电路分析第8章 阻抗与导纳
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
正弦电压与电流
直流电路在稳定状态下电流、电压的大 小和方向是不随时间变化的，如图所示。 正弦电压和电流是按正弦规律周期性 变化的，其波形如图所示。
I U
0
t
电路图上所标的方向是指它们的参考 方向，即代表正半周的方向。
负半周时，由于电压（或电流）为负值， 所以其实际方向与参考方向相反。
u i
+
0
实 际 方 向
［解］ T 1 0.02S
f
= 2f = 23.1450 = 314rad/s
2. 幅值与有效值
瞬时值是交流电任一时刻的值。 用小写字母表示。如 i、u、e分别表 示电流、电压、电动势的瞬时值。 幅值是交流电的最大值。用大 写字母加下标表示。如Im、Um、Em。 i Im 0 2
复数Ａ可用几种形式表示
b
A
r
0
幅角
a
+1
复数可用有向线段表示
A=a+jb =r(cos +jsin ) =rej =r
代数式 指数式 极坐标式
a=rcos b=rsin
r = a2+b2
设A1 = a1+ jb1 = r1 1 复数运算 A = a + jb = r 2 2 2 2 2 A1 · 2 = r1 ·2 (1+2) 极坐标式 A r
A1 r1 1 2 A2 r2
或指数式
则 A1 ± A2 = (a1 ± a2) + j (b1 ± b2) 代数式
=arctan b a
§8-3 相量
设 i(t)= Imcos(t+) 由欧拉恒等式， ej = cos+jsin 取虚部 Im(ej )= sin
§8-3 相量
设 i(t)= Imcos(t+)
由欧拉恒等式， ej = cos+jsin Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+) i(t) = Imcos(t+) = Re[Imej(t+) ]=Re[Imej ejt] = Re[Im ejt] 式中 Im = Imej =Im / = Imcos+jImsin —
例: i1(t)= 5cos(314t+ 60 °) A i2(t)=10sin(314t+ 60 °)A i3(t)= – 7cos(314t+ 60 °) A
+j
I1m 60° +1 -30° I3m
•
•
写出幅值相量，绘相量图
• 解： I =5/60° A 1m
-120°
I2m
•
i2(t) =10sin(314t+60°) =10cos(314t﹣30° ) I2m=10/﹣30° A
取实部 Re(ej )= cos
令 =t+，设复时变函数Imej(t+) ，由欧拉恒等式 Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+) 取实部 Re[Imej(t+) ]=Imcos(t+)= i(t) 取虚部 Im[Imej(t+) ]=Imsin(t+)
•
i3(t) = – 7cos(314t+ 60°)
=7cos(314t﹣120° )A
I3m=7/﹣120° A
•
§8-4 相量的线性性质和微分性质
1. 相量的线性性质
表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组合 的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。亦即 如设两个正弦量分别为： i2(t) = Im2cos(t+2) i1(t) = Im1cos(t+1) = Re[Im1 ejt]
•
= Re[Im2 ejt]
•
设 k1和k2为两个实数，则正弦量i(t) = k1 i1(t) + k2 i2(t) 可用相量 Im = k1 Im1 + k2 Im2 表示。
• • •
例： 若已知 i1=I1mcos(t+ 1)=100cos(t+45)A， i2=I2mcos(t+ 2)=60cos(t30)A ，试求 i = i1+i2 。
第8章 阻抗和导纳
§8-1 变换方法的概念
§8-2 复数
§8-3 相量 §8-4 相量的线性性质和微分性质
§8-5 基尔霍夫定律的相量形式
§8-6 三种基本电路元件VCR的相量形式 §8-7 VCR相量形式的统一——阻抗和导纳的引入 §8-8 正弦电路与电阻电路的类比——相量模型的引入 §8-9 正弦稳态混联电路的分析 §8-10 相量模型的网孔分析法和节点分析法
t(s)
t (rad)
i (t)= Imcos (t+) 正弦交流电的三要素： （1）幅值 Im （2）角频率 （3）初相位 0
i T/2 T 2 t(s)
t (rad)
1. 频率与周期
周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间；
