江苏省第十一届高等数学竞赛题(本科三级)评分标准

⎞ ⎟. ⎟ ⎠
（2）设 f ( x ) 在 x = 0 处二阶可导，且 f ′(0) = 2， 求 lim
x →0
f (e x − 1) − f ( x) . x2
⎛ ⎛ 1 1 ⎜ n3 ⎜ 2 − 解（1） 原式 = n lim →∞ ⎜ ⎜ n ( n + 1)2 ⎝ ⎝
⎞ 3⎛ 1 ⎞ 3⎛ 1 1 1 ⎞⎞ ⎟⎟ 2 ⎟+n ⎜ 2 − ⎟+n ⎜ 2 − 2 ⎟ ⎜ n ( n + 2) ⎟ ⎜ n ( n + 3) 2 ⎟ ⎟ ○ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠
2cos x
8、交换积分次序， ∫ 4 d x ∫
0
0
f ( x, y )d y =
∫
2
0
d y ∫ 4 f ( x , y )d x + ∫ d y ∫
0 2
π
2
arccos
y 2
0
f ( x, y ) d x .
二、 （每小题 6 分，共 12 分） （1） 求
3 ⎛ 3 1 3 ⎜ lim n − ∑ 2 2 n→ ∞ ⎜n i =1 ( n + i ) ⎝
2012 年江苏省普通高等学校第十一届
高等数学竞赛试题（本科三级）评分标准
一、填空题（每小题 4 分，共 32 分，把答案写在题中横线上） 1、 lim x→ 4
4 + 3x − 4 1 + 6x − 5
x 0
=
5 . 8
1 . 5
lim 2、 n →∞
13 + 23 + " + n3 = n4
n
1 . 4
+∞ −1
+∞
1 1 − e = e. −1 2 2
4 ○
+∞
（3） V = π ∫
1 π e −2 x d x − π e 2 = − e −2 x 3 2
1 1 1 1 − π e2 = π e2 − π e2 = π e2 . 3 2 3 6 −1
5 ○
六、 （10 分） 设函数 f ( x, y ) 在平面区域 D 上可微， 线段 PQ 位于 D 内， 点 P, Q 的坐标分别为 P ( a, b ) ，
⎛ x2 ⎞ ⎛ x3 ⎞ − 2 x ⎟ + b, ○ 2 P ( x ) = a ⎜ − x 2 ⎟ + bx + c, ○ 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 6 ⎠
8 3 P ( 2 ) = − a + 2b + c = 0, ○ 3
3 ○
3 由 P ′ (1) = − a + b = 0, 2
可解得
5 P (1) = − a + b + c = 2, 6
f ′ ( x ) < 0.
1 ○
因此 0 < x < δ1 时， 函数 f ( x ) 单调减少， 故 f ( 0 ) 不可能是 f ( x ) 的极小值， 此与 f ( 0 )
为极小值矛盾。所以满足题目条件的函数不存在。○ 1 四、 （12 分）求一个次数最低的多项式 P ( x ) , ，使得它在 x = 1 时取极大值 2，且 ( 2,0 ) 是曲线 y = P ( x ) 的拐点. 2 积分得 P′ ( x ) = a ⎜ 解 令 P′′ ( x ) = a ( x − 2 ) , ○
{( x, y ) 0 < x < δ } (δ
1
1
Hale Waihona Puke 2 不 ≤ δ ) , 使得 f ′ ( x ) ( −δ , 0 ) 与 ( 0, δ ) 上的严格单调性相反。 ○
妨设 −δ1 < x < 0 时， f ′ ( x ) 严格增加； 0 < x < δ1 时， f ′ ( x ) 严格减少，因 f ′ ( 0 ) = 0, 于是 ∀x ∈U ，都有
=
1 2 ( f ′′ ( 0) − f ′′ ( 0) + 2 ) = 1. ○ 2
注 本题只能一次应用洛必达法则，若两次应用洛必达法则，并求出 1 的，共给 3 分。
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三、 （第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，共 10 分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否 存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明. （1）函数 f ( x ) 在 ( −δ , δ ) 上有定义 (δ > 0 ) ，当 −δ < x < 0 时， f ( x ) 严格增加，当 0 < x < δ 时， f ( x )
七、 （12 分）计算二重积分 解 2 ○
∫∫ ( x
D
2
+ xy ) d x d y,
2
其中 D 为 ( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 2 x .
{
}
原式 = ∫∫ x 2 x 2 + 2 xy + y 2 d x d y, 因为区域 D 关于 y = 0 对称， 2 x3 y 关于 y 为奇函数，
D
(
)
x 2 ( x 2 + y 2 ) 关于 y 为偶函数，则
原式 = 2
D( y ≥0)
∫∫
x 2 ( x 2 + y 2 )d x d y
3 ○
= 2∫ 2 dθ ∫
0
π
2cos θ 0
ρ 5 cos 2 θ d ρ
2 ○
=
64 π 2 cos8 θ dθ 3 ∫0
2 ○
其中 D ( y ≥ 0 ) : 0 ≤ ρ ≤ 2cosθ , 0 ≤ θ ≤
⎧− x 2 , 0 < x < 1， 例如， f ( x ) = ⎨ ⎩ -2， x = 0 .
