计量经济学习题及参考答案解析详细版

计量经济学习题及参考答案解析详细版
计量经济学（第四版）习题参考答案
潘省初
第⼀章绪论
试列出计量经济分析的主要步骤。

⼀般说来，计量经济分析按照以下步骤进⾏：
（1）陈述理论（或假说）（2）建⽴计量经济模型（3）收集数据（4）估计参数（5）假设检验（6）预测和政策分析计量经济模型中为何要包括扰动项?
为了使模型更现实，我们有必要在模型中引进扰动项u 来代表所有影响因变量的其它因素，这些因素包括相对⽽⾔不重要因⽽未被引⼊模型的变量，以及纯粹的随机因素。

什么是时间序列和横截⾯数据? 试举例说明⼆者的区别。

时间序列数据是按时间周期（即按固定的时间间隔）收集的数据，如年度或季度的国民⽣产总值、就业、货币供给、财政⾚字或某⼈⼀⽣中每年的收⼊都是时间序列的例⼦。

横截⾯数据是在同⼀时点收集的不同个体（如个⼈、公司、国家等）的数据。

如⼈⼝普查数据、世界各国2000年国民⽣产总值、全班学⽣计量经济学成绩等都是横截⾯数据的例⼦。

估计量和估计值有何区别？
估计量是指⼀个公式或⽅法，它告诉⼈们怎样⽤⼿中样本所提供的信息去估计总体参数。

在⼀项应⽤中，依据估计量算出的⼀个具体的数值，称为估计值。

如Y
就是⼀个估计量，1
n
i
i Y
Y n
==
∑。

现有⼀样本，共4个数，100，104，96，130，则
根据这个样本的数据运⽤均值估计量得出的均值估计值为
5.1074
130
96104100=+++。

第⼆章计量经济分析的统计学基础
略，参考教材。

请⽤例中的数据求北京男⽣平均⾝⾼的99％置信区间
N
S S x =
=
4
5= ⽤
也就是说，根据样本，我们有99%的把握说，北京男⾼中⽣的平均⾝⾼在⾄厘⽶之间。

25个雇员的随机样本的平均周薪为130元，试问此样本是否取⾃⼀个均值为120元、标准差为10元的正态总体？原假设120:0=µH
备择假设 120:1≠µH 检验统计量
()
10/2510/25
X
X µσ-Z ==
==
查表96.1025.0=Z 因为Z= 5 >96.1025.0=Z ,故拒绝原假设, 即此样本不是取⾃⼀个均值为120元、标准差为10元的正态总体。

某⽉对零售商店的调查结果表明，市郊⾷品店的⽉平均销售额为2500元，在下⼀个⽉份中，取出16个这种⾷品店的⼀个样本，其⽉平均销售额为2600元，销售额的标准差为480元。

试问能否得出结论，从上次调查以来，平均⽉销售额已经发⽣了变化？原假设 : 2500:0=µH
备择假设 : 2500:1≠µH ()100/1200.83?480/16
X X t µσ-=
=== 查表得 131.2)116(025.0=-t 因为t = < 131.2=c t , 故接受原假设,即从上次调查以来，平均⽉销售额没有发⽣变化。

第三章双变量线性回归模型
判断题（说明对错；如果错误，则予以更正）（1）OLS 法是使残差平⽅和最⼩化的估计⽅法。

对
（2）计算OLS 估计值⽆需古典线性回归模型的基本假定。

对
（3）若线性回归模型满⾜假设条件（1）～（4），但扰动项不服从正态分布，则尽管OLS 估计量不再是BLUE ，但仍为⽆偏估计量。

错
只要线性回归模型满⾜假设条件（1）～（4），OLS 估计量就是BLUE 。

（4）最⼩⼆乘斜率系数的假设检验所依据的是t 分布，要求β
的抽样分布是正态分布。

对
（5）R 2＝TSS/ESS 。

错
R 2 =ESS/TSS 。

（6）若回归模型中⽆截距项，则0≠∑t e 。

对
（7）若原假设未被拒绝，则它为真。

错。

我们可以说的是，⼿头的数据不允许我们拒绝原假设。

（8）在双变量回归中，2
σ的值越⼤，斜率系数的⽅差越⼤。

错。

因为
∑=2
2
)?(t
x Var σβ
，只有当∑2
β?分别表⽰Y 对X 和X 对Y 的OLS 回归中的斜率，证明 YX β?XY β?＝2r r 为X 和Y 的相关系数。

