2018-2019学年广东省广州市高一上学期期末考试数学试卷及答案解析

2018-2019学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合U＝{x∈N|0＜x＜7}，A＝{2，5}，B＝{1，3，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，5}D．{1，3}
2．下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是（）
A．y＝x2 B．y＝lnx C．y＝x3D．y＝
3．某地一所中学在校初中学生人数是在校高中学生人数的2倍，教务处对在校初中和在校高中男女生的人数分别进行了统计，得到如下扇形统计图，则全校在校男生的人数是（）
A．1700B．1750C．1800D．1850
4．已知向量＝（2，m），＝（3，1），若∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．
5．直线l1：x+ay+2＝0与l2：x+3y+a﹣2＝0平行，则a的值等于（）A．﹣1或3B．1C．3D．﹣1
6．现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）
A．B．C．D．
7．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，该圆锥的母线长为（）
A．B．4C．D．
8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合．若点（a，3a）（a≠0）是角α终边上一点，则＝（）
A．﹣2B．C．D．2
9．设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（）A．3B．6C．9D．12
10．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g （x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，1]C．D．
11．若⊙O1：x2+y2＝5与⊙O2：（x﹣m）2+y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是（）
A．1B．2C．3D．4
12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）＝f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）
A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．函数的定义域为．
14．若向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，则＝．
15．已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，AB⊥AC，则该球的半径为．
16．已知a，b，c是△ABC的三边，其面积S＝（b2+c2﹣a2），角A的大小是．三、解答题：本大题共6小题，共70分
17．（10分）已知函数f（x）＝sin x+sin（x+）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（A）＝，求sin2A的值．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝a sin C﹣c cos A．（1）求A；
（2）若a＝1，△ABC的面积为，求b，c．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，E为PB中点．
（1）求证：PD∥平面ACE；
（2）求证：PD⊥平面PBC；
（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．
20．（12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P＝3，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q＝，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）求f（x）及定义域；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4，M点的坐标为（3，﹣3）．
（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；
（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线P A与PB的斜率之和为定值．
22．（12分）已知f（x）＝log2（4x+1）﹣kx（k∈R）为偶函数．
（1）求k的值；
（2）设h（x）＝log2（b•2x﹣b），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．
2018-2019学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合U＝{x∈N|0＜x＜7}，A＝{2，5}，B＝{1，3，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，5}D．{1，3}
【分析】根据集合补集交集的定义进行求解即可．
【解答】解：U＝{x∈N|0＜x＜7}＝{1，2，3，4，5，6}，
则∁U A＝{1，3，4，6}，
则（∁U A）∩B＝{1，3}，
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键．比较基础．
2．下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是（）
A．y＝x2 B．y＝lnx C．y＝x3D．y＝
【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性及单调性．
【解答】解：结合选项可知，y＝lnx为非奇非偶函数，不符合题意，
y＝x2为偶函数，不符合题意，
y＝为奇函数，但是在定义域内不是单调函数，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据定义法是解决本题的关键．3．某地一所中学在校初中学生人数是在校高中学生人数的2倍，教务处对在校初中和在校高中男女生的人数分别进行了统计，得到如下扇形统计图，则全校在校男生的人数是（）
A．1700B．1750C．1800D．1850
【分析】由扇形统计图先求出高中生在校生男生数，再由扇形统计图求出初中生在校生男生数，由此能求出全校在校男生的人数．
【解答】解：由题意得高中生在校生男生数为：
＝600，
∴初中生在校生男生数为：
2（400+600）×55%＝1100，
∴全校在校男生的人数是1100+600＝1700．
故选：A．
【点评】本题考查全校在校男生人数的求法，考查扇形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．已知向量＝（2，m），＝（3，1），若∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．
【分析】由题意利用两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得m的值．【解答】解：∵向量＝（2，m），＝（3，1），若∥，则＝，求出m＝，故选：C．
【点评】本题主要考查两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5．直线l1：x+ay+2＝0与l2：x+3y+a﹣2＝0平行，则a的值等于（）A．﹣1或3B．1C．3D．﹣1
【分析】由a﹣3＝0，解得a．经过验证即可得出．
【解答】解：由a﹣3＝0，解得a＝3．
经过验证两条直线平行．
故选：C．
【点评】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：
所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种，
则P＝＝．
故选：D．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
7．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，该圆锥的母线长为（）
A．B．4C．D．
【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，利用圆锥的表面积公式和侧面展开图，求出圆锥的底面圆半径和母线长．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
