数的开方知识点及复习

数的开方知识点及复习
知识点一：平方根
（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。

（2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.
（3）平方根的表示：a 的平方根记作:a 2±±或a 。

a 叫做被开方 （4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算
（5）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数②0有一个平方根，它是0本身③负数没有平方根。

（6）算术平方根的定义：非负数a 的正的平方根。

（7）算术平方根表示：一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数 （8）算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。

注1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；
(a≥0)是一个非负数, 即
≥0;
2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； 3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1; 4).非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(
)2=a(a≥0)；
5）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=
6).平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平 方 根，非负数a 的负平方根。

要特别注意： a ≠±a
7).平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：①定义不同 ②个数不同： ③ 表示方法不同：
联系:①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。

知识点二、立方根：
（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。

如果x3=a ，则x 叫做a 的立方根。

记作：3a x = ,读作“三次根号a ” 。

（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方
（3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算 （4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0，则
03
>a ②一个负数有一个负的立方根，即若a<0，
则03
<a ③0的立方根是0，即若a=0，则03
=a 。

注：1）若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；
2）立方根等于本身的数有0、1、-1. 典型例题:
例1、x 为何值时，下列代数式有意义。

（1）x 23+ （2）x x -+-22 （3）32+x （4）
1
31-x （5）
1
1-+x x （6）2
)1(--x
例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是4±，求a+2b 的平方根。

例3、若x 、y 都是实数，且233+-+-=x x y ，求x+3y 的平方根。

例4、如果b
a b a M -++=3是a+b+3的算术平方根，322+-+=b a b a N 是a+2b 的立方根，求M －N 的立方根。

例5．已知：=0，求实数a, b 的值。

练习： 1、填空：
（1）0.25的平方根是 ;９2
的算术平方根是 , 16 的平方根是 。

（2）2-
的相反数是 ，3的倒数是 ，
13-的绝对值是 ；
（3）（3）=81 ，25
16±= ，2)3(-= 。

（4）当x 时,
12-x 有意义；若x x -+有意义，则x ；当______m 时，m -3有意
义；当______m 时，33-m 有意义
（5）81的平方根是______，4的算术平方根是______，
3
64的平方根是_______64的立方根是 。

（6）若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 （7）如果有2是m 的一个平方根,那么m 的算术平方根是___________; （8）计算：
223
31(1)(1)---（9）已知0)3(122
=++-b a ，则=3
3
2ab
；(a+2)2＋|b －1|＋c －3＝0，则a ＋b ＋c ＝ 。

（10）某种洗衣机的包装箱是长方形,其高为1.2m , 体积为1.23
m , 底面是正方形,则该包装箱的底面边长 为 m.
（11）已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c,234(3)0a b c --+-=,则此△ABC 的周长= 。

（12）请你观察、思考下列计算过程：因为121112
=，所以
11121=，同样，因为123211112=，所以
11112321=…由此猜想76543211234567898=________________．
2、选择：
（1）一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（ ）．A 、 1 B 、 0 C 、 -1 D 、1，-1或0 （2）下列各式中无意义的是( )A 、 3-
B 、 3±
C 、23-
D 、()23-±
（3）下列说法正确的是( )
A 、4的平方根是2
B 、-16的平方根是±4
C 、实数a 的平方根是±a
D 、实数a 的立方根是3a
（4）有理数中，算术平方根最小的是（ ） A 、1 B 、0 C 、0.1 D 、不存在
（5）下列说法中，正确的是（ ）．
A 、27的立方根是3，记作27=3
B 、-25的算术平方根是5
C 、a 的三次立方根是3a ±
D 、正数a 的算术平方根是a （6）3a 的值是（ ）．（A ） 是正数 （B ） 是负数 （C ） 是零 （D ） 以上都可能
（7）若()2
2
7.0-=x ，则=x （ ）．（A ）-0.7 （B ）±0.7 （C ）0.7 （D ）0.49
（8）下列等式：①
8
1161=，②()2233
-=-，③()222
=-，④3388-=-⑤416±=，⑥24-=-；
正 确的有（ ）个．（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
（9）设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）A 、1 B 、9 C 、4 D 、5 （10）下列说法中正确的是（ ）．
A 、4是8的算术平方根
B 、16的平方根是4
C 、6是6的平方根
D 、a -没有平方根 （11）下列各式中错误的是（ ）．
A 、6.036.0±=±
B 、6.036.0=
C 、2.144.1-=-
D 、2.144.1±= （12）下列计算中正确的是（ ）．
A 、2323182=⨯=
B 、134916916=-=-=-
C 、243
123
12=== D 、a a 242=
3、求下列各数的平方根和算术平方根： （1）4
25 （2）()2
4- （3）()()82-⋅-．
4、计算：
（1）256 （2）44.1- （3）25
16
± （4）01.0
（5）2
32⎪⎭
⎫ ⎝⎛± （6）4
10± （7）3125.0-1613+23)871(-
5、解方程：
（1）942
=x （2）()112
=+x （3）()049
121
352
=-
-x ．
（4）(x+3)3=27 （5）8)12(3
-=-x （6）64(x-1)3+125=0
6、已知实数,,a b c 满足211
()022
a b c --=，求()a b c +的值.
7、a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简：222)()1()1(b a b a ---++．
8、已知2x-1的平方根是±3，3x+y-1的平方根是±4，求x+2y 的平方根。