证明：
2222
2
222
()i i
i i
i i YX
XY
i
i
i
i i YX XY
i i x y y x x y
x
y
y
x y x y
r x y ββββ===
===∑∑∑∑∑∑∑∑∑
证明：
（1）Y 的真实值与OLS 拟合值有共同的均值，即
Y n
Y n
Y ==∑∑?；
（2）OLS 残差与拟合值不相关，即 0?=∑t t e Y 。

（1）
，得
两边除以，
＝n ?0?)
(∑∑∑∑∑∑∑∑=
t t t t Y
Y e e Y Y e Y
Y e Y Y Θ
Y n
Y n
Y ==∑∑?，即Y 的真实值和拟合值有共同的均值。

（2）
的拟合值与残差⽆关。

，＝，即因此，（教材中已证明），由于Y 0?
),(00,0e )(2
2
t
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑====+=+=t
t
t
t t
t
t
t t
t t
t t
t
t
t
t e
Y e Y e Y Cov e Y
e X e
X e e X e Y βαβα证明本章中（）和（）两式：
（1）∑∑=2
2
2)?(t
t x n X Var σα
X Cov σβα
（1）
22222
222
2
221112
2
2
2
22
2
,()?2u()()?()
2()()()()?2
()()?2
()i
i
t t
t
i n n n t
i
i j i i
i j i j
i j i j
t
Y X Y X u u X u X X u u x u X X n
n x
u u u x u x u X X n n x u
u u x u
x x u u X n
n x α
βαβα
ββββ
β≠≠=+=++-=---=--+-=-??+-++=
-?+-+++=
-?+-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑L L （）2X
222
222
222
2
2
2
22
22
()??2E()1(()2())()2i i j i i i j i j i j i j t i i j i j i i j i j i i i j i j i j
t u u u x u x x u u E E XE X n n x u u u E E u E u u n n n n
x u x x u u XE n x ααββσ
σ≠≠≠≠≠+++ ???-=-
?
+ ?=+=
=
++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑两边取期望值，有：（）－＋等式右端三项分别推导如下：22
2
2
222
22
22222
2
0?E()()?[]0i
i i i j i j i i j
t t t t t
t t
t x X
x E u x x E u u X
x n x n x X X x x nX X X E n x n x n x σσββσσσσαα≠?? ? ?
=++==-=
+-=-+==∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑Q （＝）
因此
（）∑∑=2
2
2)?(t
t x n X Var σα
即
（2）
222
2
,()(,)[()][(())()][(()][()]?0()01?()t Y X Y X u u X Cov E E u X E u XE XE XVar X x αβαβα
αββαβααβ
ββββββ
ββββββ
σ=+=++-=--=--=---=---=--=-=-
∑（）（第⼀项为的证明见本题（））
考虑下列双变量模型：模型1：i i i u X Y ++=
21ββ
模型2：i i i u X X Y +-+=)(21αα（1）1
和1
的OLS 估计量相同吗？它们的⽅差相等吗？（2）2和
1??ββ-=，注意到 n
x n x x x n x Var x n X Var Y x Y x x X X x i
i i i i
i i i i 2
2
2
22
2
212
2
2121)
()?()?(??,0,0,σσσα
σβαα=
=
-==-==-=∑∑∑∑∑∑∑＝＝则我们有从⽽
由上述结果，可以看到，⽆论是两个截距的估计量还是它们的⽅差都不相同。

（2）∑∑∑∑∑∑∑==---==2222
2
2
222
)?()?()())((?,?i
i
i
i
i
i
i
i
i
i x
Var Var x
y
β＝容易验证，
这表明，两个斜率的估计量和⽅差都相同。