∵它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，
∴2πr＝•2πl，
∴l＝4r，
又圆锥的表面积为5π，
∴πr2+πr•4r＝5π，
解得r＝1，
∴母线长为l＝4r＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．
8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合．若点（a，3a）（a≠0）是角α终边上一点，则＝（）
A．﹣2B．C．D．2
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式，求得的值．
【解答】解∵：点（a，3a）（a≠0）是角α终边上一点，∴tanα＝＝3，
则＝＝﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，属于基础题．9．设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（）A．3B．6C．9D．12
【分析】先求f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，再由对数恒等式，求得f（log212）＝6，进而得到所求和．
【解答】解：函数f（x）＝，
即有f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，
f（log212）＝＝×＝12×＝6，
则有f（﹣2）+f（log212）＝3+6＝9．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．
10．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g （x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（）
A．[﹣1，2]B．[﹣1，1]C．D．
【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y＝f（x）在的值域．
【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）＝2sin（2x++φ）的图象，
若函数y＝g（x）为偶函数，则+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2sin（2x+）．∵x∈，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，
则函数y＝f（x）在的值域为[﹣1，2]，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
11．若⊙O1：x2+y2＝5与⊙O2：（x﹣m）2+y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时应该过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解．
【解答】解：由题意做出图形分析得：
由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心O2O1．则在Rt△O2AO1中，|O1A|＝|O2A|＝，
斜边上的高为半弦，用等积法易得：
⇒|AB|＝4．
故选：D．
【点评】此题重点考查了学生对于圆及题意的理解，还考查了圆的切线性质及直角三角形的求解线段长度的等面积的方法．
12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）＝f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）
A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，令g（x）＝log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．
【解答】解：∵f（x+2）＝f（x）﹣f（1），
且f（x）是定义域为R的偶函数，
令x＝﹣1可得f（﹣1+2）＝f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）＝f（1），
可得f（1）＝0 则有，f（x+2）＝f（x），
∴f（x）是周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18＝﹣2（x﹣3）2，
函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．
∵函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上
至少有三个零点，
令g（x）＝log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．
作出函数的图象，如图所示，
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．
要使函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
则有g（2）＞f（2），即log a（2+1）＞f（2）＝﹣2，
∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．
又a＞0，∴0＜a＜，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．函数的定义域为[3，+∞）．
【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【解答】解：由题意得：log3x﹣1≥0，
解得：x≥3，
故函数的定义域是[3，+∞），
故答案为：[3，+∞）．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．
14．若向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，则＝5．【分析】由向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，解得x＝3，从而＝（3，4），由此能求出|﹣|的值．
【解答】解：∵向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，
∴＝x+1﹣4＝0，解得x＝3，
∴＝（3，4），
∴|﹣|＝＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量的运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，AB⊥AC，
则该球的半径为．
【分析】首先求出球心，进一步确定球的半径．
【解答】解：已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，AB⊥AC，
如图所示：
则AD＝，OD＝，
所以，
解得：r＝
故答案为：
【点评】本题考查的知识要点：球的球心的确定，球的半径的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
16．已知a，b，c是△ABC的三边，其面积S＝（b2+c2﹣a2），角A的大小是．
【分析】由S＝（b2+c2﹣a2），得bc sin A＝（b2+c2﹣a2），利用余弦定理及同角三角函数的关系可求得tan A＝1，由A的范围可求A．
【解答】解：∵S＝（b2+c2﹣a2），即bc sin A＝（b2+c2﹣a2）＝×2bc cos A，∴tan A＝＝，
由A为三角形的内角，
∴A＝，
故答案为：．
【点评】该题考查三角形的面积公式、余弦定理，属基础题，准确记忆公式并灵活运用是解题关键．
三、解答题：本大题共6小题，共70分
17．（10分）已知函数f（x）＝sin x+sin（x+）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（A）＝，求sin2A的值．
【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果．
（2）利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．
【解答】解：（1）函数f（x）＝sin x+sin（x+）＝sin x+cos x＝．
所以函数的最小正周期为，
（2）由于f（A）＝，所以sin A+cos A＝，
所以，
解得sin2A＝﹣1+．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝a sin C﹣c cos A．（1）求A；
