工程电磁场导论矢量分析与场论.ppt
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工程电磁场导论矢量分析与场论
Ax Bx AyBy Az Bz
柱坐标：
A
B
A B
A B
Az Bz
球坐标： A B Ar Br A B A B
8
（一）矢量分析
C
五、矢量的乘法：
（2）矢量积、叉积：
A
①
大小：
|
C A B C | ABsin(
A,
c1
c2
G
G dl 0 c1
G dl 0 c2
G dl G dl 0
c1 c2
c
27
（二）场 论
5、高斯散度定理: 斯托克斯定理：
SA dS V AdV
LA dl S A dS
28
6、亥姆霍兹定理 ① 矢量场和源的关系
y
矢量场中某点的散度为标量，是点的空间位置的函数。
17
通量的物理意义：
以流体为例，若
Sv dS 0
Sv dS 0
Sv dS 0
每秒有净流量流出， 每秒有净流量流
包面内有正源
入，包面内有负
源
每秒流入包面和流出包面 的净流量相等，包面内无 源，或正源与负源相等
v 0
A
Ay = A sin A
Az = Az
0
Az
A 2 = Ax 2+ Ay 2
A
e
tg A = Ay / Ax y Az = Az
x
e
0 A < + 0 A < 2 -< Az < +4
（一）矢量分析
第一章矢量分析与场论-ppt课件
坐标元
1.8 微分元 恣意元 微分元是矢量微、积分的根底。
坐标元
坐标线元
坐标平面元dσ
坐标体元dv
dx 直 dy
dz dρ
dx= dx ex
dy= dz=
ey dy ez
dρ= dz eρ
dφ= dρ ej
dddσσσ=假yx ==设: xd=σc,z =
yd=σc,ρ = zdd=σσc,φz ==
A× (B×C) = (A ·C) B - (A·B) C
A·(B×C) = B ·(C×A) = C ·(A×B)
‖
‖
‖ Ax Ay Az
[ABC] = [BCA] = [CAB] = Bx By Bz
Cx Cy Cz
假设 B=C 那么 A·B = A ·C及A×B = A ×C 成立 B C 假设 A·B = A ·C及A×B = A ×C 那么 B=C不一定成立
er(90°s,iφn+θ9c0o°sφ)·ez ez sinθ sinφ
cosθ
ex
= sin(θ+90°) cosφ
sin (θ+90°) sinφ cos (θ+90°)
ey
sin90° cos(φ+90°) sin90° sin(φ+90°) cos90°
ez sinθ cosφ
sinθ sinφ
因此：ex = 1/√2er-1/√2eφ ， ey = 1/√2er+1/√2eφ , ez = － eθ
∴ A = 3√2er －2 eθ +√2 eφ ②对于点(√2,√2,2) ： sinθ = sinφ= cosθ= cosφ=1/√2
电磁场理论第1章：矢量与场论
ex
上式可用下行列式帮助记忆:
ey y Ay
ez z Az
A x Ax
第一章 矢量分析
可以证明，有下列恒等式：
( A B ) A B ( A ) A A ( A B ) B A A B ( ) 0 A ( A ) 2 A
性质:
( A B) A B (A) A A
第一章 矢量分析
2 2 2 ( e x ey e z ) 2 2 2 2 x y z x y z
R R R . R 1 R 3 R R
R为空间两点(x,y,z) 与(x’,y’,z’)的距离
第一章 矢量分析
例1 矢量r=xex+yey+zez， r x 2 y 2 z 2
证明：
r r r . r
证：
因为
r r r r e x e y e z x y z r x x 2 2 2 x y z 2 2 2 x x r x y z
A Ax (t )e x Ay (t )e y Az (t )e z
其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。
同一矢量在不同坐标系下有不同的表达式！（见后）
第一章 矢量分析
1.1.2 标量场和矢量场
如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的 一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换 句话说， 在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。
2
定义：
记为
2 2 2 2 2 2 2 x y z 2 A 2 Axe x 2 Ay e y 2 Az e z
上式可用下行列式帮助记忆:
ey y Ay
ez z Az
A x Ax
第一章 矢量分析
可以证明，有下列恒等式：
( A B ) A B ( A ) A A ( A B ) B A A B ( ) 0 A ( A ) 2 A
性质:
( A B) A B (A) A A
第一章 矢量分析
2 2 2 ( e x ey e z ) 2 2 2 2 x y z x y z
R R R . R 1 R 3 R R
R为空间两点(x,y,z) 与(x’,y’,z’)的距离
第一章 矢量分析
例1 矢量r=xex+yey+zez， r x 2 y 2 z 2
证明：
r r r . r
证：
因为
r r r r e x e y e z x y z r x x 2 2 2 x y z 2 2 2 x x r x y z
A Ax (t )e x Ay (t )e y Az (t )e z
其中ex、ey、ez为x轴、y轴、z轴正向单位矢量。
同一矢量在不同坐标系下有不同的表达式！（见后）
第一章 矢量分析
1.1.2 标量场和矢量场