证明如下： （反证法）
3 ○
（2） 满足条件的函数不存在。○ 1
1 因为 f ( 0 ) 是极值，所以 f ′ ( 0 ) = 0. ○ 的去心邻域 U =
不妨设 f ( 0 ) 为极小值，若 ( 0, f ( 0 ) ) 是拐点，则存在 x = 0
f (e x − 1) − f ( x) e x f ′(e x − 1) − f ′( x) = lim x →0 x2 2x
2 ○
′ x ′ f ′( x ) − f ′ (0) 1⎛ 2e x − 2 ⎞ x f (e − 1) − f ( 0 ) 2 lim e lim lim = ⎜ − + ⎟○ x→ 0 x→ 0 x→ 0 2⎜ ex − 1 x x ⎟ ⎝ ⎠
f ( x ) 存在，且 f ( 0 ) 是 f ( x ) 的极小值. 严格减少， lim x→ 0
（2）函数 f ( x ) 在 ( −δ , δ ) 上一阶可导 (δ > 0 ) ， f ( 0 ) 为极值，且 ( 0, f ( 0 ) ) 为曲线 y = f ( x ) 的拐点. 解 1 （1）满足条件的函数存在。○
In =
n −1 π I n−2 , ○ 3 因 I0 = , n 2 64 35 35 ⋅ π = π. ○ 原式 = 2 3 4 × 64 12
所以
I8 =
7 × 5 × 3 ×1 π 35 ⋅ = π, 8 × 6 × 4 × 2 2 4 × 64
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π π
π
2
,
由于
π
I n = ∫ 2 cos n x d x = ∫ 2 cos n −1 x dsin x = ( n − 1) ∫ 2 sin 2 x cos n − 2 x d x
0 0 0
= ( n − 1) ∫
因此 于是
π
2 0
(1 − cos x ) cos
2
n−2
x d x = ( n − 1) I n − 2 − ( n − 1) I n
F (1) = f ( x, y ) , 且 F ( t )
在 [ 0,1] 上连续，在 ( 0,1) 内可导，应用拉格郎日中值定理， ∃θ ∈ ( 0,1) , 使得
F (1) − F ( 0 ) = F ′ (θ )(1 − 0 ) = F ′ (θ ) ,
因为
3 ○
（∗） 3 ○
F ′ ( t ) = f x′ ( a + t ( x − a ) , b + t ( y − b ) ) ( x − a ) + f y′ ( a + t ( x − a ) , b + t ( y − b ) ) ( y − b ) ,
令 ξ = a + θ ( x − a ) , η = b + θ ( y − b ) , 点 M (ξ ,η ) 显然位于线段 PQ 上，则
F ′ (θ ) = f x′ (ξ ,η )( x − a ) + f y′ (ξ ,η )( y − b ) , 代入（ ∗ ）式得 f ( x, y ) = f ( a, b ) + f x′ (ξ ,η )( x − a ) + f y′ (ξ ,η )( y − b ) .
于是
a = 6, b = 9, c = −2.
P ( x ) = x3 − 6 x 2 + 9 x − 2.
五、 （12 分）过点 ( 0,0 ) 作曲线 Γ : y = e− x 的切线 L, 设 D 是以曲线 Γ ，切线 L 及 x 轴为边界的无界区域， （1）求切线 L 的方程； （2）求区域 D 的面积； （3）求区域 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解 （1）设切点为 a,e
7、函数 ϕ ( x ) ,ψ ( x ) , f ( x, y ) 皆可微，设 z = f (ϕ ( x + y ) ,ψ ( x y ) ) , 则
∂z ∂z − = ∂x ∂y
( y − x)
π
f 2′ (ϕ ( x + y ) ,ψ ( x y ) ) ⋅ψ ′ ( x y ) or ( y − x ) f 2′ ⋅ψ ′.
(
−a
), 则
L : y − e−a = −e−a ( x − a) ,
3 用 ( 0,0 ) 代入，得 a = −1, 于是 L 的方程为 y = −e x. ○ （2）因切点为 ( −1, e ) , 故
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S=∫
+∞ −1
1 e − x d x − e = −e− x 2
Q ( x, y ) ,求证：在线段 PQ 上存在点 M (ξ ,η ) , 使得
f ( x, y ) = f ( a, b ) + f x′ (ξ ,η )( x − a ) + f y′ (ξ ,η )( y − b ) .
证 令 F (t ) = f ( a + t ( x − a ) , b + t ( y − b)) , 2 ○ 则 F ( 0 ) = f ( a, b ) ,
2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题本科三级评分标准一填空题每小题4分共32分把答案写在题中横线上arctanln二每小题6分共12limlimlimelimlim本题只能一次应用洛必达法则若两次应用洛必达法则并求出1的共给3三第1小题4分第2小题6分共10分在下面两题中分别指出满足条件的函数是否存在
⎛ n3 ( 2n + 1) n3 ( 4n + 4 ) n3 ( 6n + 9 ) ⎞ ⎜ ⎟○ 2 lim =n + 2 + 2 2 2 2 →∞ ⎜ 2 ⎟ 3 n n 1 n n 2 n n + + + ( ) ( ) ( ) ⎝ ⎠
(2)
= 2 + 4 + 6 = 12. ○ 2
lim
x →0
∫ 3、 lim
x→ 0
t sin 3 t d t
2 3
x sin x
=
4、 y = ln (1 − x ) , 则 y ( ) =
−
( n − 1)! n (1 − x )
.
5、 ∫ x 2 arctan x d x = 6、 ∫
1
1 3 1 1 x arctan x − x 2 + ln (1 + x 2 ) + C . 3 6 6 2 1 π 1 x arccos d x = . − x 4 2