有⼈使⽤1980－1994年度数据，研究汇率和相对价格的关系，得到如下结果：
)
333.1()22.1(:528
.0318.4682.6?2Se R X Y
t t =-=
其中，Y ＝马克对美元的汇率
X ＝美、德两国消费者价格指数（CPI ）之⽐，代表两国的相对价格（1）请解释回归系数的含义；（2）X t 的系数为负值有经济意义吗？
（3）如果我们重新定义X 为德国CPI 与美国CPI 之⽐，X 的符号会变化吗？为什么？
（1）斜率的值－表明，在1980－1994期间，相对价格每上升⼀个单位，（GM/$）汇率下降约个单位。

也就是说，美元贬值。

截距项的含义是，如果相对价格为0，1美元可兑换马克。

当然，这⼀解释没有经济意义。

（2）斜率系数为负符合经济理论和常识，因为如果美国价格上升快于德国，则美国消费者将倾向于买德国货，这就增⼤了对马克的需求，导致马克的升值。

（3）在这种情况下，斜率系数被预期为正数，因为，德国CPI 相对于美国CPI
越⾼，德国相对的通货膨胀就越⾼，这将导致美元对马克升值。

随机调查200位男性的⾝⾼和体重，并⽤体重对⾝⾼进⾏回归，结果如下：
)
31.0()15.2(:
81
.031.126.76?2Se R Height eight W =+-=
其中Weight 的单位是磅（lb ），Height 的单位是厘⽶（cm ）。

（1）当⾝⾼分别为177.67cm 、164.98cm 、187.82cm 时，对应的体重的拟合值为多少？
（2）假设在⼀年中某⼈⾝⾼增⾼了3.81cm ，此⼈体重增加了多少？（1）
78.16982.187*31.126.76?86.13998.164*31.126.76?49.15667.177*31.126.76?=+-==+-==+-=eight W
eight W
eight W
（2）99.481.3*31.1*31.1?==?=?height eight W
设有10名⼯⼈的数据如下： X 10 7 10 5 8 8 6 7 9 10 Y
11 10 12 6 10 7 9 10 11 10
其中 X=劳动⼯时， Y=产量
（1）试估计Y=α+βX + u （要求列出计算表格）；（2）提供回归结果（按标准格式）并适当说明；（3）检验原假设β=。

(1)
6.910/96===∑n Y Y t 810/80===∑n X X t
75.028/21?2===∑∑t t t x y x β 6.38*75.06.9*??=-=-=X Y βα估计⽅程为: t
t X Y 75.06.3?+= （2）
222??(2)()(2)(30.40.75*21)/8 1.83125
t t t t
e n y x y n σβ=-=--=-=∑∑∑
934.2??)?(/?2===∑t
x
Se t σ
βββ
β
733.1??)?(/?2
2===∑∑t
t
x n X Se t σ
α
αα
22
2
2===∑∑∑t
t
t t y x y x R 回归结果为（括号中数字为t 值）：
t
t X Y 75.06.3?+= R 2= 说明：
X t 的系数符号为正，符合理论预期，表明劳动⼯时增加⼀个单位,产量增加个单位,
拟合情况。

R 2
为，作为横截⾯数据，拟合情况还可以.
系数的显著性。

斜率系数的t 值为，表明该系数显著异于0，即X t 对Y t 有影响.
(3) 原假设 : 0.1:0=βH
备择假设 : 0.1:1≠βH
检验统计量 ??( 1.0)/()(0.75 1.0)/0.25560.978t Se β
β=-=-=- 查t 表, 0.025(8) 2.306c t t == ,因为│t │= < ,
故接受原假设:0.1=β。

⽤12对观测值估计出的消费函数为Y=+，且已知2?σ
=，X =200，∑X 2=4000，试预测当X 0=250时Y 0的值，并求Y 0的95%置信区间。

对于x 0=250 ，点预测值 0?y
=10+*250= 0?y
的95%置信区间为:
00.025?(122)*y
t σ±-
2352350.29=±=±
即－。

也就是说,我们有95%的把握预测0y 将位于⾄之间. 设有某变量（Y ）和变量（X ）1995—1999年的数据如下:
(1) 试⽤OLS 法估计 Y t = α + βX t + u t （要求列出计算表格）；
(2) 22?R σ求和；
(3) 试预测X 0=10时Y 0的值，并求Y 0的95%置信区间。

