2-2质点运动的描述

r r r r r r ∆ r r2 − r1 v= = = 2i − 6 j ∆ t t 2 − t1
（3）质点在任意时刻的速度和加速度分别为 ） r r r dr r v (t ) = = 2 i − 4 tj dt r r dv r a (t ) = = −4 j dt 则
t = 2 s 时的速度
2 2 0
质点在oxy平面内运动， oxy平面内运动 例2-1 质点在oxy平面内运动，其运动方程为
r r r 2 r ( t ) = 2 ti + (19 − 2 t ) j
试求：（ ）质点的轨迹方程；（ ；（2） 试求：（1）质点的轨迹方程；（ ）在 t1 = 1s ：（ 时间内的平均速度；（ ；（3） 末质点的 到t2 = 2s 时间内的平均速度；（ ）2s末质点的 速度和加速度。 速度和加速度。 解：（1）将运动方程写成分量形式 ：（ ）
x = 10 + 3t 2 y = 2t
2
消去时间参数， 消去时间参数，可得轨迹方程
3 y = 2 x − 20
（2）速度 ） 加速度 习题2-11 习题
r r r r dr v = = 6 ti + 4 tj dt
r r r r dv a= = 6i + 4 j dt
一物体沿x轴作直线运动， 一物体沿x轴作直线运动，其加速度为
∫
v v0Байду номын сангаас
dv = −k 2 v
∫
t 0
dt
v0 v = v0 kt + 1
v0 dx v= = dt v0kt +1
分离变量， 分离变量，代入上下限 积分得
∫
x 0
dx =
∫
t 0
vdt =
∫
t 0
v0 dt v0 kt + 1
1 x = ln ( v 0 k t + 1) k
dx vx = = −10 + 60t dt dy vy = = 15 − 40t dt
当
t = 0 时， v0x =−10m s , v0y =15m s ,
−1
−1
则初速度大小为
v0 = v + v ≈ 18(m s )
2 0x 2 0y
−1
r 设 v0 与x轴的夹角为 α ，则 轴的夹角为
α = arctan
∆r dr v = lim = ∆t →0 ∆t dt 当 ∆t → 0 时, d r = d s
在三维空间中 三维空间中
dx dy dz v= i+ j+ k dt dt dt
ds v= et dt
3 、 瞬时速率：速度v 的大小称为速率 瞬时速率： 的大小称为速率
dr = ds
ds v= dt
讨论
四
速度 1、 平均速度 、
∆ r = r ( t + ∆ t ) − r (t )
∆r ∆x ∆y v= = i+ j ∆t ∆t ∆t
或
时间内, 在∆ t 时间内
y
r(t + ∆t )
B
∆s
A
∆r
r(t)
o
v = vx i + v y j
x
平均速度
v 与∆r 同方向.
2 、瞬时速度 瞬时速度 时平均速度的极限值叫做瞬时速度 瞬时速度, 当 ∆t → 0 时平均速度的极限值叫做瞬时速度 简称速度 简称速度
三
位移与路程 1 位移
y
A
∆ r = rB − rA
rA = xAi + yA j rB = xBi + yB j
∆r
rB
B
rA
o
所以位移 ∆r
∆r = (xB − xA )i + ( yB − yA ) j 2 路程（ ∆s ）: 质点运动所经历的路径的长度 路程（ 质点运动所经历的路径的长度.
ay ax
′(或326019′） = −33 41
习题2-1 习题
一质点作直线运动， 一质点作直线运动，其运动方程为
x = 2 + 2t − t
试求： 试求：(1)质点从 t = 0 到 质点从 （2）质点在 t = 0 到 t = 程。 解：（1）t ：（ ）
2
t = 3 s 时间内的位移； 时间内的位移； 3 s 时间内所通过的路
dv dv dx dv 2 a= = = v = −kv dt dx dt dx
分离变量， 分离变量，代入上下限 积分得
∫
v v0
dv = −k v
∫
x 0
dx
v = v0e
− kx
（2）求坐标和速率随时间的变化，直接求解。 ）求坐标和速率随时间的变化，直接求解。
dv 2 a= = − kv dt
分离变量， 分离变量，代入上下限 积分得 又因为
2
轴方向作直线运动，加速度a＝常数， 例 一质点沿 x 轴方向作直线运动，加速度 ＝常数， 试证明： 已知 t = 0 时，v = v0 , x = x0 。试证明：
v = v0 + at 1 2 x = x 0 + v0t + at 2 2 2 v − v0 = 2 a( x − x 0 )
证明： 证明： 得 由
x = 2t 2 y = 19 − 2t
消去时间 t ，得质点的轨迹方程 x2 y = 19 − 2 r r r t （2）1 = 1 s 时， r1 = 2 i + 1 7 j ） r r r t 2 = 2 s 时， r2 = 4 i + 1 1 j 所以， 所以，在 t1 = 1 s 到 t2 = 2s 时间内的平均速度为
注意
= rB − rA
x
∆r ≠ ∆r 2 2 2 2 2 2 ∆r = x2 +y2 +z2 − x1 + y1 + z1
讨论 位移与路程
（A） 一般情况 位移大小不等于路程 ） 一般情况, 位移大小不等于路程.
