南昌外国语学校高三年级(文科)数学10月份月考试卷

南昌外国语学校2012—2013学年上学期 高三年级（文科）数学10月份月考试卷
g3wsx(a10) 2012.10
一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案）
1．设集合A ={(,)|46}x y x y +=，{(,)|327},B x y x y =+= 则=⋂B A ( ) A ．{12}x y ==或 B ．{(1,2)} C ． {1,2} D ．(1,2) 2.已知等差数列{a n }中,a 2+a 8＝8,则该数列前9项和S 9等于( ) A.18 B.27 C.36 D.45 3．下列命题正确的是( ) A ．当x>0且x≠1时，
B ．当x∈(0,2]时， 无最大值
C ．当x≥2时， 的最大值为2.
D ．当x>0时，x ＋ ≥2 4．下列说法中，正确的是：
A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题
B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02
≤-x x ”
C ．命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件
5．已知函数R x x x x f ∈+=,sin )2cos 1()(2，则)(x f 是 （ ）
A.最小正周期为2π的偶函数
B.最小正周期为2
π
的奇函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数 6．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂
C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥
D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥
7．5
25
35
2
52,52,53⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c b a 则a ，b ，c 的大小关系是( )．
A ．c ＞a ＞b
B ．a ＞b ＞c
C ． b ＞c ＞a
D ．a ＞c ＞b 8.如图,点P 在正方形ABCD 所在的平面外,PD⊥平面ABCD,PD ＝AD, 则PA 与BD 所成角的度数为( )
A 60° B.45° C30°. D.90°
9.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知5ln 520112012201320122log 3,2ln 3-=+=S a a S ，则公比q =（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
10．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的∈x R 都有),()2(x f x f -=+若当
]2,0[∈x 时，),1lg()(+=x x f 则有（ ）
二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共计25分）
11．已知关于x 的不等式x 2-ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是___ ___ 12．一个几何体的三视图如右图所示，正视图是一个边长为2 的正三角形，侧视图是一个等腰直角三角形，
则该几何体的体积为 ．
13．若点P 在曲线 上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是________.
14.由图(1)有面积关系: ,则图(2)有体积关系: ＝_________.
PB PA PB PA S S PAB B PA ∙∙=∆∆''''PAB
P B PA P V V ∆-∆-'
'
15.等差数列{a n }中,S n 是它的前n 项和,S 6＜S 7,S 7＞S 8,则①数列公差d ＜0,②S 9＜S 6,③a 7最大,④S 7是S n 中的最大值.其中正确的是_________. 三、解答题。

（本大题共6小题，共计75分）
16．(本小题满分12分)已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(sin B ，sin A )，向量p ＝(b －2，a －2) (1)若m ∥n ，求证△ABC 为等腰三角形；
(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，∠C ＝ ，求△ABC 的面积．
17. (本小题满分12分)已知ABC ∆的面积S 满足
，且3=⋅
，与BC 的夹角为θ.
（1）求θ的取值范围；
（2）求函数θθθθθ22323cos cos sin sin )(+⋅+=f 的最大值及最小值．
18. (本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡. （1）求a n ，b n ；
（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB PD 、与平面ABCD 所成角的正切值依次是1和12
，2AP =，E F 、依次
是PB PC 、的中点.
（Ⅰ）求证：PB AEFD ⊥平面；
（Ⅱ）求直线EC 与平面PAD 所成角的正弦值.
20.(本小题满分13分)已知二次函数f(x)(x∈R)的二次项系数为正实数且满足
f′(1)=0.设向量a =（sinx,2),b =(2sinx, ),c =(cos2x,1),d =(1,2),当x∈［0,π］时，求不等式f(a ·b )＞f(c ·d )的解集.
21.（本小题满分14分）
已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R)．
(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的斜率； (2)求f (x )的单调区间；
(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．
2
323≤
≤S 2
1
高三数学学科测试卷参考答案及评分标准（文科）
二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共计25分）
11．)8,0( 12． 4 ．13． 14.
PC
PB PA PC PB PA ∙∙∙∙'
''_.
15 :①②④
三、解答题。