（1）列表计算如下：
35/15===∑n Y Y t 115/55===∑X X t
365
.074/27?2
===∑∑t
t
t x
y x β015.111*365.03*??-=-=-=X Y βα
我们有：t
t X Y 365.0015.1?+-= (2)
048.03/)27*365.010()2()?()2222=-=--=-=∑∑∑n y x y n e t
t t t βσ 985.0)10*74/27()(222
2
2===∑∑∑t t
t t y x y x R
(3) 对于0X =10 ,点预测值 0
Y =+*10= 0Y 的95%置信区间为:
∑-++-±2
20025.00)(/11?*)25(?x
X X n t Y σ
=770.0635.274/)1110(5/11*048.0*182.3635.22±=-++± 即－,也就是说,我们有95%的把握预测0Y 将位于⾄之间.
根据上题的数据及回归结果，现有⼀对新观测值X 0＝20，Y 0＝，试问它们是否可能来⾃产⽣样本数据的同⼀总体？问题可化为“预测误差是否显著地⼤？”
当X 0 =20时，285.620365.0015.1?0=?+-=Y 预测误差 335.1285.662.7?0
00=-=-=Y Y e
原假设0H ：0)(0=e E 备择假设1H ：0)(0≠e E 检验：
若0H 为真，则
021.4332
.0335
.174
)1120(511048.00335.1)(11?)(2
2
2
000==
-+
+-=
-++-=
∑x X X n e E e t σ
对于5-2=3个⾃由度，查表得5%显著性⽔平检验的t 临界值为：
182.3=c t 结论：
由于 4.021 3.182t =>
故拒绝原假设0H ，接受备则假设H 1，即新观测值与样本观测值来⾃不同的总体。

有⼈估计消费函数i i i C Y u αβ=++，得到如下结果（括号中数字为t 值）：
i C ?＝ 15 + i Y 2R ＝（）（） n=19 （1）检验原假设：β＝0（取显著性⽔平为5％）（2）计算参数估计值的标准误差；（3）求β的95％置信区间，这个区间包括0吗？
（1）原假设 0:0=βH 备择假设 0:1≠βH
检验统计量 5.6)?()0?
(=-=β
βSe t 查t 表,在5%显著⽔平下 11.2)1119(025.0=--t ,因为t=> 故拒绝原假设,即0≠β，说明收⼊对消费有显著的影响。

（2）由回归结果，⽴即可得：
556.57
.215)?(==α
Se 125.05
.681.0)?(==β
Se
（3）的95％置信区间为：。

括所以在这个区间中不包之间在％的把握说也就是说有即为0,074.1~546.095,074.1~546.0264.081.0125.0*11.281.0)?(?2
βββα
±=±=±Se t
回归之前先对数据进⾏处理。

把名义数据转换为实际数据，公式如下：⼈均消费C ＝C/P*100(价格指数)
⼈均可⽀配收⼊Y ＝[Yr*rpop/100+Yu*(1-rpop/100)]/P*100 农村⼈均消费Cr ＝Cr/Pr*100
城镇⼈均消费Cu ＝Cu/Pu*100
农村⼈均纯收⼊Yr ＝Yr/Pr*100 城镇⼈均可⽀配收⼊Yu ＝Yu/Pu*100 处理好的数据如下表所⽰：
年份 C Y Cr Cu Yr Yu 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
根据表中的数据⽤软件回归结果如下：
∧
t
C= + t Y R2=
t： DW=
农村：
∧
t
Cr= + t Yr R2= t： DW=
城镇：
∧
t
Cu= + t Yu R2= t： DW=
从回归结果来看，三个⽅程的R2都很⾼，说明⼈均可⽀配收⼊较好地解释了⼈均消费⽀出。

