2023年安徽省合肥市庐江县庐州学校中考数学模拟试卷(含答案解析)

2023年安徽省合肥市庐江县庐州学校中考数学模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．﹣6的相反数是（）A ．﹣6
B ．﹣
16
C ．6
D ．
16
2．粮食是人类赖以生存的重要物质基础，2021年我国粮食总产量再创新高，达68285万吨．该数据可用科学记数法表示为（）
A ．46.828510⨯吨
B ．46828510⨯吨
C ．76.828510⨯吨
D ．86.828510⨯吨
3．如图是一个放在水平桌面上的半球体，该几何体的三视图中完全相同的是（
）
A ．主视图和左视图
B ．主视图和俯视图
C ．左视图和俯视图
D ．三个视图均相同
4．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（
）
A ．平移
B ．旋转
C ．轴对称
D ．黄金分割
5．如图，Rt ABC △是一块直角三角板，其中90,30C BAC ∠=︒∠=︒．直尺的一边DE 经过顶点A ，若DE CB ∥，则DAB ∠的度数为（
）
A ．100°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
6．如图，ABC 内接于O ，AD 是O 的直径，若20B ∠=︒，则CAD ∠的度数是（
）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．75°
7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（
）
A ．
2
3
B ．1
2
C ．
16
D ．
18
8．如图，扇形纸片AOB 的半径为3，沿AB 折叠扇形纸片，点O 恰好落在 AB 上的点C 处，图中阴影部分的面积为（
）
A ．3π-
B ．3π
C ．2π-
D ．6π9．如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形1111D C B A ；第二次，顺次连接四边形1111D C B A 各边的中点，得到四边形2222A B C D ；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形n n n n A B C D 的面积是（
）
A ．
2n
ab B ．
1
2n ab -C ．
1
2n ab +D ．
22n
ab 二、填空题
10．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；⋯，这类勾股数的特点是：勾为奇数，
弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；⋯，若此类勾股数的勾为2m （3m ≥，m 为正整数），则其弦是______(结
果用含m 的式子表示)．
11．若一元二次方程2430x x -+=的两个根是1x ，2x ，则12x x ⋅的值是__．
12．如图，10AB =，点C 在射线BQ 上的动点，连接AC ，作CD AC ⊥，CD AC =，动点E 在AB 延长线上，tan 3QBE ∠=，连接CE ，DE ，当CE DE =，CE DE ⊥时，BE 的长是______．
13．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，6AB =．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的
点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，
.F 当点M 与点B 重合时，EF 的长为______；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为______．
三、解答题
14．计算：01
2022sin30
2--︒．
15．解方程：
1 12
2 x x
x x
-
=
--
．
16．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
17．观察下面的点阵图形和与之相对应的等式探究其中的规律．
①•→4×0＋1＝4×1﹣3；
②→4×1＋1＝4×2﹣3；
③→4×2＋1＝4×3﹣3；
④→；
⑤→．
（1）请在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式；
（2）猜想第n（n是正整数）个图形相对应的等式为.