（本大题共6小题，共计75分）
16． (本小题满分12分)
解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B .
由正弦定理得a 2＝b 2，a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．…………………………6分 (2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0.即a (b －2)＋b (a －2)＝
0 ∴a ＋b ＝ab.…………………………8分 由余弦定理得4＝a
2
＋b 2
－ab ＝
(a ＋b )2
－3ab
即(ab )2－3ab －4＝0，∴ab ＝4或ab ＝－1(舍)
∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×sin π
3
＝ 3.…………………………12分
17. (本小题满分12分)
解：（1）因为3=⋅BC AB ，AB 与BC 的夹角为θ3=⋅θcos
θθπsin )sin(⋅=-=
S (3)
分 又
2323≤≤S ，所以232323≤≤θtan ，即13
3≤≤θtan ，又],[πθ0∈， 所以],[
4
6π
π
θ∈ . ……………………5分
18. (本小题满分12分)
解：由S n =22n n +，得
当n=1时，113a S ==； …………………………2分
当n ≥2时，1n n n a S S -=-=22
22(1)(1)41n n n n n ⎡⎤+--+-=-⎣⎦，n ∈N ﹡. ……… 5分
由a n =4log 2b n ＋3，得21n b n =-，n ∈N ﹡. …………………………7分 （2）由（1）知1(41)2n n n a b n -=-⋅，n ∈N ﹡ 所以()21372112...412n n T n -=+
⨯+⨯++-⋅，
()2323272112...412n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅， ()212412[34(22...2)]n n n n T T n --=-⋅-++++ (45)25n n =-+
(45)25n n T n =-+，n ∈N ﹡. ………………………… 12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）∵PB PD 、与平面ABCD 所成角的正切值依次
是1和
12
,2AP =∴2,4AB AD ==
∵PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是矩形
∴AD ⊥平面PAB ∴AD PB ⊥ ∵E 是PB 的中点 ∴AE PB ⊥
∴PB AEFD ⊥平面 …………………………7分 （2）解法一：∵PA ⊥平面ABCD ，∴CD PA ⊥，又CD AD ⊥,
∴CD ⊥平面PAD ，取PA 中点G ，CD 中点H ，联结EG GH GD 、、，
则EG AB CD ////且1
=12
EG AB =
，EGHC ∴是平行四边形， ∴HGD ∠即为直线EC 与平面PAD 所成的角.
在Rt GAD ∆中，
，GH =
sin HD HGD GH ∠=== ∴直线EC 与平面PAD
所成角的正弦值为6. 12分
解法二：分别以AB AD AP 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间
直角坐标系，依题意，42AD AB ==，，则各点坐标分别是
(0 0 0)A ，，，(2 0 0)B ，，，(2 4 0)C ，，，(0 4 0)D ，，，
(0 0 2)P ，，，∴(1 0 1)E ，，，(1 2 1)F ，，，(1 4 1)EC =-
，，,
又∵AB ⊥平面PAD ，
∴平面PAD 的法向量为(2,0,0)n AB ==
，
设直线EC 与平面PAD 所成的角为α，则
, 20.(本小题满分13分)
解:由题意可设f(x)=ax 2+bx+c(a ＞0), 则f′(x)=2ax+b.
∵f′(1)=0,∴2a+b=0⇒b=-2a. ∴f′(x)=2ax -2a=2a(x-1). ………………………… 2分
∵a ＞0,∴x ∈(-∞,1)时,f′(x)＜0,f(x)为减函数.
x ∈(1,+∞)时,f′(x)＞0,f(x)为增函数. …………………………5分 由已知得a ·b =(sinx,2)·(2sinx,
2
1
)=2sin 2x+1≥1, …………………… 7分 c ·d =(cos2x,1)·(1,2)=cos2x+2≥1. ……………………… 9分 又f(a ·b )＞f(c ·d ),f(x)在［1,+∞)上为增函数, ∴a ·b ＞c ·d ,即2sin 2x+1＞cos2x+2.
∴cos2x ＜0. ……………………… 11分 ∵x ∈［0,π］,∴2x ∈［0,2π］. ∴
2π＜2x ＜23π,即4π＜x ＜2
3π
. ∴原不等式解集为{x|4
π＜x ＜
2
3π
} ………………………13分
F E D B
C A P H
G
sin |
|||EC n EC n α⋅===⋅。