∆r ≠ ∆S
（B）什么情况 ）
∆r = ∆s ？
d r = d s.
不改变方向的直线运动; 不改变方向的直线运动 当∆t → 0 时, （C）位移是矢量 路程是标量 ）位移是矢量, 路程是标量.
x1 = 3 m
S = x1 −x0 + x3 −x1 =5m
习题2-7 习题 程为
一质点在0xy平面上运动，其运动方 一质点在0xy平面上运动， 0xy平面上运动
r r r 2 2 r = (10 + 3t )i + 2t j
试求：（ ）质点的轨迹方程；（ ；（2） 试求：（1）质点的轨迹方程；（ ）质点的 ：（ 速度，加速度。 速度，加速度。 解：（1）由质点运动方程的分量式 ：（ ）
dv a= dt
∫
v
v0
d v = ∫ adt
0
t
v = v0 + at
又由
dx v= dt
∫
x
x0
d x = ∫ ( v0 + at ) d t
0
t
得 由
1 2 x = x0 + v0t + at 2
x
dv dv a= =v dt dx
∫
所以
v
v0
vd v = ∫ ad x
x0
v − v = 2a(x − x0 )
= 0 时，
x0 = 2 m
x3 = − 1m
t = 3 s 时，
所以位移为
∆x = x3 − x0 = −1 − 2 = −3m
（2）由于速度的方向变化，即速度为零。对 ）由于速度的方向变化，即速度为零。 x求极值，并令 求极值， 求极值 dx = 2 − 2t = 0 dt 由此得 路程为
t = 1s ,
的端点处， 一运动质点在某瞬时位于矢径 r (x,y) 的端点处， 其速度大小为
（A） ） （C） ）
dr dt
（B） ） （D） ）
dr dt
dx 2 dy 2 ( ) +( ) dt dt
dr dt
五
加速度 1 、平均加速度
∆v a = ∆t a 与 ∆v 同方向 .
2、加速度 、
y
A
O
v vA
β
r
P
o
z
γ
α
x
二
运动方程与轨迹 1 运动方程
y
y (t )
r(t) = x(t)i + y(t) j + z(t)k x = x(t ) y = y (t ) 分量式 z = z (t )
2 轨迹方程 从中消去参数 t 得轨迹方程
v r (t )
P
z
z (t )
o
x(t )
x
f (x, y, z) = 0
2－2 质点运动的描述
一 位置矢量
y
y
j
位置矢量, 位置矢量 简称位矢 r . 取直角坐标系oxyz， ， 取直角坐标系
r
*
P
x
r = xi + yj + zk
2
位矢 r 的量值为
r= r = x +y +z
2
2
i o z k x z y
位矢 r 的方向
cosα = x r cos β = y r cos γ = z r
v0 y v0x
= 123 41′
0
（2）加速度的分量式为 ） dv x ax = = 60( m s −2 ) dt
ay =
dv y dt
= −40( m s −2 )
2 2 a = ax + a y ≈ 72.1(m s −2 ) 则加速度的大小为
设a与x轴的夹角为 θ 与 轴的夹角为
，则
0
θ = arctan
r r r v (t ) t =2 s = 2i − 8 j
例2-2
质点在oxy平面内运动， 质点在oxy平面内运动，其运动方程为 oxy平面内运动
x = −10t + 30t 2 y = 1 5t − 20t 2
试求：（ ）初速度的大小和方向；（ ）加速 ；（2） 试求：（1）初速度的大小和方向；（ ：（ 度的大小和方向。 度的大小和方向。 解：（1）由速度的定义，有 ：（ ）由速度的定义，
B
v vB
∆v d v a = lim = ∆t →0 ∆t dt
加速度
x
v vA
v ∆v
v vB
dv d r a= = 2 dt dt
2
三维运动
a = ax i + a y j + az k
加速度大小
a = a +a +a
2 x 2 y
2 z
dvx d x ax = = 2 dt dt dvy d2 y ay = = 2 dt dt 2 dvz d z az = = 2 dt dt
a = − kv (k 是 常 数 ）
2
在
t = 0 时，
v = v0 , x = 0.
试求： 速率随坐标变化的规律；（ 试求：(1)速率随坐标变化的规律；（ ）坐 速率随坐标变化的规律；（2） 标和速率随时间变化的规律。 标和速率随时间变化的规律。
解：（1）求速率随坐标的变化，在计算过程中 ：（ ）求速率随坐标的变化， 进行适当的变量变换。 进行适当的变量变换。