2022届新高考数学抽象函数专题练习

专题8 抽象函数
一、单选题
1．函数()f x 是R 上的增函数，点()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，则()11f x +<的解集为（ ） A ．()
[),14,−∞−+∞ B ．()[) ,12,−∞−+∞ C ．
1,2
D ．()1,4
2．已知函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=，则(2)f −的值为（ ） A ．3
B ．1
C ．0
D ．1−
3．单调增函数()f x 对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+，若()()33920x x x
f k f ⋅+−−<恒成立，则
k 的取值范围是（ ）
A ．()
1− B ．()
1−∞
C ．(1⎤⎦
D ．)
1,⎡+∞⎣
4．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x −=，当(]0,1x ∈，()2log f x x x =−，则20212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．32
B ．12
C ．12−
D ．32
−
5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y −=−，且当0x <时，()0f x >，则关于x 的不等式()()()
()2222f mx f m f m x f x +>+
（其中0m << ）
A ．2x m x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩
⎭
B ．{|x x m <或2
}x m > C ．2x x m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
D ．{|x x m >或2}x m
<
6．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22x
f x =−，则
()()()()0122020f f f f +++
+的值为（ ）
A ．2−
B ．1−
C ．0
D ．1
7．已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f −=−，则()()20172016f f += A ．2−
B ．1−
C ．0
D ．1
8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2
f x x x =+，则不等式()()ln 1f x f <−的解集为
（ ） A ．()0,e B ．1,e ⎛
⎫−∞ ⎪⎝
⎭
C ．(10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．1,e
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
二、多选题
9．已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =−，且(2)(2)f x f x +=−，当[1,1]x ∈−时，
)
()ln
f x x =，则下列说法正确的是（ ）
A ．(2021)0f =
B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增
C ．()f x 关于点(1010,0)对称
D ．(1,11)x ∈−时，方程()sin 2
f x x π
⎛⎫
=
⎪⎝⎭
的所有根的和为30 10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()()11f x f x −=−+，且当[]0,1x ∈时，()2
2f x x x =+−，则下列
说法正确的是（ ）
A ．()f x 是以4为周期的周期函数
B ．()()201820212f f +=−
C ．函数()2log 1y x =+的图象与函数()f x 的图象有且仅有3个交点
D ．当[]3,4x ∈时，()2
918f x x x =−+
11．已知函数()f x 的定义域为R ，且在R 上可导，其导函数记为()f x '.下列命题正确的有（ ） A ．若函数()f x 是奇函数，则()f x '是偶函数 B ．若函数()'f x 是偶函数，则()f x 是奇函数 C ．若函数()f x 是周期函数，则()f x '也是周期函数 D ．若函数()f x '是周期函数，则()f x 也是周期函数
12．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当[)0,2x ∈时，()21=−x f x ，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A ．(2)0f =
B ．点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心
C ．函数()y f x =在[6,2]−−上单调递增
D ．函数()y f x =在[6,6]−上有3个零点 三、填空题
13．写出一个满足()()2f x f x =−的奇函数()f x =______.
14．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =−，计算
(0)(1)(2)(3)(2021)f f f f f +++++＝________．
15．函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =−，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f ++
+=__________．
16．设()f x 是定义在R 上的函数，且()()2f x f x =+，在区间[)1,1−上，(),102,015x a x f x x x +−≤<⎧⎪
=⎨−≤<⎪⎩
，其中a ∈R .
若5922f f ⎛⎫⎛⎫
−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()5f a 的值是________.
四、解答题
17．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足： ①()01f =；
②任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y −=−.
（1）求()()22
f x
g x −的值；
（2）判断并证明函数()f x 的奇偶性.
18．已知函数()f x 满足对,x y R ∀∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且(1)2f =． （1）求(0)f 与(2)f −的值；
（2）写出一个符合题设条件的函数()f x 的解析式（不需说明理由），并利用该解析式解关于x 的不等式
(21)
1()1f x f x +≥−．
19．如果存在一个非零常数T ，使得对定义域中的任意的x ，总有f x T
f x 成立，则称()f x 为周期
函数且周期为T .已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠
，为常数）对
称，证明：()f x 是周期函数.