（2）若a＝1，△ABC的面积为，求b，c．
【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin C＝sin A sin C﹣sin C cos A，又sin C≠0，利用三角函数恒等变换的应用可得sin（A﹣）＝，结合A的范围，即可得解A的值．（2）由已知利用三角形面积公式可求bc＝1，利用余弦定理可求得b+c＝2，联立方程即可得解b，c的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）由已知结合正弦定理可得sin C＝sin A sin C﹣sin C cos A，…（2分）
∵sin C≠0，
∴1＝sin A﹣cos A＝2sin（A﹣），即sin（A﹣）＝，…（4分）
又∵A∈（0，π），
∴A﹣∈（﹣，），
∴A﹣＝，
∴A＝，…（6分）
（2）S＝bc sin A，即＝bc•，
∴bc＝1，①…（7分）
又∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣2bc cos，
即1＝（b+c）2﹣3，且b，c为正数，
∴b+c＝2，②…（10分）
由①②两式解得b＝c＝1．…（12分）
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，E为PB中点．
（1）求证：PD∥平面ACE；
（2）求证：PD⊥平面PBC；
（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．
【分析】（1）连结BD交AC于点F，连结EF，由中位线定理可得EF∥PD，故而PD∥平面ACE；
（2）证明BC⊥平面PCD可得PD⊥BC，利用勾股定理可得PD⊥PC，故而PD⊥平面PBC；
（3）作PM⊥CD，可证PM⊥平面ABCD，于是V E﹣ABC＝V P﹣ABC，则三棱锥E﹣ABC 的体积可求．
【解答】（1）证明：连结BD交AC于点F，连结EF．
∵底面ABCD是矩形，∴F为BD中点．
又∵E为PB中点，∴EF∥PD．
∵PD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，
∴PD∥平面ACE；
（2）证明：∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥CD．
又∵平面PCD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，
∴BC⊥平面PCD．
∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．
∵PC＝PD＝，∴PC2+PD2＝CD2，即PD⊥PC．
∵BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，
∴PD⊥平面PBC；
（3）解：取CD的中点M，连接PM．
∵PC＝PD＝，CD＝AB＝2，M是CD的中点，
∴PM⊥CD，且PM＝1，
∵平面PCD⊥平面ABCD，PM⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，
∴PM⊥平面ABCD，
∵E是PB的中点，
∴V E﹣ABC＝V P﹣ABC＝×．
故三棱锥E﹣ABC的体积为．
【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判定，考查棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P＝3，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q＝，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．
（1）求f（x）及定义域；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
【分析】（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120﹣x万元，f（x）＝3﹣6+（120﹣x）+2，即可得出．
（2）令t＝，则t∈[2，4]．y＝﹣t2+3t+26＝﹣+44．利用二次函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120﹣x万元．
∴f（x）＝3﹣6+（120﹣x）+2＝﹣x+3+26，
依题意得，解得40≤x≤80．
故f（x）＝﹣＝﹣x+3+26，（40≤x≤80）．
（2）令t＝，则t∈[2，4]．
∴y＝﹣t2+3t+26＝﹣+44．
当t＝6，即x＝72万元时，y的最大值为44万元
∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．【点评】本题考查了函数模型、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4，M点的坐标为（3，﹣3）．
（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；
（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线P A与PB的斜率之和为定值．
【分析】（1）设出直线的方程后，利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径可解得；
（2）设直线方程与圆的方程联立消去y并整理得关于x的一元二次方程，由韦达定理及斜率公式可得斜率之和为定值．
【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，显然直线x＝3与圆C相切，
当直线l的斜率存在时，设切线方程为：y+3＝m（x﹣3），
圆心到直线的距离等于半径＝2，解得m＝﹣，切线方程为：5x+12y+21＝0，
综上，过点M（3，﹣3）且与圆C相切的直线方程为：x＝3或5x+12y+21＝0．
（2）圆C：（x﹣1）2+y2＝4与x轴正半轴的交点为P（3，0），
依题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB：y+3＝k（x﹣3），代入圆C：（x﹣1）2+y2＝4
＝整理得：（1+k2）x2﹣2（3k2+3k+1）x+9（k+1）2﹣3＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），且P（3，0），
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∴直线P A和PB的斜率之和为：
k P A+k PB＝+＝+＝k﹣+k﹣＝2k﹣3
（+）＝2k﹣3×＝2k﹣3×
＝2k﹣3×
＝2k﹣3×＝2k﹣＝2k﹣2k+＝．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
22．（12分）已知f（x）＝log2（4x+1）﹣kx（k∈R）为偶函数．
（1）求k的值；
（2）设h（x）＝log2（b•2x﹣b），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．
【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；
（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．
【解答】解（1）∵函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数
∴f（﹣x）＝log4（4﹣x+1）﹣kx）＝log4（）﹣kx＝log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立
∴﹣（k+1）＝k，则k＝．
（2）g（x）＝log4（b•2x﹣b），
函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即
方程f（x）＝g（x）只有一个解
由已知得log4（4x+1）x＝log4（b•2x﹣b），
∴log4（）＝log4（b•2x﹣b），
方程等价于，
设2x＝t，t＞0，则（b﹣1）t2﹣﹣1＝0有一解
若b﹣1＞0，设h（t）＝（b﹣1）t2﹣﹣1，
∵h（0）＝﹣1＜0，∴恰好有一正解
∴b＞1满足题意
若b﹣1＝0，即a＝1时，h（t）＝﹣﹣1，由h（t）＝0，得t＝﹣＜0，不满足题意若b﹣1＜0，即b＜1时，由，得b＝﹣3或b＝，
当b＝﹣3时，t＝满足题意
当b＝时，t＝﹣2（舍去）
综上所述实数a的取值范围是{b|b＞1或a＝﹣3}．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．。