坐标系与参数方程典型例题含高考题----答案详细)

选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义
一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：
1．坐标系：
①理解坐标系的作用.
②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在
极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：
①了解参数方程，了解参数的意义. ②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
二、基础知识归纳总结：
1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨
⎧>⋅='>⋅=').
0(,y y 0),
(x,x :μμλλϕ
的作用下， 点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐
标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离
OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx
为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ.极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθ
ρ表
示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点
),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表
示同一点。

如果规定πθρ
20,0≤≤>，那么除极点外，
平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：
6。

圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是r =ρ；
在极坐标系中，以)0,a (C (a>0)为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρ
2acos =；
在极坐标系中，以)2
,
a (C π
(a>0)为圆心，a 为半径的
圆的极坐标方程是θρ2asin =；
7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点
的一条射线；)R (∈=ραθ
表示过极点的一条直线.
在极坐标系中，过点)0a )(0,a (A >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a cos =θρ.
8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数
⎩
⎨
⎧==),t (g y ),
t (f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

9．圆222r )b y ()a x
(=-+-的参数方程可表示为)(.rsin b y ,
rcos a x 为参数θθθ⎩
⎨
⎧+=+=. 椭圆1b y a x 22
22=+(a>b>0)的参数方程可表示为
)(.
bsin y ,
acos x 为参数ϕϕϕ⎩⎨
⎧==. 抛物线2px y 2
=的参数方程可表示为
)t (.
2pt y ,
2pt x 2为参数⎩⎨
⎧==. 经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α
的直线l 的标准
式参数方程可表示为⎩⎨
⎧+=+=.
tsin y y ,
tcos x x o o αα（t 为参数）。

10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

在参数方程与普通方程的互化中， 必须使x,y 的取值范围保持一致. 三、基础训练：
1.在平面直角坐标系中，方程1y x 22
=+所对应的
图形经过伸缩变换⎩⎨
⎧='='3y
y 2x,
x 后的图形所对应的方程
是_________________.
2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换
⎩⎨
⎧='='y
y 3x,x 后，曲线C 变为曲线9y 9x 2
2='+'，则曲线C 的方程是_________________. 3．在同一平面直角坐标系中，使曲线2sin3x y =变
为曲线sinx y
=的伸缩变换是_________________.
4．在极坐标系中，过点)6
,
4(π
，并且和极轴平行的直
线的极坐标方程是___________________. 5．在极坐标系中，圆心在)4
A(1,
π
，半径为1的圆的
极坐标方程是_______________________.
6.直角坐标方程
116
y 16x 2
2=-化为极坐标方程是_________________________. 7.极坐标方程θ
θρ
4sin 2cos -=化为直角坐标方
程是_______________________. 8.在极坐标系中，极点到直线2
2
)4
(sin =
+
π
θρ的距离是____________. 9．极坐标系内，曲线θρ
2cos =上的动点P 与定点
)2
,1(Q π
的最近距离等于____________.
10．柱坐标)1,3
2,2(π
对应的点的直角坐标是
_____________. 11.球坐标)3
,6,
2(π
π对应的点的直角坐标是_______________.
12.参数方程)(.cos21y ,
cos x 为参数θθθ⎩
⎨⎧+==化为普通
方程是_________________________. 13.椭圆)(.3sin y ,
5cos x 为参数θθθ⎩
⎨
⎧==的焦点坐标是
_________________________.
14．双曲线)t (.t 1t y ,t
1t x 为参数⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+=的离心率是_________________________. 15.曲线)(.sin y ,
cos 1x 为参数θθθ⎩
⎨
⎧=+=上的点与定点A
（-1，-1）距离的最小值是_____________. 16.已知369y 4x
22
=+，则y 32x -的最小值
是_________________.
17．点M （x,y ）在椭圆14
y 12x 2
2=+上，则点M 到直线04y x =-+的最大距离为________,
此时，点M 的坐标是_____________. 四、全国历届高考中的《坐标系与参数方程》试题选编： 1．设b a b a b a +=+∈则,62,,22
R 的最小值是
（） A ．22
-B ．335-
C ．－3
D ．2
7
- 2.在极坐标系中，圆心在()2，π且过极点的圆的
方程为（） A.ρ
θ=22cos B.ρθ=-22cos C.
ρθ=22sin D.ρθ=-22sin
3.极坐标方程ρ２
ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是（） A B C ．椭圆
D 5．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3，则点(2，
π/6)到直线l 的距离为．
6．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t
y t x 22
（其中参数R t ∈）上
的点的最短距离为（）
（A ）0 （B ）1 （C ）
2 （D ）2
7.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为)(33
R t t y t x ∈⎩
⎨
⎧-=+=参数，圆C 的参数方程为[])20(2
sin 2cos 2πθθθ
，参数∈⎩⎨
⎧+==y x ，则圆C 的圆心坐标为，圆心到直线l 的距离为.
8．⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为
4cos 4sin ρθρθ==-，．
(Ⅰ)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)
求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
五．2014高考真题
1．[2014·广东卷](坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________． 2．[2014·湖南卷]在平面直角坐标系中，曲线C ：(t 为参数)的普通方程为________． 3．[2014·陕西卷](坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点到直线ρsin ＝1的距离是________．
3．[2014·江苏卷]C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
4．[2014·辽宁卷]选修4-4：坐标系与参数方程
将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
5．[2014·新课标全国卷Ⅱ]选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线
l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．6．[2014·全国新课标卷Ⅰ]选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程、直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|P A|的最大值与最小值．
选修4-4《坐标系与参数方程》复习讲义
参考答案
三、基础训练：
1.19422='+'y x ；
2.122=+y x ；
3.⎪⎩
⎪⎨⎧='='y y x
x 213；4.2sin =θρ； 5.)4cos(2θπ
ρ-= 6.162cos 2=θρ；7.5)2()1(22=++-y x ；8.2
2；
9.12-；10.)1,3,1(-；11.)3,2
3
,
2
1(；12.]1,1[,22-∈=x x y 13.)0,4(),0,4(21F F -；14.2；15.15-；16.34-；17.)1,3(,24--
四、全国历届高考中的《坐标系与参数方程》试题选编：
1.C ；
2.B ；
3.B ；
4.D ；
5.2；
6.B ；
7.（0，2），22
8.(Ⅰ)⊙O 1和⊙O 2的直角坐标方程分别为4)2(22=+-y x 和4)2(22=++y x ； (Ⅱ)经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程是x+y=0
五、广东省各地市2007年模拟考试中的《坐标系与参数方程》试题选编：
1.5;
2.4
1)42()42(22=-+-y x ;3.2cos =θρ; 4.1;5.4
7
;6.相切。