能量法

1

3Eh2 10GL2

It is therefore customary in engineering practice to neglect the effect of shear in computing the strain energy of slender beams.
F 广义力
1
广义位移
基本变形下杆的应变能：（线弹性范围内）
F
V

1 2
Fl

FN2l 2EA
l
FN2 x dx
2EA
Me
V

1 2
M e

T 2l 2GI P

T 2 xdx
l 2GIP
M
V

1 M
2

M 2l 2EI
横力弯曲
M 2 x dx
2EI 0
2GI p 0
4EI 4GI p
外力功
V
W

1 2
P
A
A

PR3
2EI

3PR3
2GI p
互等定理 (Reciprocal theorems)
1. 功的互等定理
设有两组外力F1和F2分别作用于同一线弹性结构上，如 图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。
F1 Δ11 1
F1 dF
0
线弹性范围内：
1

1
Vc
V

F 2
➢ 余能仅具有与应变能相同的量纲，无具体 的物理意义。线弹性材料，余能数值上等 于应变能，应区分两者的概念。
应变能的普遍表达式
相对轴向位移：du 相对转角：d 相对扭转角: d
dV

1 2
FN
du

1 2
Md
1 Td
2
FN 2dx M 2dx T 2dx 2EA 2EI 2GI p
总外力余功记做 Wc
总余能为
n
Vc Wc
Fi 0
i
dFi
i 1
Fi Fi dFi
dWc i dFi
dVc

Vc Fi
dFi
dWc dVc
i

Vc Fi
卡氏第二定理（线弹性）F1 Fi Fn
一组广义力F1, F2, …, Fn
1 i n
相应的广义位移1, 2, …, n
i

n j 1
FN j l j EAj
FN j Fi

1 EA
Fx
l
(1)
2Fx
(1 2 2) Fxl 3.83 Fxl
EA
EA
2l 2
()
例:如图所示外伸梁的抗弯刚度为 EI
求外伸端C点的挠度wC，端面A的转角 A。
Me
P
l
a
Me
由余能定理
i

Vc Fi
对于线弹性体系 V Vc
i

Vc Fi
i

V Fi
卡氏第二定理：对于线弹性体，其应变能对某一载荷Fi
的偏导数，等于该载荷的相应位移i
卡氏第二定理应用：
i

V Fi
V
dV
FN 2dx
M 2dx
T 2dx
l 2EA l 2EI l 2GI p
1
1
W21 2 F2 22 F2 21 2 F1 11
∵ 外力所作总功与加载次序无关，
即： W12 W21
∴ 由(1)、(2)可得：
F1
Δ11 1
2 Δ21
(a) 第一状态
Δ12 1
F2
2 Δ22
(b) 第二状态
F112 F221
(a)
功的互等定理：（最基本的定理） 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的功，等于 第二状态的外力在第一状态的位移上所作的功。
能量法
（Energy Methods）
一、概述
➢ 利用功和能的概念求解可变形固体的位 移、变形和内力的方法，统称为能量法
➢有限单元法（Finite Element Method） 求解固体力学问题的理论基础
➢ 不仅适用于线弹性问题，也可用于非线 性弹性问题
二、应变能 ·余能
功:力作用于物体，力作用点在其作用方向上发 生位移，则该力对物体做了功
V l 2EI
二、应变能 ·余能
应变能密度：
v
V V

1 F d 0 AL
1 d
0
v
1 d
0
线弹性范围内
v
1
2
2
2E
E 2
2
v
1
2
2 G 2
2G 2
应变能： V V v dxdydz
若整个体积内v相同 V v V
5 FN2 4 F
C
B
F
l
FN1 3 FN2 5
F 4 F 4
F
wB

2 i 1
FNili EA
FNi F


3F 4
EA
l



3 4


5F
4 5l
EA
3


5 4

19Fl 6EA
i

n j 1
FN j l j EAj
normal and shearing stresses.
Solution：
strain energy due to the normal stresses
V
M 2 xdx
l 2EI
L Px2 dx
0 2EI
P2 L3
6EI
shearing stresses
strain energy due to the shearing stresses
解：求内力
弯矩 M PRsin
扭矩 T PR1 cos
应变能
MT
V

PR sin 2 Rd

0
2EI
PR 1 cos 2 Rd
0
2GI p
P2R3
sin 2 d P2 R3

1

cos

2
d
P2 R3 3P2 R3
集中力
求转角 Fi
外力偶
计算结果为正，力与位移方向一致；
计算结果为负，力与位移方向相反。
例: 桁架结构。拉压刚度 E，A材料为线弹性。
求B点的垂直位移。
A
解: 求两杆轴力
FN2
Fy 0 FN2 sin F 0
4
Fx 0 FN1 FN2 cos 0 FN1
3
3 FN1 4 F
Fi

