专题01 集合与常用逻辑用语专项高考真题总汇(带答案与解析)

专题01集合与常用逻辑用语
1．【2021·浙江高考真题】设集合{}1A x x =≥，{}
12B x x =-<<，则A B = （）
A ．{}
1x x >-B ．{}
1
x x ≥C ．{}
11
x x -<<D ．{}
12
x x ≤<【答案】D
【解析】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤< .故选：D.
2．【2021·全国高考真题】设集合{}
24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）
A ．{}2
B ．{}
2,3C ．{}
3,4D ．{}
2,3,4【答案】B
【解析】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .
3．【2021·全国高考真题（理）】设集合{}
104,53M x x N x x ⎧⎫
=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭
，则M N = （
）
A ．103x x ⎧⎫
<≤⎨⎩
⎭
B ．143x
x ⎧⎫
≤<⎨⎬⎩⎭
C ．{}
45x x ≤<D ．{}
05
x x <≤【答案】B
【解析】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭
,故选：B.
4．【2021·全国高考真题（理）】已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，
{}
41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）
A ．∅
B ．S
C ．T
D ．Z
【答案】C
【解析】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .
故选：C.
5．【2021·浙江高考真题】已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =
”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若a c b c ⋅=⋅ ，则()
0a b c -⋅=r r r ，推不出a b = ；若a b =
，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，
故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =
”的必要不充分条件
故选：B.
6．【2021·全国高考真题（理）】已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）
A ．p q ∧
B ．p q
⌝∧C ．p q
∧⌝D ．()
p q ⌝∨【答案】A
【解析】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；
所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．
7．【2021·全国高考真题（理）】等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（
）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B
【解析】由题，当数列为2,4,8,--- 时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是
矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．
8．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4
【答案】B 【解析】【分析】
由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.
【详解】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧
⎫=≤-⎨⎩
⎭
.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12
a
-=，解得2a =-.故选B ．
【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B = ðA ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】
首先进行并集运算，然后计算补集即可.
【详解】由题意可得{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =- ð.
故选A
.
【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.
10．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．6
【答案】C 【解析】【分析】
采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8
y x
x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y ∈N ，
由82x y x +=≥，得4x ≤，
所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选C ．
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.11．【2020年高考天津】设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合
{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =
∩ðA ．{3,3}-B ．{0,2}
C ．{1,1}-
D ．{3,2,1,1,3}
---【答案】C 【解析】【分析】
首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】由题意结合补集的定义可知{}2,1,1U B =--ð，则()
{}U 1,1A B =- ð.故选C ．
【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
12．【2020年高考北京】已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B = A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}
【答案】D 【解析】【分析】
根据交集定义直接得结果.
【详解】{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=I I ，故选D ．
【点睛】本题考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.13．【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】
首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选A ．
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.14．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =
A ．{x |2<x ≤3}
B ．{x |2≤x ≤3}
C ．{x |1≤x <4}
D ．{x |1<x <4}【答案】C 【解析】
【分析】
根据集合并集概念求解.
【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U .故选C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P I Q =
A ．{|12}x x <≤
B ．{|23}x x <<
C ．{|34}x x ≤<
D ．{|14}
x x <<【答案】B 【解析】【分析】
根据集合交集定义求解
.
【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==I I .故选B.
【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
16．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，
m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，
当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.
当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定
一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以
,,m n l 在同一平面.
综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选B.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题.
17．【2020年高考北京】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】【分析】
根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；
若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即
()()π12k
k k m αβ=+-=或()()π121k
k k m αβ=+-=+，
亦即存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-．
所以，“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C ．
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.
18．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，
则M N =
A ．}{43x x -<<
B ．}42{x x -<<-
C ．}{22x x -<<
D ．}
{23x x <<【答案】C
【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<，则{|22}M N x x =-<< ．故选C ．
【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分．19．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B =A ．(–∞，1)B ．(–2，1)C ．(–3，–1)D ．(3，+∞)【答案】A
【解析】由题意得，2{560|}{2|A x x x x x =-+><=或3}x >，
{10}{1|}|B x x x x =-<=<，则{|1}(,1)A B x x =<=-∞ ．
故选A ．
【名师点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．
20．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知集合2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}
0,1,2【答案】A
【解析】∵21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}
11B x x =-≤≤，又{1,0,1,2}A =-，∴{}1,0,1A B =- .故选A ．
【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.
21．
【2019年高考天津理数】设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，
则()A C B = A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}
1,2,3,4【答案】D
【解析】因为{1,2}A C = ，所以(){1,2,3,4}A C B = .故选D .
【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
22．【2019年高考浙江】已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B ð=
A ．{}1-
B ．{}0,1
C ．{}1,2,3-
D ．{}1,0,1,3-【答案】A
【解析】∵{1,3}U A =-ð，∴()
{1
}U A B =- ð.故选A.
【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.
23．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；
当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.故选A.
【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取,a b 的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.24．【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“2
50x x -<”是“|1|1x -<”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<，易知由05x <<推不出02x <<，由02x <<能推出05x <<，
故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，
即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件.故选B.
【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到x 的取值范围.25．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是
A ．α内有无数条直线与β平行
B ．α内有两条相交直线与β平行
C ．α，β平行于同一条直线
D ．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；
由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B ．
【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.
26．【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC
的夹角为锐角”是
“||||AB AC BC +>
”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC
的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC
|”的充分必要条件.
故选C.
【名师点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积，同时考查了转化与化归的数学思想.
27．【2020年高考江苏】已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.
【答案】{}
0,2【解析】
【分析】
根据集合的交集即可计算.
【详解】∵{}1,0,1,2A =-,{}0,2,3B =，
∴{}0,2A B =I .
故答案为{}0,2.
【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型．
28．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：
p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．
则下述命题中所有真命题的序号是__________．
①14
p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④
【解析】
【分析】
利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真
假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题
4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.
【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；
若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，
同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，
所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题
1p 为真命题；对于命题
2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；
对于命题
3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；
对于命题
4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，
直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，
命题4p 为真命题.
综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，
23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.
故答案为①③④.
【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.
29．
【2019年高考江苏】已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B = ▲.
【答案】{1,6}
【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.
由题意知，{1,6}A B = .
【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.。