第五章数列第2课时(高考总复习·数学文)

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第五章
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1 (1)由 2an＋ 1＝ 1＋ 2an 得 an＋ 1－ an＝ ，所以数列{ an} 2 1 是首项为－ 2，公差为 的等差数列，∴ S10＝ 10× (－ 2)＋ 2 10×（ 10－ 1） 1 5 × ＝ . 2 2 2 (2)∵ { an}是等差数列， Sm－ 1＝－ 2， Sm＝ 0， ∴ am＝ Sm－ Sm－ 1 ＝ 2. ∵ Sm＋ 1＝ 3，∴ am＋ 1 ＝Sm＋ 1 － Sm＝ 3， ∴ d＝ am＋ 1－ am＝ 1. m（ a1＋ am） m（ a1＋ 2） 又 Sm＝ ＝ ＝ 0， 2 2 ∴ a1＝－ 2，∴ am＝－ 2＋ (m－ 1)· 1＝ 2，∴m＝ 5. [解析]
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(2)求等差数列前 n 项和 Sn 最值的两种方法： ①函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn＝ an2＋ bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． ②邻项变号法： am≥ 0 a．a1 >0，d<0 时，满足 的项数 m 使得 Sn 取得最大值 am＋ 1 ≤ 0 为 Sm；
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等差数列的性质及最值 (1)(2014· 河北石家庄市质量检测)已知等差数列{an}满 足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为( )
A．8
C．10
B．9
D．11
(2)(2014· 湖北武汉市武昌区联考)已知数列{an}是等差数列，a1 ＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使 得Sn达到最大的n是( A．18 C．20 B．19 D．21
(1)已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an＋ 2Sn· Sn－ 1
1 1 是等差数列； ＝ 0(n≥ 2)， a1＝ . 求证： Sn 2
(2)两个正项数列{ an}， { bn}(n∈ N* )中，已知 an， b2 n， an＋1 成
2 等差数列， b2 ， a ， b ＋ n n 1 n＋ 1成等比数列，证明：数列 { bn}是等
第3项或第4项起是一个等差数列)；
(2)概念中的“同一个常数”十分重要．如果一个数列，从第 2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，但不是同
一个常数，那么这个数列就不是等差数列．
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(2)等差中项 什么是等差中项？
提示：由三个数 a， A， b 组成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b a＋ b 的等差中项，即 A＝ . 2
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第2课时
等差数列及其前n项和
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1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
等差数列如何定义的？ 提示：如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于
同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
定义中的常数叫什么？ 提示：公差．
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温馨提示：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数 列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一 项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列(但可以说从
(1)(2014· 江西南昌市模拟测试 )在数列{ an}中，若 a1＝－ * 2，且对任意的 n∈ N 有 2an＋1＝ 1＋ 2an，则数列{ an}前 10 项 的和为 ( ) A． 5 B． 10 5 5 C. D. 2 4 (2)(2013· 高考课标全国卷Ⅰ )设等差数列{ an}的前 n 项和为 Sn， 若 Sm－ 1 ＝－ 2， Sm＝ 0， Sm＋ 1＝ 3，则 m＝( ) A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
[答案] (1)C
(2)C
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(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1， an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程 解决问题的思想． (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的 作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知 和未知是常用方法．
a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为( A．S7 C．S5 B．S6 D．S4 )
a4 ＋ a7＝ a5＋ a6 <0 a5 >0 解析：选 C.∵ ，∴ ，∴ Sn 的最大值为 a6 <0 a5 >0
S5 .
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4．(2013· 高考重庆卷)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0, 64 Sn为其前n项和,若a1，a2，a5成等比数列,则S8＝________.
n（n－1） 选用公式 Sn＝na1＋ d __________________ 2
温馨提示：在 d≠ 0 时，an 是关于 n 的一次函数，一次项系数 d 为 d;Sn 是关于 n 的二次函数,二次项系数为 ,且常数项为 0. 2
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4．等差数列的性质 已知数列 { an} 是等差数列， Sn 是其前 n 项和．
a1 ＋ d＝ 3 解析：选 A.依题意得 ，由此解得 d＝ 1， a1＝ 2， 2a1 ＋ 5d＝ 9
a6 ＝ a1＋ 5d＝ 7， a1 a6＝ 14.
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2．(2013· 高考安徽卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝
4a3，a7＝－2，则a9＝(
A．－6 C．－2 B．－4 D．2
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2．通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么通项公式为an a1＋(n－1)d，n∈N* ＝_______________________ ． 3．等差数列的前n项和 已知条件 首项a1，公差d 首项a1，末项an
n（a1＋an） Sn＝ ________________ 2
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2．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．
解： (1)设等差数列{ an}的公差为 d， 由 a1＝ 1， a3＝－ 3，可得 1＋ 2d＝－ 3，解得 d＝－ 2. 从而 an＝ 1＋ (n－ 1)× (－ 2)＝ 3－ 2n. (2)由 (1)知 an＝ 3－ 2n， n[1＋（ 3－ 2n）] ∴ Sn＝ ＝ 2n－ n2 . 2 由 Sk＝－ 35 得 2k－ k2＝－ 35. 即 k2－ 2k－ 35＝ 0，解得 k＝ 7 或 k＝－ 5. 又 k∈ N*，故 k＝ 7.