V i
余能定理（弹性）
i

Vc Fi
卡氏第二定理（线弹性）
i

V Fi
2
3
F1

V 1
1

Vc F1
1

V F1
卡氏第一定理（弹性） F1 Fi Fn
一组广义力F1, F2, …, Fn
1 i n
相应的广义位移1, 2, …, n
FN j Fi
例:桁架结构。拉压刚度为 E，A 材料为线弹性。
求C点的水平位移。
Fx D
C
l A
B l
杆件 长度
FNj
FNj Fx
D
AB
l
0
0
BC
l
－Fx
－1
Fx C
CD
l
0
0
AD AC
l
0
2l
2Fx
0 2
A FxFx l
B Fx
C

n j 1
FN j l j EAj
FN j Fx


6P bh3

h2 4

y2

2
V

V
2G
dV
3P2 L
5Gbh
The total strain energy of the beam is
V
P2 L3 3P2L 6EI 5Gbh

P2 L3 6EI
1
18EI 5GL2bh


P2 L3 6EI
dx1

a 0
M (x2 EI
)

M (x2 P
)
dx2

l 0
1 EI
Me
l
Pa
x1

Me

(
a l
x1 )dx1

a 0
1 EI
(Px2
)( x2
)dx2
1 ( Pa2l Meal Pa2 ) EI 3 6 3
A
M (x) M (x) dx l EI Me
例：在外伸梁的自由端作用力偶矩 Me，试用互等
定理计算跨度中点 C 的扰度 DC。
Me
F112 F221
A
C
B
DC
D
解：
M eD PC
0.5l
0.5l
a
D

Pl 2 16EI
C

M el2 16EI
P
A
C
B
0.5l
0.5l
qD
D
a
三、卡氏定理 F1
F2
F3
1
卡氏第一定理（弹性）
总外力功记做 W
总应变能为
n
V W
i 0
Fi
di
i 1
i i di
dW Fidi
dV

V i
di
dW dV
Fi

V i
余能定理 （弹性）
F1
Fi
Fn
一组广义力F1, F2, …, Fn
1 i n
相应的广义位移1, 2, …, n
2 Δ21
Δ12 1
F2 2 Δ22
(a) 第一状态
(b) 第二状态
为证明功的互等定理,这两组力按不同次序先后作用于
同一结构上, 所作的总功分别如下：
(1)先加F1后加F2 ，外力的总功
1
1
W12 2 F1 11 F1 12 2 F2 22
(2)先加F2后加F1 ，外力的总功
2. 位移互等定理 （功的互等定理的一个特例 — 单位力）
F1
1
2 D21
F2
D12 1
2
(a) 第一状态
(b) 第二状态
功的互等定理为
F112 F221
若令：F1 =F2 =F
则有：F 12 F 21
即：
12 21
(b)
位移互等定理: 第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移， 等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的 位移。(单位力——广义力， 位 移——广义位移）
M
FN dx T
圆截面 杆件
V
dV

l
FN 2dx 2EA

l
M 2dx 2EI

l
T 2dx 2GI p
矩形截
面杆件
V
dV
FN 2dx l 2EA
M y2dx l 2EI y
Mz2dx l 2EI z
T 2dx l 2GIt
例：已知圆截面半圆杆曲杆，P，R ，EI ， GIp， 试求：A点垂直位移
二、应变能 ·余能
➢ 应变能为恒正的标量，与坐标系无关
➢ 应变能仅与荷载的最终值有关，与加载 顺序无关。
➢ 线弹性范围内，应变能为内力（或位移） 的二次函数，叠加原理不再适用。
思考：矩形截面梁的尺寸、 Me
载荷如图所示。试求梁的
h b
弹性应变能；
P
二、应变能 ·余能
F
F1
dF
0
余能：（弹性）
Vc
恒力功
F W FP 1 FP
变形功 W 1 Fd 0 F
F
1

d 1
二、应变能 ·余能
能:根据功能原理，贮存在物体中的应变能 V,数值 上等于外力在物体变形过程中所做的功。
V W
1 Fd
0
F
线弹性问题
F
V
W

1 2
F11
F
F1dΒιβλιοθήκη 1 拉压：i
n j 1
FN j l j EAj
FN j Fi
扭转：
i
T (x) T (x) dx l GI p Fi
弯曲：
i
M (x) M (x) dx l EI Fi
公式讨论：
i

V Fi
线弹性小变形范围内计算结构位移
Fi 为广义力 求挠度 Fi
例：矩形截面梁的尺寸、载荷如图所示。材料的弹性
模量为E，泊松比为v，试求：梁的弹性应变能；
解一：
对梁中任一点，均为单 M
h
向应力状态，如图所示：
l
b
My σx Iz
vε

1 2E
σx2

1 2E
( My)2 Iz
x
Vε
vε dV

l
dx
1 ( My )2 dA
0
2E
A
Iz
M2l 2EI z 2
2
y dA
A
6M 2 l Ebh 3
解二：
V

1 M
2

M 2l 2EI

M 2l bh3

6M 2l Ebh3
2E
12
Example：Determine the strain energy of the rectangular
cantilever beam AB, taking into account the effect of both
P
FA

Me
l
Pa
x1
l
解: AB段
x2
a
i

M (x) M (x) dx l EI Fi
M (x1)

FA x1
Me

Me
l
Pa
x1
Me
0 x1 l
wc

M (x) M (x) dx l EI P
M (x1) P


a l
x1
M (x1) M e

1 l
x1
1
A
M( x) M( x)

dx
l EI Me
BC段
M (x2 ) Px2
0 x2 a
M (x2 ) P

x2
M (x2 ) 0 M e
wC

M (x) M (x) dx l EI P