事件的独立性

p( Ai ) 1 p( A1 ) p( A2 ) p( An ) 1 p( Ai )
i 1 i 1
n
n
第 一章 随机事件及其概率
课后作业： 习题一
P21
23 ；24 ；26 ；27.
小
1. A,B两事件相互独立
结
p(AB)=p(A)p(B) p(AB)=p(A)p(B) p(AC)=p(A)p(C)
2. A,B,C三事件相互独立
p(BC)=p(B)p(C) p(ABC)=p(A)p(B) p(C)
3. A,B相互独立
A 与B , A与 B ，A与 B 相互独立
4. A1, A2, …, An 相互独立 p(A1A2…An)=p(A1)P(A2)…P(An)
故A与 B独立． （2）设A=“点数小于4”, B=“点数为奇数”, 则有 p(A)=1/2, p(B) =1/2, p(AB)=1/3
由于p(AB)≠ p(A)p(B) 故A与 B不独立．
第 一章 随机事件及其概率
例3 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A=“抽到K”, B=“抽到的牌是黑色的”.问事件A、
所以A∪B 与C相互独立.
第 一章 随机事件及其概率
一般地，有 p(A)+p(B)-p(AB)
P(A∪B)= p(A)+p(B) , AB=Ø时 p(B） , AB时 1 p( A) p( B) , A,B独立时 p(A)-p(AB) P(A-B)= p( AB) p(A)-p(B) , BA时 0 ， AB时 p( A) p( B) , A,B独立时
第 一章 随机事件及其概率 定义3 设A1, A2,…, An是n个事件, 若对任意 整数k和 2≤i1<i2<· · · <ik≤n, 满足
p( Ai1 Ai2 Aik ) p( Ai1 ) p( Ai2 ) p( Aik )
称事件 A1, A2, …, An 相互独立. n个相互独立的事件中的任意一部分仍然是相互独 立的，而且任意一部分与另一部分也是独立的. n=2时，两两独立与相互独立是同一概念. n >2时，相互独立性是比两两独立性更强的概念. 将相互独立事件中的任一部分换为对立事件，所
每一件产品可能是一级品也可能不是一级品, 各个产品是否为一级品相互独立的. 由公式
k k n k p n (k ) Cn p q
10
有 p( B) p10 (k ) 1 p10 (0) p10 (1)
k 2
1 1 0.410 C10 0.6 0.49 0.998
得的诸事件仍为相互独立的.
第 一章 随机事件及其概率
2.性质
定理2 n个事件 A1, A2, …, An 相互独立，则有 （ 1） （ 2）
p(A1A2…An)=p(A1)p(A2)…p(An)
p( Ai ) 1 p( A1 ) p( A2 ) p( An ) 1 p( Ai )
第四节 事件的独立性
• 一．两事件的独立性 • 二．多个事件的独立性 • 三．贝努里概型
第 一章 随机事件及其概率
一．两事件的独立性
一般情况下p(A)≠ p(A|B)，这说明事件A的出现 对事件B出现的可能性是有影响的. 如果 p(A)= p(A|B)，说明事件A的出现对事件B出现 的可能性没有影响.直观上,称A、B两事件独立, 这时有 p(AB)= p(A) p(B)
第 一章 随机事件及其概率
1.引例
例1 袋中有4个白球2个黑球,有放回地抽取两次,设 A=“第一次抽出白球” , B=“第二次抽出白球”. 求 p(B|A) , p(B) (B|A)= p(B)
p(B) =4/6=2/3
由此
说明事件A的出现对事件B出现的可能性无影响. 因此 p(AB)= p(A) p(B|A) 同理 p(A|B)= p(A) p(AB)= p(A) p(B)
B是否独立？
解 由于 p(A)=4/52=1/13, p(B)=26/52=1/2， p(AB)=2/52=1/26. 由此可见, p(AB)=p(A)P(B). 说明事件A、B独立.
第 一章 随机事件及其概率
3.性质
定理1 若两事件A、B独立，则
A 与B, A与B , A 与B 也相互独立.
证明 仅证A与 B 独立. 由概率的性质知 p( AB) p( A) p( AB) 由A与B的独立性知 p( AB) p( A) p( B) 所以
则说事件A与事件B具有“相互独立性”.