频率 f ：正弦量每秒内变化的次数； i 1 Im f T 2 t 交流电每交变一个周期便变 0 Ｔ t 化了2弧度，即 T = 2 T –Im 2π 角频率 : 2πf T ［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其 周期和角频率。
于是得
i 129 cos( t 18 .3° A )
例： 若已知 i1=I1mcos(t+ 1)=100cos(t+45)A， i2=I2mcos(t+ 2)=60cos(t30)A ，试求 i = i1+i2 。 解：用相量图求解
• I1m • I2m • Im
j
=10045°A
[例] 若 i1= I1 mcos(t+i1) i2= I2 mcos(t+i2)， 已知i1=30°，i2=65°，I1m=2I2m 试画出相量图。
j
I 2m
i2 0 i1
•
I 1m
•
相 量 图 1
注意 只有正弦量才能用相量表示； 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上； 相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是 时间的函数，二者之间并不相等。
Ib
0
I
•
Im
•
最大 值相量
Ia
+1
相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流 电是时间的函数，所以二者之间并不相等。
例：已知某正弦电压Um=311V，f =50Hz，u=30°，试写 出此电压的瞬时值表达式、最大值相量和有效值相量，画 出此电压的相量图，求出t=0.01S时电压的瞬 时值。
解： 瞬时值
• •
称为正弦电流i(t)的幅值相量
Im I = —— = Iej =I/—= Icos+jIsin — √2
•
•
称为正弦电流i(t)的有效值相量
+j
A
0
t1+
i •
Im +1
i= Imsin(t+)
0 t1
t
A
t2 i
有向线段长度是Im，t=0时，与横 轴的夹角是，以角速度 逆时针方 向旋转，它在实轴上的投影，即为 正弦电流的瞬时值i= Imcos(t+)
u=311cos(100t+30 °)
•
最大值相量 Um =311 30 °V
有效值
U=
Um 2
•
=
311 2
=220V
U 30 °
•
有效值相量 U=220 30 °V
u( 0.01) =311cos(100 × 0.01 +30 °) = – 269.3V
按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的 图形，称为相量图。
t
t=0时， i (0)= Im
Im i
0
t
0
(t+)称为正弦量的相位角或相位。它反映出正弦量 变化的进程。
t=0时的相位角 称为初相位角或初相位。 若所取计时起点不同，则正弦量初相位不同。
相位差
在一个交流电路中，通常各支路电流的频率相同， 而相位常不相同。
i1= I1mcos(t+i1) 和 i2= I2 mcos(t+i2)的相位差 = (t+ i1)- (t+ i2)= i1- i2 i2 i1 i2 超前i1
t
t
Ｔ
–Im 有效值是从电流的热效应来规定的。 i(t)= Imcos (t+i ) 如果交流电流通过一个电阻时在一个 周期内消耗的电能与某直流电流通过 当电流为正弦量时: 同一电阻在相同时间内消耗的电能相 等, 就将这一直流电流的数值定义为交 Im I 流电流的有效值。 2 T Um 根据上述定义，有 同理可得 U Ri2dt=RI2T
ห้องสมุดไป่ตู้
t1
t=t1时， i(t1)= Imcos(t1+)
t
8.3 相 量
由以上分析可知，一个复数由模和辐角两个特征量 确定。而正弦量具有幅值、初相位角和频率三个要素。 但在分析线性电路时，电路中各部分电压和电流都是 与电源同频率的正弦量，因此，频率是已知的，可不 必考虑。故一个正弦量可以由幅值和初相位两个特征 量来确定。
∫0
2
有效值
1 T 2 I 0 i dt T
Em E 2
3.初相位
对于正弦量而言，所取计时起点不同，其初始值 (t=0时的值) 就不同，到达某一特定值（如0值）所需的时间也就不同。 例如:
i (t)= Imcos t
i (t)= Imcos (t+) i (0)= Imcos i i0
•
(有效值相量)
I = Ia +j Ib
•
正弦量用旋转有向线段表示用复函数表示。 同频率正弦量可以用复数来表示，称之为相量。 • • I Um 用大写字母上打“•”表示。
i= Imcos( t+) 相 量 图 有效 +j 值相量
=Icos +jIsin =Iej =I • Im= Iam +j Ibm =Imcos +jImsin =Imej =Im
解: 正弦电量的运算可按下列步骤进行
• I1m • I2m
=10045°A =60–30°A
