新高考押题卷2卷+答案解析(附后)

1. 设集合，
，则
名师新高考模拟卷（二）
( )
A.
B.
C.
D.
2. 若复数z 满足，则z 的虚部为( )
A.
B.
C. D.
3. 一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为，若它的两底面边长分别为60m
和50m ，则此时鱼塘的水深( )
A. 2m
B.
C. 3m
D. 4m
4. 非零实数a ，b ，c 满足，
，
成等差数列，则
的最小值为( )
A. B.
C. 3
D.
5. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为
，且有，则不等式
的解集为( )
A. B.
C. D.
6. 设数列
的前n 项和为，点
均在函数
的图象上，
，则数列
的前2n 项之和为( )
A. B. C. D.
7. 已知的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若
，则
外接圆的半径为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8. 正方体
中，
，M 为平面
内的动点，且满足
，则
的取值范围为( )
A. B. C.
D.
9. 某校组织了300名学生参与测试，随机抽取了40名学生的考试成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 图中a的值为
B. 估计这40名学生考试成绩的众数为75
C. 估计这40名学生考试成绩的中位数为82
D. 估计这40名学生考试成绩的上四分位数约为85
10. 据新华社电，记者3月12日从中国卫星导航系统管理办公室了解到，北斗三号全球卫星导航系统自2020年建成开通以来，运行连续稳定可靠，持续提供功能强大的卫星导航服务，高精度、短报文等特色服务能力已得到充分验证.北斗导航能实现“天地互通”的关键是信号处理，其中某语言通讯的传递可以用函数
，近似模拟其信号，为的导函数，则下列说法正确的是( )
A. 为偶函数
B. 的图象关于点对称
C. 的最小正周期是
D. 的最大值为5
11. 已知函数定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的有( )
A. 函数的周期为2
B. 函数的周期为4
C. 函数的图像关于点中心对称
D. 若，则
12. 已知双曲线与椭圆有相同的左、右焦点
，且在y轴右侧交于两点，轴.设双曲线的左、右顶点分别为，双曲线与椭圆的离心率分别为，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C. 当时，
D. 若P为直线MN上除去的点，当的外接圆面积最小时，点P恰好落在或
处，则
13. 已知幂函数，指数函数且，若在上的最大值为27，则__________.
14. 根据某机构对失事的飞机的调查得知：失踪的飞机中有的后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪的飞机中，有未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为__________
15. 已知点A的坐标为，点P是抛物线的点，则使得是等腰三角形的点P的个数是__________.
16. 某生物科学研究院为了研究新科研项目需建筑如图所示的"生态穹顶"建筑不计厚度，长度单位：，其中上方为半球形，下方为圆柱形，按照设计要求"生态穹顶"建筑的容积为，且其中l为圆柱的高，r为半球的半径，假设该"生态穹顶"建筑的建造费
用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为万元，当_____________m时该"生态穹顶"建筑的总建造费
用最少公式：，
17. 已知数列的前n项和为，且___请在①
；②是公差为1的等差数列；③是
公比为3的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
求的通项公式;
在与之间插入n个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，数列
的前n项和证明：
18. 已知平面向量，，记，
对于，不等式其中恒成立，求的最大值．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a，b，c成等比数列，求的值.
19. 排序集抽样是澳大利亚农学家McIntyre在估计牧草产量时提出的一种抽样方法，在相同样本容量下比简单随机抽样包含更多的总体信息，例如我们需要估计植物园树木高度，由于受到费用和时间的限制，我们只能抽取5棵进行实际测量，利用排序集抽样方法.首先，从植物园随机抽取25棵树，，将它们随机地划分为5组，每组5棵，利用视觉上的比较对每一组树木高度进行由小到大排序，从第一组抽出高度最小的那棵树，从第二组抽出高度第二的树木，最后一组抽出高度最高的那颗，这样，最终得到了5棵树，某地推动乡村振兴发展，推广柑橘种植，经品种改良，农民经济收入显著提高.为了解改良效果，合作社工作人员
在该农村地区利用排序集抽样方法从2000棵果树抽取20棵测量果实平均直径单位：
得到数据如下：
根据经验，果实平均直径服从正态分布，以样本平均数作为的估计值，样本
标准差s作为的估计值为提高果实品质，需要将直径小于的果实提前去除，果实直径大于的即为优果，在该种培育方法下，平均每棵果树结果50个.经计算得，
估计优果的个数；
为进一步提升柑橘质量，需要清除果实较小的果树，专家建议在每棵果树中抽取n个测
量果实直径，如果出现果实小于的果实，则认为该果树为果实较小.
试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；
根据小概率值及中结论确定n的值，估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数.