20．已知函数()()y f x x =∈R ．
（1）若()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数且(1)=−y f x 为R 上偶函数，求(3)(5)f f −+的值；
（2）若函数()()y g x x =∈R 满足1
(3)2
g x +=
x ∈R 恒成立，函数()()()h x f x g x =+，求证：函数()h x 是周期函数，并写出()h x 的一个正周期；
（3）对于函数()y f x =，()()y k x x =∈R ，若(())()f k x f x =对x ∈R 恒成立，则称函数()y f x =是“广义周期函数”， ()k x 是其一个广义周期，若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x （()k x x =不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a
+=−
．
参考答案
1．C
【解析】解法一：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，()3,1B 是其图象上的两点，所以函数()f x 的草图如图所示.由图象得，
()()11111013f x f x x +<⇔−<+<⇔<+<，即12x −<<.
解法二：因为()f x 是R 上的增函数，()0,1A −，
()3,1B 是其图象上的两点，所以当03x ≤≤时，()11f x −≤≤.
又已知()11f x +<，即()111f x −<+<， 所以013x <+<，解得12x −<<. 故选：C
2．A
【解析】根据题意，函数()f x 在定义域R 上单调，且(0,)x ∈+∞时均有(()2)1f f x x +=， 则()2f x x +为常数，设()2f x x t +=，则()2f x x t =−+，
则有()21f t t t =−+=，解可得1t =−，则()21f x x =−−，故(2)413f −=−=； 故选：A. 3．B
【解析】因为()()()f x y f x f y +=+，
所以()()3392(3392)0x x x x x x
f k f f k ⋅+−−=⋅+−−<
又对任意,x y R ∈满足()()()f x y f x f y +=+， 所以(0)(0)(0)f f f =+， 解得(0)0f =，
由()f x 为R 上单调增函数可得33920x x x k ⋅+−−<，
令30x t =>，
即2(1)20k t t +−−<恒成立， 即21k t t
+<+，
而2
t t +
≥，当且仅当2t t
=，即t =
所以1k +<1k <， 故选：B 4．D
【解析】因为()f x 满足()()2f x f x −=，所以()f x 的图像关于x=1对称. 又()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()()()22f x f x f x =−=−−， 所以()()()42f x f x f x +=−+=， 所以()f x 为周期函数，且周期T =4. 所以2021552524222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
而2551113
2log 2222
22f f f
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以20212f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
32−.
故选：D 5．A
【解析】任取12x x <，由已知得()120f x x −>，即()()120f x f x −>，所以函数()f x 单调递减．
由()()()()22
22f mx f m f m x f x +>+可得()()()()2222f mx f x f m x f m −>−，
即()2
2f mx x f −>()22m x m −，
所以2222mx x m x m −<−，
即()22
220mx m x m −++<，
即()()20mx x m −−<，
又因为0m << 所以
2
m m
>，
此时原不等式解集为2x m x m ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭．
故选：A 6．D
【解析】因为()f x 是R 上的偶函数，所以()()f x f x −=， 又()f x 的图象关于点()1,0对称，则()(2)f x f x =−−，
所以()(2)f x f x −=−−，则()(2)f x f x =−+，得(4)(2)()f x f x f x +=−+=， 即(4)()f x f x +=−，所以()f x 是周期函数，且周期4T =，
由[]0,1x ∈时，()22x
f x =−，则(0)1,(1)0f f ==，
(2)(0)1f f =−=−，(3)(3)(1)0f f f =−==，
则(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=， 则()()()()0122020f f f f ++++(0)5050(0)1f f =+⨯==
故选：D 7．D
【解析】奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数， (0)0f ∴=，且(2)(2)(2)f x f x f x −+=+=−−，
则(4)()f x f x +=−，则(8)(4)()f x f x f x +=−+=， 则函数()f x 的周期是8，且函数关于2x =对称， 则(2017)(25281)f f f =⨯+=（1）(1)(1)1f =−−=−−=，
(2016)(2528)(0)0f f f =⨯==，
则(2017)(2016)011f f +=+=， 故选D ． 8．C
【解析】因为当0x >时，()2
f x x x =+，且函数()f x 是定义在R 上的奇函数，
所以0x <时，()()()()2
2f x f x x x x x ⎡⎤=−−=−−+−=−+⎣⎦
， 所以()22,0
,0x x x f x x x x ⎧−+<=⎨+>⎩
，作出函数图象：
所以函数()f x 是()+−∞∞，
上的单调递增， 又因为不等式()()ln 1f x f <−，所以ln 10x x <−⎧⎨>⎩，即1
0x e <<，
故选：C. 9．CD
【解析】由题设知：2
22
1()ln(1)ln
ln(1)()1f x x x x x f x x x
−=++==−+−=−+−，故()f x 在[1,1]x ∈−上为奇函
数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=−=−，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4， A ：(2021)(50541)(1)ln(21)0f f f =⨯+==−≠，错误；
B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；
C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；
D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2
x
y π=在(1,11)x ∈−的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下
图示，
∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=， ∴所有根的和为30，正确. 故选：CD 10．ACD
【解析】对于A 选项，由已知条件可得()()()()1113f x f x f x f x +=−−=−−=−， 所以，函数()f x 是以4为周期的周期函数，A 选项正确；
对于B 选项，()()()2018202f f f ==−=，()()202110f f ==，则()()201820212f f +=，B 选项错误；
对于C 选项，作出函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象如下图所示：
当[]0,1x ∈时，()[]2
21922,024f x x x x ⎛
−=+⎫−=−∈− ⎪⎝⎭，结合图象可知，()22f x −≤≤.