18．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC
的长（结果精确到1m．参考数据：sin700.94cos700.34tan70 1.73
︒≈︒≈︒≈≈
,,）．
19．首届全民阅读大会于2022年4月23日在北京开幕，大会主题是“阅读新时代·奋进新征程”．某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：××中学学生读书情况调查报告
调查主题××中学学生读书情况调查方式
抽样调查
调查对象
××中学学生
数据的收集、整理与描述
第一项
您平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）A ．8小时及以上；B ．6～8小时；C ．4～6小时；D ．0～4小时．
第二项
您阅读的课外书的主要来源是（可多选）E ．自行购买；F ．从图书馆借阅；G ．免费数字阅读；H ．向他人借阅．
调查结论
……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
(1)求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；(2)估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；(3)该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．20．阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程
2
0(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应的二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象（称为抛物线）与x 轴交点的横坐标．抛物线与x 轴的交点
有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x 轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（2b a -，2
44ac b a -）和一元二次方程根的判别式2
4b ac =-△，
分别分0a >和a<0两种情况进行分析：（1）0a >时，抛物线开口向上．
①当2
40b ac =-> 时，有240ac b -<．∵0a >，∴顶点纵坐标2
404ac b a -<．
∴顶点在x 轴的下方，抛物线与x 轴有两个交点（如图1）．
②当240b ac =-= 时，有2
40ac b -=．∵0a >，∴顶点纵坐标2
404ac b a -=．
∴顶点在x 轴上，抛物线与x 轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根．
③当2
40b ac =-= 时，
……
（2）a<0时，抛物线开口向下．……
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是（从下面选项中选出两个
即可）；A ．数形结合B ．统计思想C ．分类讨论．D ．转化思想
(2)请参照小论文中当0a >时①②的分析过程，写出③中当0,0a ><△时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，
除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为21．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接PM ，BM ．
根据以上操作，当点M 在EF 上时，写出图1中一个30︒的角：______．(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD 按照（1）中的方式操作，并延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．①如图2，当点M 在EF 上时，MBQ ∠=______︒，CBQ ∠=______︒；
②改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合），如图3，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD 的边长为8cm ，当1cm FQ =时，直接写出AP 的长．
参考答案：
1．C
【分析】根据相反数的意义，即可解答．
【详解】解：6
-的相反数是6，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
2．D
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：68285万=6.8285×108．
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．A
【分析】根据三视图的形成，从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在三视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从正面和左面看，得到的平面图形均是半圆，而从上面看是一个圆，因此该几何体主视图与左视图一致，
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．
4．D
【分析】根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．
故选：D
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分
的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为
1
2，约等于0.618，这个比例被公认
为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．
5．B
【分析】先根据平行线的性质可得90DAC C ∠=∠=︒，再根据角的和差即可得．【详解】解：DE CB ∥ ，90C ∠=︒