第 一章 随机事件及其概率
2.定义
两事件独立的定义
定义1 （独立性）若两事件A、B满足 p(AB)= p(A) p(B) 则称A与B相互独立，简称A与B独立．
说明
事件 A 与事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生
与事件 B 发生的概率无关.
第 一章 随机事件及其概率 例2 投掷一枚均匀的骰子． (1) 设A=“点数小于５”,别B=“点数为奇数”, 则有 由此 p(A)=4/6=2/3, p(B) =3/6=1/2, p(AB)= p(A)p(B) p(AB)=1/3
P( B A) P( B) 1 P( B) 0.5
第 一章 随机事件及其概率
二、 多个事件的独立性
1.定义
定义2 设A,B,C是三事件，如果有 p(AB)= p(A)p(B) p(AC)= p(A)p(C) p(BC)= p(B)p(C) 则称A,B,C两两独立. 若还有 （1）
p(ABC)= p(A)p(B)p(C)
概率为p(0<p<1),则事件A发生k次的概率为
k k n k 其中q=1-p,k=0,1,2,…,n. Pn (k ) Cn pq
证明 由n重贝努里试验，事件A在某指定的k次试 验中出现，而在其余n-k次试中不出现的概率为 pk(1-p)n-k = pkqn-k 而在n次试验中事件A发生k次共有Cnk种不同情况， 对应的事件为互不相容的，由概率的可加性
p( AB) p( A) p( A) p(B)
p( A)[1 p( B)]
p( A) p( B) 故A与 B 独立.
第 一章 随机事件及其概率
例4 设事件A与B相互独立，已知
p( A) 0.4, p( A B) 0.7
BB A
AB A
Ω
试求 P ( B A) 解 p(A∪B)= p(A∪AB) = p(A)+p(AB) (又因A与B相互独立， 故A与 B 也独立.) = p(A)+p(A) p( B) =0.4+(1-0.4)p(B)=0.7 由此得 p(B)=0.5 所以有
i 1 i 1 n n
例6 设A,B,C三事件相互独立,试证A∪B 与C相互独立. 证明
p(( A B)C ) p( AC BC)
p( AC ) p( BC ) p( ABC ) p( A) p(C) p( B) p(C) p( A) p( B) p(C) [ p( A) p( B) p( AB )] p(C) p( A B) p(C)
k k n k Pn (k ) Cn pq k k 1 k 由于 C n p q 恰好是展开式(p+q)n中的第k+1项，
所以常称
k k 1 k 为二项概率公式。 Cn pq
第 一章 随机事件及其概率 例7 一条自动生产线上产品的一级品率为0.6， 现检查了10件，求至少有两件一级品的概率. 解 设所求事件的概率为 p(B)
第 一章 随机事件及其概率
三、贝努里概型
1.定义
定义4 如果一个试验序列的各试验的结果之间 是相互独立的,则称此试验序列为独立试验序列. 定义5 只有两个试验结果的独立试验序列叫贝
努里试验序列.
特别地，由一个贝努里试验独立重复n次形成的
试验序列称为n重贝努里试验.
2.性质
贝努里定理
第 一章 随机事件及其概率 在n重贝努里试验中,事件A发生的
（2）
则称A,B,C相互独立. 即三个事件若相互独立，不仅要满足式（1）， 还要满足式（2）.
第 一章 随机事件及其概率 例5 在四张标有数字1,2,3,4的卡片中等可能的任取 一张,设事件A=“取到数字1或2的卡片”,B=“取到数字 1或3的卡片”,C=“取到数字1或4的卡片”.试验证A,B,C 两两独立,而非相互独立. 解 由古典概型知 p(A)= p(B) = p(C) =1/2 p(AB)= p(BC) = p(AC) =1/4 因此 p(AB)= p(A)p(B)， p(BC) = p(B) p(C), p(AC) = p(A) p(C) , 而 p(A)p(B) p(C) =1/8 显然 p(ABC) ≠ p(A)p(B) p(C) 因此A,B,C两两独立,而非相互独立. p(ABC)= 1/4，