三个消费模型中，可⽀配收⼊对⼈均消费的影响均是显著的，并且都⼤于0⼩于1，符合经济理论。

⽽斜率系数最⼤的是城镇的斜率系数，其次是全国平均的斜率，最⼩的是农村的斜率。

说明城镇居民的边际消费倾向⾼于农村居民。

第四章多元线性回归模型
应采⽤（1），因为由（2）和（3）的回归结果可知，除X
1
外，其余解释变量的系数均不显著。

（检验过程略）
(1) 斜率系数含义如下:
: 年净收益的⼟地投⼊弹性, 即⼟地投⼊每上升1%, 资⾦投⼊不变的情况下, 引起年净收益上升%.
: 年净收益的资⾦投⼊弹性, 即资⾦投⼊每上升1%, ⼟地投⼊不变
的情况下, 引起年净收益上升%.
拟合情况: 92.01
29)
94.01(*811)1)(1(122
=----=-----
=k n R n R ,表明模型拟合程度较⾼.
(2) 原假设 0:0=αH
备择假设 0:1≠αH
检验统计量 022.2135.0/273.0)?(?===α
α
Se t
查表，447.2)6(025.0=t 因为t=<)6(025.0t ,故接受原假设,即α不显著异于0, 表明⼟地投⼊变动对年净收益变动没有显著的影响.原假设 0:0=βH
备择假设 0:1≠βH
检验统计量 864.5125.0/733.0)
(
===ββ
Se t 查表，447.2)6(025.0=t 因为t=>)6(025.0t ,故拒绝原假设,即β显著异于0,表明资⾦投⼊变动对年净收益变动有显著的影响.（3）原假设 0:0==βαH
备择假设 1H : 原假设不成⽴检验统计量
47)
129/()94.01(2
/94.0)1/()1(/22=---=---=k n R k R F
查表，在5%显著⽔平下14.5)6,2(=F 因为F=47>，故拒绝原假设。

结论,：⼟地投⼊和资⾦投⼊变动作为⼀个整体对年净收益变动有影响.
检验两个时期是否有显著结构变化,可分别检验⽅程中D 和D ?X 的系数是否显著异于0.
(1) 原假设 0:20=βH 备择假设 0:21≠βH
检验统计量
155.34704.0/4839.1)
(22===ββSe t 查表145.2)418(025.0=-t 因为t=>)14(025.0t , 故拒绝原假设, 即2β显著异于0。

(2) 原假设 0:40=βH 备择假设 0:41≠βH
检验统计量
115.30332.0/1034.0)
(44-=-==ββSe t 查表145.2)418(025.0=-t 因为|t|=>)14(025.0t , 故拒绝原假设, 即4β显著异于0。

结论：两个时期有显著的结构性变化。

（1），模型可线性化。

参数线性，变量⾮线性
则模型转换为设,1
,1221x
z x z ==
u z z y +++=22110βββ（2）变量、参数皆⾮线性，⽆法将模型转化为线性模型。

（3）变量、参数皆⾮线性，但可转化为线性模型。

取倒数得：
)(1011
u x e y
++-+=ββ把1移到左边，取对数为：u x y y ++=-101ln
ββ，令则有,1ln y
y z -= u x z ++=10ββ
（1）截距项为，在此没有什么意义。

X 1的系数表明在其它条件不变时，个⼈年消费量增加1百万美元，某国对进⼝的需求平均增加20万美元。

X 2的系数表明在其它条件不变时，进⼝商品与国内商品的⽐价增加1单位，某国对进⼝的需求平均减少10万美元。

（2）Y 的总变差中被回归⽅程解释的部分为96%，未被回归⽅程解释的部分为4%。

（3）检验全部斜率系数均为0的原假设。

)1/(/)1/()1(/2
2--=---=k n RSS k
ESS k n R k R F =19216
/04.02/96.0=
由于F ＝192 F(2,16)=，故拒绝原假设，回归⽅程很好地解释了应变
量Y 。

（4） A. 原假设H 0：β1= 0 备择假设H 1：β 1 0
11?0.221.74?0.0092()
t S ββ=== (16)=，
故拒绝原假设，β1显著异于零，说明个⼈消费⽀出（X 1）对进⼝需求有解释作⽤，这个变量应该留在模型中。