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[解析]
(1)由 Sn－ Sn－3 ＝ 51 得， an－2＋ an－ 1＋ an＝ 51，所以
n（ a2＋ an－ 1） an－ 1＝ 17.又 a2＝ 3， Sn＝ ＝ 100，解得 n＝ 10. 2 (2)a1＋ a3＋ a5 ＝ 105⇒ a3＝ 35， a2＋ a4＋ a6＝ 99⇒ a4＝ 33， 则 { an} 的公差 d＝ 33－ 35＝－ 2， a1＝ a3－ 2d＝ 39，Sn＝－ n2＋ 40n， 因此当 Sn 取得最大值时， n＝ 20.
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1 法二： bn＋1＝ a1＋ nd， 2 1 bn＋ 2＝ a1＋ (n＋ 1)d， 2 1 1 ∴ bn＋2＋ bn＝ a1＋ (n＋ 1)d＋ a1＋ (n－ 1)d 2 2 ＝ 2a1＋ nd＝ 2bn＋ 1. ∴数列 { bn}是等差数列．
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等差数列基本量的计算
[答案] (1)C
(2)C
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(1)等差数列的性质： am－ an ①项的性质： 在等差数列{ an}中， am－ an＝(m－ n)d⇔ ＝ m－ n d(m≠n)，其几何意义是点(n， an)， (m， am)所在直线的斜率 等于等差数列的公差． ②和的性质：在等差数列{ an}中， Sn 为其前 n 项和，则 a． S2 n＝ n(a1＋ a2 n)＝„＝n(an＋ an＋ 1)； b． S2 n－ 1＝(2n－ 1)an.
解析：∵ a1， a2， a5 成等比数列，∴ a2 ＝ a1 a5， ∴ (1＋ d)2＝ 1× (4d＋ 1)，∴ d2 － 2d＝ 0. ∵ d≠ 0，∴ d＝ 2. 8× 7 ∴ S8＝ 8× 1＋ × 2＝ 64. 2
2
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－2 5．在等差数列40,37,34,„中,第一个负数项是________ ．
(n－m)d n，m∈ N )． (1)通项公式的推广： an＝ am＋ ________(
*
ak＋al＝am＋an ． (2)若 k＋ l＝m＋ n(k，l， m， n∈ N* )， 则 ________________
(3) 若 { an} 的 公差 为 d ，则 { a2 n} 也是 等差 数列 ，公 差为
2d ___________ ．
(4)若 { bn}是等差数列，则 { pan＋ qbn}也是等差数列． (5)数列 Sm， S2 m－ Sm， S3 m－ S2 m，„构成等差数列．
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1．(2014· 海淀区高三年级期中练习)等差数列{an}中，a2 ＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为( A．14 C．21 B．18 D．27 )
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等差数列的判定方法： (1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an－an－1为同一常数;
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
注意：在解答题中常应用定义法和等差中项法,而通项公式法
解析：∵ a1＝ 40， d＝ 37－ 40＝－ 3， ∴ an＝ 40＋ (n－ 1)×(－ 3)＝－ 3n＋ 43， 43 令 an<0，即－ 3n＋ 43<0，解得 n> ， 3 故第一个负数项是第 15 项，即 a15＝－ 3× 15＋ 43＝－ 2.
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等差数列的判断与证明
和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.
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Sn 1．已知 Sn 为等差数列 { an}的前 n 项和， bn＝ (n∈ N* )． n 求证：数列 {bn}是等差数列．
证明：设等差数列 { an}的公差为 d， 1 则 Sn＝na1＋ n(n－ 1)d， 2 Sn 1 ∴ bn＝ ＝ a1＋ (n－ 1)d. n 2 d 1 1 法一： bn＋1－ bn＝ a1＋ nd－ a1－ (n－ 1)d＝ (常数 )， 2 2 2 ∴数列 { bn}是等差数列．
差数列．
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[证明] (1)∵ an＝ Sn－ Sn－1 (n≥ 2)， 又 an＝－ 2Sn· Sn－ 1，∴ Sn－ 1－ Sn＝ 2Sn· Sn－1， Sn≠ 0. 1 1 ∴ － ＝ 2(n≥ 2)． S n S n－ 1 1 1 1 由等差数列的定义知 是以 ＝ ＝2 为首项，以 2 为公差 Sn S1 a1 的等差数列． 2 2 b n＝ an＋ an＋ 1， ① (2)由题意知 2 2 a n＋ 1＝ b2 b n n＋ 1. ② 又∵ { an}， { bn}为正项数列，∴ an＋1＝ bn· bn＋ 1，代入①式得 2b2 n＝ bn－1· bn＋ bn· bn＋ 1， ∴ 2bn＝ bn－ 1＋ bn＋ 1 (n≥ 2)， ∴数列 { bn}是等差数列．
)
解析：选 A.由等差数列性质及前 n 项和公式，得 S8＝ 8（ a1＋ a8 ） ＝ 4(a3＋ a6 )＝ 4a3，所以 a6＝ 0.又 a7＝－ 2，所以 2 公差 d＝－ 2，所以 a9＝ a7＋ 2d＝－ 6.
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3．(2014· 深圳市高三年级调研考试)等差数列{an}中，已知
am≤ 0 b．当 a1 <0， d>0 时，满足 的项数 m 使得 Sn 取得最 am＋ 1 ≥ 0
小值为 Sm.
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3．(1)(2014· 广东江门模拟)等差数列{an}前17项和S17＝51，则
a5－a7＋a9－a11＋a13等于(