特殊平行四边形专题训练

专训一：矩形的性质与判定灵活运用
名师点金：
1.矩形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质,同时还具有一些独特的性质,可归结为三个方面：<1>从边看：矩形的对边平行且相等；<2>从角看：矩形的四个角都是直角；<3>从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．
2．判定一个四边形是矩形可从两个角度进行：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形,再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．
利用矩形的性质与判定求线段的长<转化思想>
1．如图,将矩形纸片ABCD的四个角向内折起,点A,点B落在点M处,点C,点D落在点N处,恰好拼成一个无缝隙不重叠的四边形EFGH,若EH＝3 cm,EF＝4 cm,求AD的长．
<第1题>
利用矩形的性质与判定证明线段相等
2．如图,点O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连结OE.
求证：OE＝BC.
<第2题>
利用矩形的性质与判定判断图形形状
3．如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝5,E,P分别在AD,BC上,且DE＝BP＝1,连结AP,EC,分别交BE,PD于H,F.
<1>判断△BEC的形状,并说明理由．
<2>判断四边形EFPH是什么特殊的四边形？并证明你的判断．
<第3题>
利用矩形的性质与判定求面积
4．如图,已知E是▱ABCD中BC边上的中点,连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.
<1>连结AC,BF,若∠AEC＝2∠ABC,求证：四边形ABFC为矩形．
<2>在<1>的条件下,若△AFD是等边三角形,且边长为4,求四边形ABFC的面积．
<第4题>
专训二：菱形的性质与判定灵活运用名师点金：
1.菱形具有一般平行四边形的所有性质,同时又具有一些特性,可以归纳为三个方面：
<1>从边看：对边平行,四边相等；<2>从角看：对角相等,邻角互补；<3>从对角线看：对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角．2．判定一个四边形是菱形,可先判定这个四边形是平行四边形,再判定一组邻边相等或对角线互相垂直,也可直接判定四边相等．
利用菱形的性质与判定证明角的关系
1．如图,在四边形ABCD中,AB＝AD,CB＝CD,E是CD上一点,BE交AC于点F,连结DF.
<1>证明：∠BAC＝∠DAC,∠AFD＝∠CFE；
<2>若AB∥CD,试证明：四边形ABCD是菱形；
<3>在<2>的条件下,试确定E点的位置,使∠EFD＝∠BCD,并说明理由．
<第1题>
利用菱形的性质与判定证明线段的位置关系
2．<中考·##>如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD＝AC.
<1>求证：AD＝BC；
<2>若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．
<第2题>
利用菱形的性质与判定解决周长问题
3．<中考·##>如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,D,E分别为AB,AC边上的中点,连结DE,将△ADE绕点E旋转180°,得到△CFE,连结AF.
<1>求证：四边形ADCF是菱形；
<2>若BC＝8,AC＝6,求四边形ABCF的周长．
<第3题>
利用菱形的性质与判定解决面积问题
4．如图,已知等腰三角形ABC中,AB＝AC,AD平分∠BAC,交BC于点D,在线段AD上任取一点P<点A除外>,过点P作EF∥AB,分别交AC,BC于点E,F,作PM∥AC,交AB于点M,连结ME.
<1>求证：四边形AEPM为菱形．
<2>当点P在何处时,菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？请说明理由．
<第4题>
专训三：正方形的性质与判定灵活运用名师点金：
正方形既是矩形,又是菱形,它具有矩形、菱形的所有性质,判定一个四边形是正方形,只需保证它既是矩形又是菱形即可．
利用正方形的性质证明线段位置关系
1．如图,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC 上,且DE＝CF,连结DF,AE,AE的延长线交DF于点M.
求证：AM⊥DF.
<第1题>
利用正方形的性质解决线段和差倍分问题
2．已知：在正方形ABCD中,∠MAN＝45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC<或它们的延长线>于点M,N.
<1>如图①,当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时,易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,如图②,请问图①中的结论是否还成立？如果成立,请给予证明,如果不成立,请说明理由．
<2>当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时,线段BM,DN和MN之间有怎
样的等量关系？请写出你的猜想,并证明．
<第2题>
正方形性质与判定的综合运用
3．如图,P,Q,R,S四个小球分别从正方形的四个顶点A,B,C,D同时出发,以同样的速度分别沿AB,BC,CD,DA的方向滚动,其终点分别是B,C,D,A.
<1>不管滚动时间多长,求证：连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．
<2>四边形PQRS在什么时候面积最大？
<3>四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．
<第3题>
正方形中的探究性问题
4．如图①,在正方形ABCD和正方形CGEF中,点B、C、G在同一条直线上,M 是线段AE的中点,DM的延长线交EF于点N,连结FM,易证：DM＝FM,DM⊥FM<无需写证明过程>；
<1>如图②,当点B、C、F在同一条直线上,DM的延长线交EG于点N,其余条件不变,试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想,并给予证明；
<2>如图③,当点E、B、C在同一条直线上,DM的延长线交CE的延长线于点N,其余条件不变,探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．
<第4题>
专训四：利用矩形的性质巧解折叠问题名师点金：
折叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系,从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系,即折叠前后的图形全等,且关于折痕或所在直线成轴对称；在计算时,常常通过设未知数列方程求解．
利用矩形的性质巧求折叠中的角
1．当身边没有量角器时,怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解"燃眉之急〞．如图,已知矩形纸片ABCD<矩形纸片要足够长>,我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：
<1>以点A所在直线为折痕,折叠纸片,使点B落在边AD上,折痕与BC交于点E；
<2>将纸片平展后,再一次折叠纸片,以点E所在直线为折痕,使点A落在BC 上,折痕EF交AD于F.求∠AFE的度数．
<第1题>
利用矩形的性质巧求折叠中的线段的长
2．如图,有矩形纸片ABCD,长AD为4 cm,宽AB为3 cm,把矩形折叠,使相对两顶点A,C重合,然后展开．求折痕EF的长．
<第2题>
利用矩形的性质巧证线段的位置关系
3．如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD 于F,连结AE.