附：若，则；，，
20. 如图，棱长为2的正方体中，P 为线段上动点.
证明：平面；
当直线BP与平面所成的角正弦值为时，求点D到平面的距离.
21. 已知点P为线段上一点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为，直线分别与x轴交于点，记的面积为，的面积为
求证：直线AB过定点；
若存在点P，使得，求p的取值范围.
22. 已知函数，
讨论函数的极值点；
若是方程的两个不同的正实根，证明：
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合运算，属于基础题.
【解答】
解：集合，则
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查复数的运算，以及复数虚部的概念，属于基础题．
根据已知条件，结合复数的四则运算和复数模的公式，对z化简，再结合复数虚部的概念，即可求解．
【解答】
解：，
，
，
的虚部为
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了台体的体积公式，属于基础题.
根据棱台的体积公式可由体积直接计算出水深．
【解答】
解：由于台体的体积，
则
故此时水深为
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查基本不等式的求解，注意等差数列性质的使用，属于中档题.
【解答】
解：，，成等差数列，则有，则有，
则，
，当且仅当时取等号.
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查利用导数判断函数的单调性，利用单调性解不等式，属于中档题.
根据题意，令，，对求导分析可得在递增，原问题转化为，根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解出即可．
【解答】
解：根据题意，令，，故，
而，故时，，单调递增，
，即，
则有，则有，
解得，
故不等式的解集为
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的通项公式，裂项法求和，属于中档题.
【解答】
解：由已知得，故
当时，，解得，
故是以2为首项，2为公比的等比数列，，
，
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.
【解答】
解：
将代入得①
又由余弦定理知②
由①②得，
其中为锐角且
当且仅当时等号成立
即，得
得
，，即外接圆的半径为
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查几何体中的动点轨迹问题，考查向量与椭圆的综合应用，属于较难题.
【解答】
解：取CD的中点O，以点O为坐标原点，、、的方向分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点，则，
在平面内，，
所以点M的轨迹是在坐标平面yOz内，以点为焦点，且长轴长为的椭圆，
则，，，所以点M的轨迹方程为，
，
，
当时， .
9.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查了频率分布直方图、众数、中位数、百分位数，属于基础题.
对于A，根据频率之和为1计算即可；对于B，根据频率分布直方图估计众数的方法判断即可；对于C，根据中位数可能所在的区间进行判断；对于D，根据百位分数的估算方法求解即可.
【解答】
解：根据频率和等于1得：，
，故A正确；
由频率分布直方图可知，最高矩形对应区间的中点为75，则估计众数也为75，
故B正确；
，，
可知中位数落在内，即中位数的估计值不是82，故C错误；
上图各组对应的频率分别为：，，，，，
上四分位数在内，设第75百分位数约为x，则：，得，故D正确.
10.【答案】AB
【解析】
【分析】
本题考查三角函数的周期性、对称性、奇偶性以及最值的问题，复合函数的导数，属于中档题．【解答】
解：对于A选项，函数的定义域R关于原点对称，
，
所以函数为偶函数，故A正确；
对于B选项，
，即，
又为偶函数，故，
故函数的图象关于点对称，即B正确；
对于C选项，，
所以对于函数定义域中任意一个自变量x，不恒成立，
因此其最小正周期不是，故C错误；
对于D选项，
，
当，，，，同时取最小值时，取最大值5，
当时，，则，
即，不能同时取最小值，故取不到最大值5，即D错误.
11.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性的分析，属于中档题．
根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得，得出函数的周期性和对称性，综合即可得答案.
【解答】
解：因为为偶函数，
所以，
则，
因为为奇函数，
所以，
则，，
所以，
则，，
函数的周期为4，故A错误，B正确；
因为，
所以函数的图象关于点中心对称，
函数的周期为4，所以函数的图象关于点中心对称，故C正确；
若，，令，则，
因为，令，，
因为，令，则，
所以所以
，故D正确.
12.【答案】ACD
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的离心率问题，属于较难题.
【解答】
解：对于A选项：由M为双曲线与椭圆的公共点可知，
，
轴
，即，
，故A正确；
对于B选项：，当时，，故B错误；
对于C选项：，，
故，故C正确；
对于D选项：由题知直线MN的方程为，设点，点P的坐标为，当的外接圆面积取最小值时，取到最大值，
由，可得
，
当且仅当即时，取最大值，即取最大值，
，，故，
，故，
，故D正确.
13.【答案】3
【解析】
【分析】
本题考查幂函数和指数函数求值，属于基础题．
【解答】
解：由题知，，且，则在上单调递增，故，
则，，
故答案为
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查条件概率和全概率公式的应用，属中档题.