如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的 一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。换 句话说， 在某一空间区域中，物理量的无穷集合表示一种场。
2
定义：
记为
2 2 2 2 2 2 2 x y z 2 A 2 Axe x 2 Ay e y 2 Az e z
电磁场与电磁波理论-矢量分析与场论
1-23
《电磁场与电磁波理论》
2.矢量加法和减法
♥ 直角坐标系中矢量加法和减法
第1章 矢量分析与场论
◘ 只有矢量和矢量之间才能进行相加减。
（1.1.24） （1.1.25）
1-24
《电磁场与电磁波理论》
3.矢量的标量积和矢量积
第1章 矢量分析与场论
矢量的标量积 矢量的矢量积 “右手法则”和“右手螺旋法则” 标量积和矢量积的特点 标量积和矢量积在直角坐标系中的计算
1. 标量场的方向导数
第1章 矢量分析与场论
♥ 方向导数——空间某一点的标量场沿某一方向的变化率定 义为该标量场在该点沿该方向的方向导数，即
（1.2.1）
其中
1-38
《电磁场与电磁波理论》
1. 标量场的方向导数
♥ 根据求导法则，方向导数可以表示成
第1章 矢量分析与场论
◘ 方向余弦 ◘ 该方向上的单位矢量
矢量的大小 矢量的方向的单位矢量
（1.1.4）
1-13
《电磁场与电磁波理论》
♥ 矢量的方向余弦
2.矢量表示法
第1章 矢量分析与场论
——矢量与三个坐标轴之间的夹角。
♥ 矢量的方向的单位矢量
（1.1.5）
◘ 一般情况下均采用矢量的方向的单位矢量（方向余弦）来 表示矢量的方向，只有需要时，才需要用到矢量与坐标轴 的夹角。
♥ 若两个矢量平行，即它们之间的夹角为零，则矢量积等于 零，而标量积最大，等于这两个矢量的模的乘积。
♥ 若两个非零矢量的标量积等于零，则这两个矢量必相互垂 直；
♥ 若两个非零矢量矢量积等于零，则这两个矢量必相互平行。
1-31
《电磁场与电磁波理论》
第1章 矢量分析与场论
工程电磁场导论矢量分析
z
ez
grad
——梯度(gradient)
式中
ex
x
ey
y
ez
z
——哈密顿算子
梯度的意义
矢量分析 图0.1.3 等温线分布
标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。
梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率（增
加的方向），即最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。
lim
V 0
1 V
A dS divA
S
divA
A
Ax x
Ay y
Az z
———散度 (divergence)
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第零章
散度的意义
矢量分析
矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
散度代表矢量场的通量源的分布特性。
A(无0源）
A(正 源)
S y z
z x
( Ay Ax )dxdy] x y
ex ey ez A
x y z Ax Ay Az
l A dl S ( A) dS
第零章
0.4.2 旋度 ( Rotation )
矢量分析
1. 环量密度
过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为 L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限
dΓ lim 1 Α dl
dS S 0 S L ——环量密度
环量密度是单位面积上的环量。
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第零章
2. 旋度
矢量分析
旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大
电磁场理论课件 Chapter 1 矢量分析.
C = A B sinθ
在直角坐标系下，叉积可以表示为：
ex ey ez A× B = Ax Ay Az
Bx By Bz
补充 ：坐标系及单位矢量 矢量的单位矢定义为：
eA =
A A
=
A Ax2 + Ay2 + Az2
1. 直角坐标 直角坐标系由三互相垂直的直线形成。
此三直线称 x 、 y 和 z 轴。三轴线的交点是原点。用单位矢量：ex ，ey ，ez 表征矢量分别沿 x 、 y 和 z 分量的方向。
P17~18： 1.1；1.9；1.12; 1.13; 1.15; 1.16; 1.23 补充： 矢量的表示及运算 矢量：既有大小，又有方向的量称为矢量。
选用适当的坐标系，一个矢量可以由它在各坐标轴上的投影来表示，如图所示：
ex = ax ， ey = ay ， ez = az
矢量的加法和减法 矢量相加和相减就是分别将矢量的各分量相加和相减，如图所示。如
球角坐标系 (r,θ ,ϕ; er , eθ , eϕ )
这三种坐标系的坐标及单位矢量之间的转换关系见附录 1 矢量函数在上述三种坐标系内应有的关系为：
F (r ) = F (x, y, z) = exFx (x, y, z) + ey Fy (x, y, z) + ez Fz (x, y, z) = F (r,α , z) = er Fr (r,α , z) + eα Fα (r,α , z) + ez Fz (r,α , z) = F (r,θ ,ϕ) = er Fr (r,θ ,ϕ) + eθ Fθ (r,θ ,ϕ) + eϕ Fϕ (r,θ ,ϕ)
间坐标（位置）的函数 E(x, y, z) 或 E(r ) ， 其三个坐标分量一般也是 x ， y ， z （或 r ）的函