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
所求正弦量
反变换 相量结果
Im I1m I 2m 10045 60 30
( 70.7 j70.7 ) ( 52 j30 ) 12918.3°A
§8-11 相量模型的等效
§8-12 有效值 有效值相量 相量图法 §8-13 两类特殊问题
正弦交流电路(正弦稳态电路)的基本概念
正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路 各部分所产生的电压和电流(稳态响应)均按正弦规律 变化的电路。
本章和下一章将介绍正弦稳态电路的一些基本 概念、基本理论和基本分析方法。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和分析 的物理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以 免引起错误。
i
i + u – R
t
+ u –
R
正半周
负半周
一.周期电压和电流 按周期变化，即经过相等的时间重复出现的电压和电流。 二.正弦电压和电流 随时间按正弦（余弦）规律变化的电压和电流。 u(t)=Umcos(ωt) u(t)=Umsin(ωt+π/2) Um —振幅 ω —角频率
Um
0 u T/2 T 2
=60–30°A =12918.3°A
0
I1m Im
1 •
•
I2m
Im I1m I 2m 10045 60 30
i1 i2
0
i2 滞后i1
t
i1
i1与i2反相 i2
t
0
0
i2
i1
i1与i2同相
t
i1
i2 i1与i2正交
t
0
0
8.1 变换方法的概念(变换域方法)
正弦量具有幅值、频率和初相位三个要素，它们除了 用三角函数式和正弦波形表示外，还可用相量来表示同 频率的正弦量。 相量表示法就是用复数来表示同频率的正弦量。 相量法是一种用来表示和计算同频率正弦量的数学 工具，应用相量法可以使正弦量的计算变得很简单。
比照复数和正弦量，正弦量可用复数来表示。复数的模即为 正弦量的幅值（或有效值），复数的辐角即为正弦量的初相位。 为与一般复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量。并用 在大写字母上打一“•”的符号表示。 • 例如 i (t)= Imcos ( t+ ) 的相量为 (最大值相量)
Im=Im = Imej =Im (cos +jsin ) I=I = Iej =I(cos +jsin )
例如：已知两个支路电流
i1= I1 mcos( t+i1)
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
i2= I2 mcos( t+i2)
若求：i = i1 + i2
所求正弦量 反变换 相量结果
8.2 复数
+j
由欧拉公式，得出：
j 1
模
cos +jsin =ej
额定电压纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路ir电压与电流同频率同相位电压与电流大小关系urdidt纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路电流超前电压90dudt纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路电压与电流相量式单一参数的交流电路单一参数的交流电路纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路电压与电流相量表达式电压与电流相量式二二纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路三三纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路97vcr相量形式的统一阻抗和导纳的引入电压与电流相量式欧姆定律的相量形式欧姆定律的相量形式称为复数阻抗简称阻抗单位为欧姆
正弦电压与电流
直流电路在稳定状态下电流、电压的大 小和方向是不随时间变化的，如图所示。 正弦电压和电流是按正弦规律周期性 变化的，其波形如图所示。
I U
0
t
电路图上所标的方向是指它们的参考 方向，即代表正半周的方向。
负半周时，由于电压（或电流）为负值， 所以其实际方向与参考方向相反。
u i
+
0
实 际 方 向
［解］ T 1 0.02S
f
= 2f = 23.1450 = 314rad/s
2. 幅值与有效值
瞬时值是交流电任一时刻的值。 用小写字母表示。如 i、u、e分别表 示电流、电压、电动势的瞬时值。 幅值是交流电的最大值。用大 写字母加下标表示。如Im、Um、Em。 i Im 0 2
复数Ａ可用几种形式表示
b
A
r
0
幅角
a
+1
复数可用有向线段表示