确定失踪的飞机后来被找到和未被找到的概率，以及被找到的飞机中装有紧急定位传送器的概率和未被找到装有紧急定位传送器的概率，由全概率公式变形后计算装有紧急定位传送器的失踪飞机被找到的概率．
【解答】
解：设事件“失踪的飞机后来被找到”，事件“失踪的飞机后来未被找到”，
事件“安装有紧急定位传送器”，
则，，，，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为：
，
故答案为
15.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线位置关系及其应用，属于中档题.
【解答】
解：①若，则P为直线与抛物线的交点，此时满足条件的P点有2个；
②若，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，即圆与抛物线的交点，此时满足条件的P点有2个；
③若，则P为以A为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，即圆
与抛物线的交点，联立方程组可得，故两条曲线除原点外无其它交点，此时满足条件的P点有0个.
故答案为
16.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查了组合体的表面积和体积，以及导数在实际问题中的应用，属于难题.
根据题意确定总建造费用与半径的函数关系式，再利用导数确定总建造费用最少时r的值．
【解答】
解：设该建筑的容积为，由题意，知，
又，故
由于，因此，
设建筑的总建造费用为y万元，则
，
于是，
由于，所以，
当时，，
所以在上单调递减，
故当时，建筑的总建造费用y取最小值.
17.
【答案】解：若选①：当时，，所以
，
故因为
所以，则，
累加得故，
当时，满足，故
若选②，数列是公差为1的等差数列，首项为，
故，则，
两式相减得，则…，
累加得，
当时，满足，故
若选③，数列是公比为3的等比数列，首项为，
故，则，
累加得故，
当时，满足，故
由于，所以
所以①，
故②，
①-②，得
，
即
【解析】本题考查求数列的通项公式，错位相减法求和，考查数列与不等式问题，属于中档题.
18.【答案】解：由，，
得
又，则，故，
，故，，
则的最大值为
即
又，得，
因为a，b，c成等比数列，所以
由正弦定理，得
又
故
【解析】本题考查平面向量的数量积，三角函数的恒成立问题，三角恒等变换的综合应用，及利用正弦定理解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：根据题意，20棵样本果树中果实平均直径大于的有3棵，
所以该农村地区2000棵果树中果实平均直径大于的有棵，
平均每棵果树结果50个，
所以估计优果的个数为个；
因为，
所以，
所以，
n个测量果实直径，出现果实小于的果实的概率为：
，
当n越来越大时，越来越小，越来越大，
所以试说明此种方案犯错误的概率会随着摘取果实数的增加而增加；
得，
，
因为n为整数，所以，
估计该地所有果树中需要检验的果实的总个数为个.
【解析】本题考查正态分布的概率、均值、方差，n次独立重复试验及其概率计算，属于中档题.
根据样本估计总体的思想求解即可；根据正态分布和独立重复试验的二项分布规律即可求解.
20.
【答案】解：由正方体中可知，，
，
四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，同理可证平面，
又平面，平面，且，
平面平面，
又平面，
平面
以D为坐标原点，分别以DA、DC、所在的直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则，，，，，，
可得，，，
设，，
可得，则，
又设平面的一个法向量为，
则，即，取，可得，
又设直线BP与平面所成的角为，
则，，即，
解，即点P为的中点，
设当点P为的中点时，点D到平面的距离为d，
由，得
，即点D到平面的距离为
【解析】本题考查点到面的距离、直线与平面所成角、线面平行的判定，属于中档题.
21.【答案】解：设，直线AB的方程为：，过点A的切线，即直线AP的方程为：，则；
过点B的切线，即直线BP的方程为：，则；
则直线AP与直线BP的交点坐标为：，故，
联立得，
，故，
故直线AB过定点；
由知，点，则，
故，
，
所以点，则点P在曲线上，
故曲线与线段有公共点，
则，即
综上所述：
【解析】本题考查抛物线中的定点问题，面积问题，属于较难题.
22.【答案】解：由题可知即可知定义域为
令即则
①当即时，恒成立，
则可得函数在上单调递增，无极值点；
②当即时，
方程的根为：
则可知时，，即函数单调递增；
时，，即函数单调递减；
时，，即函数单调递增；
所以函数的极大值点为，极小值点为
方程即
令
在上单调递减，在上单调递增．
又因为函数有两个零点，所以，即，解得
且，两式相减可得：
由题可知两根都为正实数且设
所以
要证
只需证明：，
只需证明
只需证明
只需证明
记，
则
在上单调递减，
，即证
【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间、极值点，利用分析法证明不等式成立等，属于较难题．
利用导数研究函数的单调性，注意对判别式以及a的取值分类讨论求得极值点；
利用函数与方程的关系即零点与方程的根的关系，构造函数、利用分析法等证明不等式成立．。