
在EBD ∆和DCF ∆中，
∵, EDC B BED EDC EDF FDC ∠=∠+∠∠=∠+∠ 而EDF B ∠=∠ ，∴,BED FDC B C ∠=∠∠=∠ ∴EBD DCF ∆∆: ∴
BE BD
DC CF
=
∴1048x y -= ∴y 关于x 的函数解析式为32
10y x
=
- (010)x ≤< （2）分外切和内切两种情况考虑：如图，当⊙C 和⊙A 外切时，点F 在线段AC 上，且AE AF = ∵
AB AC = ∴BE CF = 由（1）得
BE BD
DC CF
=
∴232BE BD CD ==g ∴ 42BE = 如图，当⊙C 和⊙A 内切时，点F 在线段CA 的延长线
上，且AE AF = ∵AB AC = ∴,BE AB AE CF AC AF =-=+
由（1）得BE BD DC CF = ∴104
810+AE AE -=
∴ 21710217AE BE ==-，
综上所述：当⊙C 和⊙A 相切时，BE 的长为42或10217-（3）如图，取边AC 中点O ，过点O 分别作,OG DE OQ BC ⊥⊥，垂足分别为,G Q ．过
点
A 作AH BC ⊥，垂足为H
∵⊙O 与线段DE 相切，∴152
OG AC == 在3
,90,5
Rt CAH AHC cos C ∆∠=∠=o
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
G
Q
H
在3
,90,5
CQ Rt CQO CQO cos C CO ∆∠=∠=
=o ∴3,835CQ DQ ==-= ∴OQ DQ = ∴Rt OGD Rt DQO ∆≅∆ ∴ 90EDB OGD ∠=∠=o
由（1）得EBD DCF ∆∆: ∴ 90EDB DFC ∠=∠=o ∴ AC 与DF 垂直成立．
25. （本题满分14分）（1211:14C y x x =-+()24
x =-
∴顶点坐标()2,0
（2）○1证明∵1C 与y 轴交点A ∴(0,1)A ∴ 2,2AF BF == ∴
11
1AF BF
+= ○2作,PM AB QN AB ⊥⊥ ，垂足分别为,M N ，设
(,),(,)p p Q Q P x y Q x y 在MFP ∆中，2,1 (02)p p p MF x MP y x =-=-<<
∴2
2
222(2)(1)p p PF MF MP x y =+=-+-
而点P 在抛物线上 ∴ 2(2)4p p x y -=
∴2
2
24(1)(1)p p p PF y y y =+-=+
∴1p PF y =+ 同理可得：1Q QF y = ∵
,MFP NFQ PMF ∠=∠∠=∠∴
PMF QNF ∆∆:
∴1212
P Q y PF MP PF
QF QN y QF --===-- ∴ PF ∴
111PF QF
+=为常数 （3）设图像33:C y x = ∵111:(4
C y x =-2221
:()4
C y x h =-
∴ 2C 为1C 左右平移所得 ，设抛物线2C 像3C 的交点的横坐标分别为01,x x Q
B A F O
y
x P
M N Q
B
A F
O y
x
P
实
用 文 档 11 物线2C 不断向右平移时，01,x x 的值不断增大，
∴1x m <≤时，2y x ≤恒成立时，m 的最大值在1x 处取得，即当01x =时，m 取最大值．
∴21()131(4x h h h -=⇒==-或舍去） ∴21(3)4x x -= ∴20110901,9x x x x -+=⇒== ∴m 的最大值为9。