90DAC C ∴∠=∠=︒
，
30BAC ∠=︒ ，
120DAB D C AC BA ∠=∠+=∴∠︒，
故选：B ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．6．C
【分析】首先连接CD ，由AD 是O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得
=90ACD ∠︒，又由圆周角定理，可得20D B ∠=∠=︒，再用三角形内角和定理求得答案．
【详解】解：连接CD ，
∵AD 是O 的直径，∴=90ACD ∠︒．∵20D B ∠=∠=︒，
∴18090180902070CAD D ∠=︒-︒-∠=︒-︒-︒=︒．故选：C ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．7．C
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A 、B 、C 、D ．根据题意，列表如下：
A
B
C
D
A
（A ，B ）（A ，C ）（A ，D ）B （B ，A ）（B ，C ）（B ，D ）C
（C ，A ）（C ，B ）（C ，D ）D （D ，A ）（D ，B ）（D ，C ）
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：
21126=．故选：C ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．
8．B
【分析】根据折叠，ACB AOB ≌△△，进一步得到四边形OACB 是菱形；进一步由3OC OB BC ===得到OBC △是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB 面积-菱形的面积，即可
【详解】依题意：ACB AOB ≌△△，3
AO BO ==∴3
AC BC AO BO ====∴四边形OACB 是菱形
∴AB CO
⊥连接OC
∵3
OC OB ==∴3
OC OB BC ===∴OBC △是等边三角形
同理：OAC 是等边三角形
故120AOB ∠=︒
由三线合一，在Rt OBD △中：
1302
OBD OBC ∠=∠=︒1322
OD OB ==
BD ==1132222
222OACB S BD OD =⨯⋅=⨯⨯⨯=菱形212033360AOB S ππ︒=⋅⋅=︒扇形3
OACB AOB S S S π=-=阴影菱形扇形故选：B
【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现OBC △是等边三角形
9．A
【分析】利用中位线、菱形、矩形的性质可知，每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，由此可解．
【详解】解：如图，连接AC ，BD ，11A C ，11B D ．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC BD =，AD BC =，AB CD =．
∵1A ，1B ，1C ，1D 分别是矩形四个边的中点，∴1111111111,22
A D
B
C B
D A B C D AC ====，∴11111111A D B C A B C D ===，
∴四边形1111D C B A 是菱形，
∵11AC AD a ==，11B D AB b ==，
∴四边形1111D C B A 的面积为：
1111111222
ABCD A C B D ab S ⋅== ．同理，由中位线的性质可知，
22221122D C A B AD a ==
=，2222////D C A B AD ，22221122D A C B AB b ===，2222////D A C B AB ，∴四边形2222A B C D 是平行四边形，
∵AD AB ⊥，
∴2222C D D A ⊥，
∴四边形2222A B C D 是矩形，
∴四边形2222A B C D 的面积为：1111222211112242
ABC A B C D D C D A D a b S S ⋅=⋅== 菱形．∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，
∴四边形n n n n A B C D 的面积是
2n
ab ．故选:A ．
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质以及中位线的性质，证明四边形1111D C B A 是菱形，四边形2222A B C D 是矩形是解题的关键．
10．21
m +【分析】根据题意得2m 为偶数，设其股是a ，则弦为2a +，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：m 为正整数，
∴2m 为偶数，
设其股是a ，则弦为2a +，
根据勾股定理得，222(2)(2)m a a +=+，222444m a a a +=++，
2444a m =-，
解得21a m =-，
∴弦为222121a m m +=-+=+，
故答案为：21m +．
【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
11．3
【分析】根据根与系数的关系直接可得答案．
【详解】解：1x ，2x 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，
123x x ∴⋅=，
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
12．5或35
4
【分析】过点C 作CN ⊥BE 于N ，过点D 作DM ⊥CN 延长线于M ，连接EM ，设BN =x ，则CN =3x ，由△ACN ≌△CDM 可得AN =CM =10+x ，CN =DM =3x ，由点C 、M 、D 、E 四点共圆可得△NME 是等腰直角三角形，于是NE =10-2x ，由勾股定理求得AC 可得CE ，在Rt △CNE 中由勾股定理建立方程求得x ，进而可得BE ；
【详解】解：如图，过点C 作CN ⊥BE 于N ，过点D 作DM ⊥CN 延长线于M ，连接EM ，
设BN =x ，则CN =BN •tan ∠CBN =3x ，