当3x >时，()2log 12x +>，即函数()2log 1y x =+与函数()f x 在()3,+∞上的图象无交点， 由图可知，函数()2log 1y x =+与函数()f x 的图象有3个交点，C 选项正确； 对于D 选项，当[]3,4x ∈时，[]41,0x −∈−，则[]40,1x −∈，
所以，()()()()()2
244442918f x f x f x x x x x =−=−=−+−−=−+，D 选项正确. 故选：ACD. 11．AC
【解析】解：由导数的定义：()()()
=lim x f x x f x f x x ∆→+∆−∆'
选项A ：()()()
()()
()0
0=lim
=lim
=x x f x x f x f x f x x f x f x x
x
∆→∆→−+∆−−−−∆∆∆''−，即()f x '是偶函数，故A 正确；
选项B ：如()sin 1f x x =+不是奇函数，而()cos f x x '=为偶函数；故B 错误， 选项C ：()()()
()()
()00
=lim
=lim
x x f x T x f x T f x x f x f x T f x x
x
∆→∆→++∆−++∆−=∆∆''+
即()f x '也是周期函数，故C 正确；
选项D ：如()sin f x x x =+不是周期函数，但()1cos f x x '=+是周期函数；故D 错误， 故选：AC. 12．AB
【解析】在(4)()(2)f x f x f +=+中，令2x =−，得(2)0f −=，又函数()y f x =是R 上的奇函数，所以(2)(2)0f f =−=，(4)()f x f x +=，故()y f x =是一个周期为4的奇函数，因(0,0)是()f x 的对称中心，所
以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心，故A 、B 正确；
作出函数()f x 的部分图象如图所示，易知函数()y f x =在[6,2]−−上不具单调性，故C 不正确；
函数()y f x =在[6,6]−上有7个零点，故D 不正确. 故选：AB 13．π
sin
2
x （答案不唯一） 【解析】取()sin
2
f x x π
=，下面为证明过程：
显然，其定义域为R ； 由()sin sin ()2
2
f x x x f x π
π⎛⎫⎛⎫
−=−
=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故()sin 2f x x π=为奇函数；
又()(2)sin 2sin sin ()222f x x x x f x ππππ⎡⎤⎛
⎫
−=−=−
== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭
.
故答案为：sin 2
x π
（答案不唯一）.
14．1
【解析】由题意，()()f x f x −=−且(2)()f x f x −=，
∴()(2)()(2)(2)f x f x f x f x f x −=+=−=−−=−，即()(4)f x f x =+， ∴()f x 是周期为4的函数.
令10x −≤<，则01x <−≤，而[0,1]x ∈时()21x f x =−，
∴1()()(21)12x
x
f x f x −=−−=−−=−
， ∴(0)(2)0,(1)1,(3)(1)1f f f f f ====−=−，即(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=， 而
(0)(1)(2)(3)(2021)505[(0)(1)(2)(3)]f f f f f f f f f +++++=⨯+++(5054)f +⨯(50541)
f +⨯+(0)(1)1f f =+=.