A=a+jb =r(cos +jsin ) =rej =r
代数式 指数式 极坐标式
a=rcos b=rsin
r = a2+b2
设A1 = a1+ jb1 = r1 1 复数运算 A = a + jb = r 2 2 2 2 2 A1 · 2 = r1 ·2 (1+2) 极坐标式 A r
A1 r1 1 2 A2 r2
或指数式
则 A1 ± A2 = (a1 ± a2) + j (b1 ± b2) 代数式
=arctan b a
§8-3 相量
设 i(t)= Imcos(t+) 由欧拉恒等式， ej = cos+jsin 取虚部 Im(ej )= sin
§8-3 相量
设 i(t)= Imcos(t+)
由欧拉恒等式， ej = cos+jsin Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+) i(t) = Imcos(t+) = Re[Imej(t+) ]=Re[Imej ejt] = Re[Im ejt] 式中 Im = Imej =Im / = Imcos+jImsin —
例: i1(t)= 5cos(314t+ 60 °) A i2(t)=10sin(314t+ 60 °)A i3(t)= – 7cos(314t+ 60 °) A
+j
I1m 60° +1 -30° I3m
•
•
写出幅值相量，绘相量图
• 解： I =5/60° A 1m
-120°
I2m
•
i2(t) =10sin(314t+60°) =10cos(314t﹣30° ) I2m=10/﹣30° A
取实部 Re(ej )= cos
令 =t+，设复时变函数Imej(t+) ，由欧拉恒等式 Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+) 取实部 Re[Imej(t+) ]=Imcos(t+)= i(t) 取虚部 Im[Imej(t+) ]=Imsin(t+)
•
i3(t) = – 7cos(314t+ 60°)
=7cos(314t﹣120° )A
I3m=7/﹣120° A
•
§8-4 相量的线性性质和微分性质
1. 相量的线性性质
表示若干个同频率正弦量（可带有实系数）线性组合 的相量等于表示各个正弦量的相量的同一线性组合。亦即 如设两个正弦量分别为： i2(t) = Im2cos(t+2) i1(t) = Im1cos(t+1) = Re[Im1 ejt]
•
= Re[Im2 ejt]
•
设 k1和k2为两个实数，则正弦量i(t) = k1 i1(t) + k2 i2(t) 可用相量 Im = k1 Im1 + k2 Im2 表示。
• • •
例： 若已知 i1=I1mcos(t+ 1)=100cos(t+45)A， i2=I2mcos(t+ 2)=60cos(t30)A ，试求 i = i1+i2 。
第8章 阻抗和导纳
§8-1 变换方法的概念
§8-2 复数
§8-3 相量 §8-4 相量的线性性质和微分性质
§8-5 基尔霍夫定律的相量形式
§8-6 三种基本电路元件VCR的相量形式 §8-7 VCR相量形式的统一——阻抗和导纳的引入 §8-8 正弦电路与电阻电路的类比——相量模型的引入 §8-9 正弦稳态混联电路的分析 §8-10 相量模型的网孔分析法和节点分析法
t(s)
t (rad)
i (t)= Imcos (t+) 正弦交流电的三要素： （1）幅值 Im （2）角频率 （3）初相位 0
i T/2 T 2 t(s)
t (rad)
1. 频率与周期
周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间；
频率 f ：正弦量每秒内变化的次数； i 1 Im f T 2 t 交流电每交变一个周期便变 0 Ｔ t 化了2弧度，即 T = 2 T –Im 2π 角频率 : 2πf T ［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其 周期和角频率。
于是得
i 129 cos( t 18 .3° A )
例： 若已知 i1=I1mcos(t+ 1)=100cos(t+45)A， i2=I2mcos(t+ 2)=60cos(t30)A ，试求 i = i1+i2 。 解：用相量图求解
• I1m • I2m • Im
j
=10045°A
[例] 若 i1= I1 mcos(t+i1) i2= I2 mcos(t+i2)， 已知i1=30°，i2=65°，I1m=2I2m 试画出相量图。
j
I 2m
i2 0 i1
•
I 1m
•
相 量 图 1
注意 只有正弦量才能用相量表示； 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上； 相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流电是 时间的函数，二者之间并不相等。