∵△CAD ，△ECD 都是等腰直角三角形，
∴CA =CD ，EC =ED ，∠EDC =45°，
∠CAN +∠ACN =90°，∠DCM +∠ACN =90°，则∠CAN =∠DCM ，
在△ACN 和△CDM 中：∠CAN =∠DCM ，∠ANC =∠CMD =90°，AC =CD ，
∴△ACN ≌△CDM （AAS ），
∴AN =CM =10+x ，CN =DM =3x ，
∵∠CMD =∠CED =90°，
∴点C 、M 、D 、E 四点共圆，
∴∠CME =∠CDE=45°，
∵∠ENM =90°，
∴△NME 是等腰直角三角形，
∴NE =NM =CM -CN =10-2x ，
Rt △ANC 中，AC =
，
Rt △ECD 中，CD =AC ，CE =2
CD ，Rt △CNE 中，CE 2=CN 2+NE 2，
∴()()()()2222110331022x x x x ⎡⎤++=+-⎣
⎦，2425250x x -+=，
()()4550x x --=，
x =5或x =54
，∵BE =BN +NE =x +10-2x =10-x ，
∴BE =5或BE =
354
；故答案为：5或354；【点睛】本题考查了三角函数，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程等知识；此题综合性较强，正确作出辅助线是解题关键．
13．
6-
【分析】如图1中，求出等边ADB 的高DE 即可．如图2中，连接AM 交EF 于点O ，过点O 作OK AD ⊥于点K ，交BC 于点T ，过点A 作AG CB ⊥交CB 的延长线于点G ，取AD 的
中点R ，连接OR ．证明OK =
AF 的最小值，可得结论．【详解】解：如图1中，
四边形ABCD 是菱形，
AD AB BC CD ∴===，60A C ∠=∠=︒，
ADB ∴ ，BDC 都是等边三角形，
当点M 与B 重合时，EF 是等边ADB 的高，sin 606EF AD =⋅︒=⨯．如图2中，连接AM 交EF 于点O ，过点O 作OK AD ⊥于点K ，交BC 于点T ，过点A 作AG CB ⊥交CB 的延长线于点G ，取AD 的中点R ，连接OR ．
∵AD CG ，OK AD ⊥，
OK CG ∴⊥，
90G AKT GTK ∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形AGTK 是矩形，
sin 60AG TK AB ∴==⋅︒=
OA OM =∵，AOK MOT ∠=∠，90AKO MTO ∠=∠=︒，
()AAS AOK MOT ∴ ≌，
OK OT ∴==OK AD ⊥ ，
OR OK ∴≥=
90AOF ∠=︒ ，AR RF =，
2AF OR ∴=≥
AF ∴的最小值为DF ∴的最大值为6-．
故答案为：6-【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会填空常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．3
【分析】先化简每项，再加减计算，即可求解．【详解】原式111222
=++-3
=【点睛】本题考查零次幂，二次根式，绝对值，三角函数；注意先每项正确化简，再加减计算即可求解．
15．=1
x -【分析】两边同时乘以公分母()1x -，先去分母化为整式方程，计算出x ，然后检验分母不为0，即可求解．【详解】1122
x x x x -=--，()112
x x =-，解得=1x -，
经检验=1x -是原方程的解，
故原方程的解为：=1
x -【点睛】本题考查解分式方程，注意分式方程要检验．
16．(1)作图见解析
(2)AE CF =，证明见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的尺规作图的画法，分别以A 、C 为圆心，以大于1
2AC 的长为半径画弧，交于两点，过两点作直线即可得到线段AC 的垂直平分线．
（2）利用矩形及垂直平分线的性质，可以证得AEO CFO ≌，根据全等三角形的性质即可
得出结论．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：AE CF =．证明如下：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD BC ∥．
∴EAO FCO AEO CFO ∠=∠∠=∠，．
∵EF 为AC 的垂直平分线，
∴OA OC =．
∴AEO CFO ≌．
∴AE CF =．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、矩形的性质、全等三角形的判定和性质．
17．
（1）④431443⨯+=⨯-，⑤441453⨯+=⨯-；（2）4(1)143n n -+=-．【分析】（1）根据从同一顶点向外作出的四条线上的点的个数解答；
（2）根据变化的层数和相应的图形的序数解答．
【详解】解： ①401413→⨯+=⨯- ；
②411423→⨯+=⨯-；
③421433→⨯+=⨯-；
∴④431443⨯+=⨯-，
⑤441453⨯+=⨯-；
（2）第n 个图形：4(1)143n n -+=-．
【点睛】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，从每一条线上的点的个数考虑求解是解题的关键．
18．58m
【分析】延长AB 和CD 分别与直线OF 交于点G 和点H ，则90AGO EHO ∠=∠=︒，再根据图形应用三角函数即可求解．
【详解】解：延长AB 和CD 分别与直线OF 交于点G 和点H ，则90AGO EHO ∠=∠=︒．
又∵=90GAC ∠︒，
∴四边形ACHG 是矩形．
∴GH AC =．
由题意，得60,24,70,30,60AG OF AOG EOF EFH ==∠=︒∠=︒∠=︒．
在Rt AGO △中，90,tan AG AGO AOG OG ∠=︒∠=
，∴606021.822tan tan 70 2.75
AG OG AOG ==≈≈≈∠︒（m ）﹒∵EFH ∠是EOF 的外角，
∴603030FEO EFH EOF ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
∴EOF FEO ∠=∠．
∴24EF OF ==m ．
