中值及相关定理-连续函数的介值定理-零点定理-费马引理

中值及相关定理：连续函数的介值定理，零点定理，费马引理 Cauthy Lagrange Rolle ,,
注意要点：1.验证定理条件
2.构造辅助函数
中值定理条件：1）在闭区间
[],a b 上连续 2）在开区间
(),a b 内可导 罗尔定理：1）+2）+3）()()()()(),,,'0.f a f b a b a b f ξξξ=⇒<<=有一点使得 拉格朗日：1）+2）=有一点()()()(),'.f b f a a b f b a
ξξξ-<<=-使得 柯西：1）+2）+3）()()()()()()()''
0.'f b f a f F x F b F a F ξξ-≠⇒=-
例题：1若)(x f 在),(b a 可导且)()(b f a f =，则存在什么样的点属于),(b a ，使0)('=ξf 2一些构造函数+中值定理的题：[])(')()()(222ξξf a b a f b f -=-.
2211sin '()tan '()2cos a b f f ξξξξ+= 3设R x x f ∈>,0)("，任取),(,b a c x ∈且c x ≠， 求证：
)()()()()()())(('a f a x a
b a f b f x f
c f c x c f +---<<+-，即曲线介于切线与割线之间.
3.2洛必达 4求极限：2
11000lim .x x e x -→ 5设函数
()f x 具有一阶连续导数，且 ()()()201cos 00,'02,lim tan x f x f f x
→-=== 3.3泰勒公式： 6.一些类似的taylor 展开题：1.)(x f 在),(b a 上连续，在),(b a 内有二阶导，若
|)("|4
)(|)()(|,0)(')('2
ξf a b a f b f b f a f -≤-==
2.)(x f 在[]1,0有二阶导，b a b x f a x f ,,|)("|,|)(|≤≤非负，
)1,0(∈c ，求证：.2
2|)('|b a c f +≤ 3.)(x f 在()+∞∞-,上具有二阶导数，且220)("|,|)(|M x f M x f ≤≤，求证：2
02|)('|M M x f ≤
4. 设在[]0,a 上有()()'',f x M f x ≤在()0,a 内存在最大值， 证明：()()'0'f f a aM +≤。