B. 原假设H 0：β2=0
备择假设H 1：β2
2
2
0.1 1.190.084()t S ββ-===<（16）=，
不能拒绝原假设，接受β2=0，说明进⼝商品与国内商品的⽐价（X 2）对进⼝需求地解释作⽤不强，这个变量是否应该留在模型中，需进⼀步研究。

（1）弹性为，它统计上异于0，因为在弹性系数真值为0的原假设下的t 值为：
469.432
.034
.1-=-=
t 得到这样⼀个t 值的概率（P 值）极低。

可是，该弹性系数不显著异于-1，因为在弹性真值为-1的原假设下，t 值为：
06.132
.0)
1(34.1-=---=
t
这个t 值在统计上是不显著的。

（2）收⼊弹性虽然为正，但并⾮统计上异于0，因为t 值⼩于1（85.020.017.0==t ）。

（3）由1
1)1(122-----=k n n R R ，可推出 2211(1)1n k R R n --=---
本题中，2
R ＝，n ＝46，k ＝2，代⼊上式，得2
R ＝。

（1）薪⾦和每个解释变量之间应是正相关的，因⽽各解释变量系数都应为正，估计结果确实如此。

系数的含义是，其它变量不变的情况下，CEO 薪⾦关于销售额的弹性为；系数的含义是，其它变量不变的情况下，如果股本收益率上升⼀个百分点（注意，不是1％），CEO 薪⾦的上升约为％；
与此类似，其它变量不变的情况下，公司股票收益上升⼀个单位，CEO 薪⾦上升％。

（2）⽤回归结果中的各系数估计值分别除以相应的标准误差，得到4个系数的t 值分别为：、8、和。

⽤经验法则容易看出，前三个系数是统计上⾼度显著的，⽽最后⼀个是不显著的。

（3）R 2＝，拟合不理想，即便是横截⾯数据，也不理想。

（1）％。

（2）因为D t 和（D t
t ）的系数都是⾼度显著的，因⽽两时期⼈⼝的⽔平和增长
率都不相同。

1972－1977年间增长率为％，1978－1992年间增长率为％（＝％＋％）。

原假设H 0: β1 =β2，β3 =
备择假设H 1: H 0不成⽴若H 0成⽴，则正确的模型是： u X X X ββY ++++=32110)(
据此进⾏有约束回归，得到残差平⽅和R S 。

若H 1为真，则正确的模型是原模型：
u X βX βX ββY
++++=3322110
据此进⾏⽆约束回归（全回归），得到残差平⽅和S 。

检验统计量是： ()
)
1(---=
K n S g
S S F R ～F(g,n-K-1)
⽤⾃由度（2，n-3-1）查F 分布表，5%显著性⽔平下，得到F C ，如果F< F C , 则接受原假设H 0，即β1 =β2，β3 =0；如果F> F C , 则拒绝原假设H 0，接受备择假设H 1。

（1）2个，111200D D ??==?
⼤型企业中型企业
其他
其他
（2）4个，
111112340000D D D D ====
⼩学初中⼤学
⾼中其他其他其他其他
0123(),019791,
1979
t t t t y D x D x u D t D t ββββ=+++?+=≤=>其中
对数据处理如下：
lngdp ＝ln （gdp/p ） lnk=ln （k/p ） lnL=ln （L/P ）对模型两边取对数，则有 lnY ＝lnA ＋
lnK ＋
lnL ＋lnv
⽤处理后的数据回归，结果如下：
l k dp g
ln 18.0ln 96.026.0?ln ++-= 97.02=R t ：(－
由修正决定系数可知，⽅程的拟合程度很⾼；资本和劳动⼒的斜率系数均显著（t c =）, 资本投⼊增加1％，gdp 增加%，劳动投⼊增加1％，gdp 增加%，产出的资本弹性是产出的劳动弹性的倍。

第五章模型的建⽴与估计中的问题及对策
（1）对（2）对（3）错
即使解释变量两两之间的相关系数都低，也不能排除存在多重共线性的可能性。

（4）对（5）错
在扰动项⾃相关的情况下OLS 估计量仍为⽆偏估计量，但不再具有最⼩⽅差的性质，即不是BLUE 。

（6）对。