在Rt EHF 中，90,cos FH
EHF EFH EF
∠=︒∠=∴cos 24cos 6012FH EF EFH =⋅∠=⨯︒=(m)．
∴()22241258m AC GH GO OF FH ==++=++≈．
答：楼AB 与CD 之间的距离AC 的长约为58m ．
【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键．
19．(1)参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
(2)1152人
(3)答案见解析
【分析】（1）用D类人数除以所占百分比即可得到总人数；再用总人数乘以F类所占百分比，即可求解；
（2）利用样本估计总体的思想即可解决问题；
（3）从平均每周阅读课外书的时间和阅读的课外书的主要来源写出一条你获取的信息即可．÷=（人）．
【详解】（1）解：3311%300
⨯=（人）；
30062%186
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
⨯=（人）．
（2）解：360032%1152
答：估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数有1152人；（3）解：答案不唯一．例如：
第一项：①平均每周阅读课外书的时间在“4~6小时”的人数最多；②平均每周阅读课外书的时间在“0~4小时”的人数最少；③平均每周阅读课外书的时间在“8小时及以上”的学生人数占调查总人数的32%；
第二项：①阅读的课外书的主要来源中选择“从图书馆借阅”的人数最多；②阅读的课外书的主要来源中选择“向他人借阅”的人数最少．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20．(1)AC
(2)分析见解析；作图见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思
想；
（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；
（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．
【详解】（1）解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，故答案为：AC ；
（2）解：a >0时，抛物线开口向上．
当△=b 2−4ac <0时，有4ac −b 2>0﹒
∵a >0，∴顶点纵坐标2
4>04ac b a
-﹒∴顶点在x 轴的上方，抛物线与x 轴无交点（如图）：
∴一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)无实数根．
（3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）
【点睛】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x 轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x 轴的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键．
21．(1)EMB ∠或CBM ∠或ABP ∠或PBM ∠（任写一个即可）
；(2)①15，15；②CBQ MBQ ∠=，理由见解析；(3)40cm 11或24cm 13
【分析】（1）由折叠的性质可得12
AE BE AB ==，90AEF BEF ∠=∠=︒，AB BM =，
ABP PBM ∠=∠，由锐角三角函数可求30EMB ∠=°
，即可求解；（2）由“HL ”可证Rt BCQ △≌Rt BMQ △，，可得15CBQ MBQ ∠=∠=︒；②由“HL ”可证Rt BCQ △≌Rt BMQ △，可得CBQ MBQ ∠=∠；
（3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解．
【详解】（1） 对折矩形纸片ABCD ，
12
AE BE AB ∴==，90AEF BEF ∠=∠=︒， 沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，
AB BM ∴=，ABP PBM ∠=∠，
1sin 2
BE BME BM ∠== ，30EMB ∴∠=︒，
60ABM ∴∠=︒，
30CBM ABP PBM ∴∠=∠=∠=︒，
故答案为：EMB ∠或CBM ∠或ABP ∠或(PBM ∠任写一个即可)；
（2）①由()1可知30CBM ∠=︒，
四边形ABCD 是正方形，
AB BC ∴=，90BAD C ∠=∠=︒，
由折叠可得：AB BM =，90BAD BMP ∠=∠=︒，
BM BC ∴=，90BMQ C ∠=∠=︒，
又BQ BQ = ，
在Rt BCQ △和Rt BMQ △中
BQ BQ BC BM
=⎧⎨=⎩Rt BCQ ∴ ≌()Rt HL BMQ ，
15CBQ MBQ ∴∠=∠=︒，
故答案为：15，15；
MBQ CBQ ∠=∠②，理由如下：
四边形ABCD 是正方形，
AB BC ∴=，90BAD C ∠=∠=︒，
由折叠可得：AB BM =，90BAD BMP ∠=∠=︒，
BM BC ∴=，90BMQ C ∠=∠=︒，
在Rt BCQ △和Rt BMQ △中，
,BM BC BQ BQ =⎧⎨=⎩
Rt BCQ ∴ ≌()Rt HL BMQ ，
CBQ MBQ ∴∠=∠；
（3）由折叠的性质可得4cm DF CF ==，AP PM =，
Rt BCQ ≌Rt BMQ △，
CQ MQ ∴=，
当点Q 在线段CF 上时，1cm FQ = ，
3cm MQ CQ ∴==，5cm DQ =，
222PQ PD DQ =+ ，
22(3)(8)25AP AP ∴+=-+，
4011
AP ∴=，当点Q 在线段DF 上时，1cm FQ = ，
5cm MQ CQ ∴==，3cm DQ =，
222PQ PD DQ =+ ，
22(5)(8)9AP AP ∴+=-+，
2413
AP ∴=，综上所述：AP 的长为
40cm 11或24cm 13．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．。