故答案为：1
15．3
【解析】()(2)f x f x =−，(2)()f x f x ∴+=−，又()f x 为奇函数，
(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x ∴+=−=−+=−+=
()f x ∴是周期为4的周期函数，
()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f ∴=∴==，
(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===−=−=−
(1)(2)(3)(4)0f f f f ∴+++=，
()()()()()12...50012123f f f f f ∴+++=⨯++=.
故答案为：3．
16．25
− 【解析】因为()()2f x f x =+， 所以511222f f a ⎛⎫⎛⎫−=−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9112210
f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11210a −+=，解得35a =， 所以()()()25315
f a f f ==−=−. 故答案为：25
− 17．（1）1；（2）偶函数，证明见解析.
【解析】（1）依题意，()()()()()()22f x g x f x f x g x g x −=−()()01f x x f =−==.
（2）由（1）知()()22001f g −=，
∴()()220010g f =−=，即()00g =，
∴()()()()()()()000f x f x f f x g g x f x −=−=−=，
又因为()f x 的定义域为R ，
所以函数()f x 为偶函数.
18．（1）(0)0f =，(2)4f −=−；（2）31(,](,)22
−∞−+∞（答案不唯一）. 【解析】（1）由()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得(0)2(0)f f =，所以(0)0f =，
令1,1x y ==−，得(0)(1)(1)f f f =+−，因为(1)2f =，所以(1)2f −=−，
令1x y ==−，得(2)(1)(1)4f f f −=−+−=−，
（2）答案不唯一，例如：()2f x x =满足条件.
由(21)1()1f x f x +≥−，得2(21)2(21)23110212121
x x x x x x +++≥⇔−=≥−−−， 解得：32x ≤−或12
x >， 故解集为31(,](,)22
−∞−+∞ 19．证明见解析
【解析】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，
∴()()f x f x −=−，
∵()y f x =的图象关于直线x a =（0a ≠，为常数）对称，
所以()()f a x f a x +=−，
∴(2)[()][()]()()f a x f a a x f a a x f x f x +=++=−+=−=−.
从而(4)(2)()f a x f a x f x +=−+=.
∴()f x 是周期函数，且周期为4a .
20．（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析．
【解析】（1）因为()f x 满足(1)y f x =+为R 上奇函数，所以(1)(1)f x f x −=−+，所以()(2)0f x f x −++=，
又因为()f x 满足(1)=−y f x 为R 上偶函数，所以(1)(1)f x f x −−=−，所以()(2)f x f x −=−，
所以有(2)(2)0f x f x −++=，所以(2)(2)f x f x +=−−，所以(4)()f x f x +=−，所以
(8)(4)()f x f x f x +=−+=，所以()f x 的一个周期为8，
所以(3)(5)2(5)f f f −+=，
在()(2)0f x f x −++=中令1x =−，得(1)(1)0f f +=，所以(1)0f =，
在(4)()f x f x +=−中令1x =，得(5)(1)f f −=，所以(5)(1)0f f =−=，
所以(3)(5)0f f −+=；
（2）因为11(3)22g x +=
≥，
所以1(6)2g x +=12=
因为[]11(3)1(3)122g x g x ⎡⎡+−+=+−⎢⎢⎣⎣ 21()()4
g x g x =−+ 21()2g x ⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦，
所以111(6)()222g x g x +==+−()g x =，所以函数()g x 的一个周期为6，
因为()()()h x f x g x =+，
所以(24)(83)(64)()()()h x f x g x f x g x h x +=+⨯++⨯=+=，所以()h x 是周期函数，一个正周期为24；
（3）充分性：当12b x x a +=−时，12b x x a
=−−， 此时()()2
21222222b b b f x f x a x b x c ax bx c f x a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−=−−+−−+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以充分性满足；
必要性：因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的广义周期为()k x ，
所以(())()f k x f x =，所以22(())()a k x bk x c ax bx c ++=++，
所以22()[()]0a k x x b k x x ⎡⎤−+−=⎣⎦，
又因为()k x x =不恒成立，所以[()]0a k x x b ++=，所以()b k x x a =−−，
又因为()()12f x f x =，且()()()11f k x f x =，所以()()()21f k x f x =，
因为12x x ≠，所以1212()b b k x x x x a a +=−−
+≠−， 所以()12k x x =，即12b x x a −−
=，也即12b x x a +=−， 所以必要性满足．
所以：对任意的12,x x ∈R ，12x x ≠，()()12f x f x =成立的充要条件是12b x x a +=−．。