9、已知：实数a 、b 满足条件0)2(12
=-+-ab a
试求)
2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值．
知识点三：实数基础知识
1．无理数的定义:（ ）叫做无理数
2．有理数与无理数的区别：有理数总可以用（）或（）表示；反过来，任何（）或（）也都是有理数。

而无理数是（）小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。

有理数可以化成（），无理数不能化成（）。

3.常见的无理数类型
(1)一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···
(2)看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。

(3)有特定意义的数，如：π=3.14159265···
(4).开方开不尽的数。

如：35
,3。

4．实数、概念：________和________统称为实数。

5．分类按定义
_______
________
_______
________ ___ 有限小数或________小数
_______
实数________
_______
_________
________ 无限不循环小数
_________
正实数
按性质0
负实数
6、实数的有关性质
⑴a与b互为相反数〈=〉a+b=0 ⑵a与b互为倒数〈=〉ab=1
⑶任何实数的绝对值都是非负数，即a≥0 ⑷互为相反数的两个数的绝对值相等, 即a=a
⑸正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.
A.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点是一一对应的关系
B.实数的大小比较：1.在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

2.正数大于零，零大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小。

C.实数中的非负数及其性质
非负数有如下三种形式
⑴任何一个实数a的绝对值是非负数，即a≥0 ⑵任何一个实数的平方是非负数，即2a≥0；
⑶任何一个非负数a的算术平方根是非负数，即a≥0
(4)、非负数有以下性质
⑴非负数有最小值零⑵有限个非负数之和仍然是非负数⑶几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。

二
二、典型例题
经典例题
类型一．有关概念的识别
例1．下面几个数：0.23，1.010010001…，，3π，，，其中，无理数的个数有（）
A、1
B、2
C、3
D、4
类型二．计算类型题
例2．设，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
类型三．数形结合
例3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为______ －2
例4.已知实数、、在数轴上的位置如图所示：
化简
类型四．实数绝对值的应用
例4．化简下列各式：
(1) |-1.4| (2) |π-3.14 (3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3) (5) |x2+6x+10|
类型五．实数应用题
例5．有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。

类型六．引申提高
例6．已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2-b2的值.
A组（基础）
一、细心选一选
1．下列各式中正确的是（）A． B. C. D.
2. 的平方根是( ) A．4 B. C. 2 D.
3. 下列说法中①无限小数都是无理数②无理数都是无限小数③-2是4的平方根④带根号的数都是
无理数。

其中正确的说法有（）A．3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
4．和数轴上的点一一对应的是（）A．整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数
5．对于来说（）A．有平方根B．只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定
6．在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数的个数有（）A．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
7．面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（）
A． B. C. D.
8．下列各组数中，互为相反数的是（）
A．-2与 B.∣-∣与 C. 与 D. 与
9．-8的立方根与4的平方根之和是（）A．0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4
10．已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）
A． B. C. D.
二、耐心填一填
11．的相反数是________，绝对值等于的数是________，∣∣=_______。

12．的算术平方根是_______，=______。

13．____的平方根等于它本身，____的立方根等于它本身，____的算术平方根等于它本身。

14．已知∣x∣的算术平方根是8，那么x的立方根是_____。

15．填入两个和为6的无理数，使等式成立：___+___=6。

16．大于，小于的整数有______个。

17．若∣2a-5∣与互为相反数，则a=______，b=_____。

18．若∣a∣=6，=3，且ab0，则a-b=______。

19．数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。

20．一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。

三、认真解一解
21．计算
⑴⑵⑶
⑷∣∣+∣∣⑸×+×
⑹4×[ 9 + 2×（）] （结果保留3个有效数字）
22．在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：
B组（提高）
一、选择题：
1．的算术平方根是（）A．0.14 B．0.014 C．D．
2．的平方根是（）A．－6 B．36 C．±6 D．±
3．下列计算或判断：①±3都是27的立方根；②；③的立方根是2；④，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个
4．在下列各式中，正确的是（）
A．; B．; C．; D．
5．下列说法正确的是（）
A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数D．是分数
6．下列说法错误的是（）
A．B．C．2的平方根是D．
7．若，且，则的值为（）A．B．C．D．8．下列结论中正确的是（）
A．数轴上任一点都表示唯一的有理数; B．数轴上任一点都表示唯一的无理数;
C. 两个无理数之和一定是无理数;
D. 数轴上任意两点之间还有无数个点
9．-27 的立方根与的平方根之和是（）A．0 B．6 C．0或-6 D．-12或6 10．下列计算结果正确的是（）
A．B．C．D．
二．填空题:
11．下列各数：①3.141、②0.33333……、③、④π、⑤、⑥、
⑦0.03……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、⑧0中,其中是有理数的有
__________；无理数的有__________.（填序号）
12．的平方根是__________；0.216的立方根是__________.
13．算术平方根等于它本身的数是__________；立方根等于它本身的数是__________.
14. 的相反数是__________；绝对值等于的数是__________．
15．一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的__________倍.
三、解答题：
16．计算或化简：
(1) (2) (3)
(4)(5)
17．观察右图，每个小正方形的边长均为1，⑴图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？
⑵估计边长的值在哪两个整数之间。

⑶把边长在数轴上表示出来。