Ib
0
I
•
Im
•
最大 值相量
Ia
+1
相量是表示正弦交流电的复数，正弦交流 电是时间的函数，所以二者之间并不相等。
例：已知某正弦电压Um=311V，f =50Hz，u=30°，试写 出此电压的瞬时值表达式、最大值相量和有效值相量，画 出此电压的相量图，求出t=0.01S时电压的瞬 时值。
解： 瞬时值
• •
称为正弦电流i(t)的幅值相量
Im I = —— = Iej =I/—= Icos+jIsin — √2
•
•
称为正弦电流i(t)的有效值相量
+j
A
0
t1+
i •
Im +1
i= Imsin(t+)
0 t1
t
A
t2 i
有向线段长度是Im，t=0时，与横 轴的夹角是，以角速度 逆时针方 向旋转，它在实轴上的投影，即为 正弦电流的瞬时值i= Imcos(t+)
u=311cos(100t+30 °)
•
最大值相量 Um =311 30 °V
有效值
U=
Um 2
•
=
311 2
=220V
U 30 °
•
有效值相量 U=220 30 °V
u( 0.01) =311cos(100 × 0.01 +30 °) = – 269.3V
按照正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的 图形，称为相量图。
t
t=0时， i (0)= Im
Im i
0
t
0
(t+)称为正弦量的相位角或相位。它反映出正弦量 变化的进程。
t=0时的相位角 称为初相位角或初相位。 若所取计时起点不同，则正弦量初相位不同。
相位差
在一个交流电路中，通常各支路电流的频率相同， 而相位常不相同。
i1= I1mcos(t+i1) 和 i2= I2 mcos(t+i2)的相位差 = (t+ i1)- (t+ i2)= i1- i2 i2 i1 i2 超前i1
t
t
Ｔ
–Im 有效值是从电流的热效应来规定的。 i(t)= Imcos (t+i ) 如果交流电流通过一个电阻时在一个 周期内消耗的电能与某直流电流通过 当电流为正弦量时: 同一电阻在相同时间内消耗的电能相 等, 就将这一直流电流的数值定义为交 Im I 流电流的有效值。 2 T Um 根据上述定义，有 同理可得 U Ri2dt=RI2T
ห้องสมุดไป่ตู้
t1
t=t1时， i(t1)= Imcos(t1+)
t
8.3 相 量
由以上分析可知，一个复数由模和辐角两个特征量 确定。而正弦量具有幅值、初相位角和频率三个要素。 但在分析线性电路时，电路中各部分电压和电流都是 与电源同频率的正弦量，因此，频率是已知的，可不 必考虑。故一个正弦量可以由幅值和初相位两个特征 量来确定。
∫0
2
有效值
1 T 2 I 0 i dt T
Em E 2
3.初相位
对于正弦量而言，所取计时起点不同，其初始值 (t=0时的值) 就不同，到达某一特定值（如0值）所需的时间也就不同。 例如:
i (t)= Imcos t
i (t)= Imcos (t+) i (0)= Imcos i i0
•
(有效值相量)
I = Ia +j Ib
•
正弦量用旋转有向线段表示用复函数表示。 同频率正弦量可以用复数来表示，称之为相量。 • • I Um 用大写字母上打“•”表示。
i= Imcos( t+) 相 量 图 有效 +j 值相量
=Icos +jIsin =Iej =I • Im= Iam +j Ibm =Imcos +jImsin =Imej =Im
解: 正弦电量的运算可按下列步骤进行
• I1m • I2m
=10045°A =60–30°A
正弦电量 （时间函数） 变换
正弦量运算
相量 （复数） 相量运算 （复数运算)
所求正弦量
反变换 相量结果
Im I1m I 2m 10045 60 30
( 70.7 j70.7 ) ( 52 j30 ) 12918.3°A
§8-11 相量模型的等效
§8-12 有效值 有效值相量 相量图法 §8-13 两类特殊问题
正弦交流电路(正弦稳态电路)的基本概念
正弦交流电路是指含有正弦电源(激励)而且电路 各部分所产生的电压和电流(稳态响应)均按正弦规律 变化的电路。
本章和下一章将介绍正弦稳态电路的一些基本 概念、基本理论和基本分析方法。 交流电路具有用直流电路的概念无法理解和分析 的物理现象，因此在学习时注意建立交流的概念，以 免引起错误。
i
i + u – R
t
+ u –
R
正半周
负半周
一.周期电压和电流 按周期变化，即经过相等的时间重复出现的电压和电流。 二.正弦电压和电流 随时间按正弦（余弦）规律变化的电压和电流。 u(t)=Umcos(ωt) u(t)=Umsin(ωt+π/2) Um —振幅 ω —角频率
Um
0 u T/2 T 2
=60–30°A =12918.3°A
0
I1m Im
1 •
•
I2m
Im I1m I 2m 10045 60 30