证明：<1>BF＝DF；<2>AE∥BD.
<第3题>
利用矩形的性质巧求线段的比<面积法>
4．如图,将一X矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D 落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.
<1>求证：CM＝CN；
<2>若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1,求错误!的值．
<第4题>
专训五：用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：
利用特殊四边形的性质解动点问题,一般将动点看作特殊点解决问题,再运
用从特殊到一般的思想,将特殊点转化为一般点<动点>为条件解答．
平行四边形中的动点问题
1．如图,在▱ABCD中,E,F两点在对角线BD上运动,且保持BE＝DF,连结AE,CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系,并对你的猜想加以证明．
<第1题>
矩形中的动点问题
2．在矩形ABCD中,AB＝4 cm,BC＝8 cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.
<1>如图①,连结AF、CE,求证：四边形AFCE为菱形,并求AF的长；
<2>如图②,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中,已知点P的速度为每秒5 cm,点Q的速度为每秒4 cm,运动时间为t秒,当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值．
<第2题>
菱形中的动点问题
3．如图,在菱形ABCD中,∠B＝60°,点E在边BC上,点F在边CD上．
<1>如图①,若E是BC的中点,∠AEF＝60°,求证：BE＝DF；
<2>如图②,若∠EAF＝60°,求证：△AEF是等边三角形．
<第3题>
正方形中的动点问题
4．如图,正方形ABCD的边长为8 cm,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点,且AE＝BF＝CG＝DH.
<1>求证：四边形EFGH是正方形；
<2>判断直线EG是否经过一个定点,并说明理由．
<第4题>
专训六：特殊四边形中的最值问题名师点金：
求特殊四边形中的最值问题,一般都要用它们的轴对称的性质把几条线段转移到一条直线上,利用两点之间线段最短解决问题．
矩形中的最值问题
1．如图,∠MON＝90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B 在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB＝2,BC＝1,运动过程中,求点D到点O的最大距离．
<第1题>
菱形中的最值问题
2．如图,菱形ABCD中,AB＝2,∠A＝120°,点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点,求PK＋QK的最小值．
<第2题>
正方形中的最值问题
<第3题>
3．<中考·宿迁>如图,正方形ABCD的边长为2,点E为边BC的中点,点P在对角线BD上移动,则PE＋PC的最小值是________．
4．如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD<不含B点>上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连结EN,AM,CM.
<1>求证：△AMB≌△ENB.
<2>①当M点在何处时,AM＋CM的值最小；②当M点在何处时,AM＋BM ＋CM的值最小,并说明理由．
<第4题>
专训七：思想方法荟萃
名师点金：
本章中,由于涉与内容是各种特殊四边形,解决这类问题时,常将它们与三角形、直角坐标系、方程等知识结合在一起进行研究．而转化思想、分类讨论思想、方程思想、数形结合思想是解决四边形问题常要用到的思想方法．
数形结合思想
<第1题>
1．如图,用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形,则每块长方形地砖的面积为<>
A．200 cm2B．300 cm2
C．600 cm2D．2 400 cm2
方程思想
2．已知平行四边形ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F.
<1>若AE＝3 cm,AF＝4 cm,AD＝8 cm,求CD的长；
<2>若平行四边形ABCD的周长为36 cm,AE＝4 cm,AF＝5 cm,求平行四边形ABCD的面积．
转化思想
3．如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于O点,点P是线段AD上一动点<不与点D重合>,PO的延长线交BC于Q点．连结BP,DQ.
<1>求证：四边形PBQD为平行四边形．
<2>若AB＝3 cm,AD＝4 cm,P从点A出发,以1 cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动的时间为t s,问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能,求出相应的t值；如果不能,说明理由．
<第3题>
4．如图,已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°,且CD＝2 cm,BC＝8 cm,AB＝8 cm,AF＝5 cm.试求此六边形的周长．
<第4题>
分类讨论思想
①图形的位置不确定
5．四边形ABCD是正方形,△ADE是等边三角形,求∠BEC的度数．
②等腰三角形的腰与底边不确定
6．已知,如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点A,C的坐标分别为<10,0>,<0,4>,点D是OA的中点,点P在BC边上运动．当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标．
<第6题>
答案
解码专训一
1．解：∵∠HEM＝∠AEH,∠BEF＝∠FEM,∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝错误!×180°＝90°,同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°,∴四边形EFGH为矩形,∴HG∥EF,HG＝EF,∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°,∴△HNG≌△FME,∴HN＝MF.又∵HN＝HD,∴HD＝MF,∴AD＝AH＋HD ＝HM＋MF＝HF.又∵HF＝错误!＝错误!＝5<cm>,∴AD＝5 cm.
点拨：此题利用折叠提供的角相等,可证明四边形EFGH为矩形,然后利用三角形全等来证明HN＝MF,进而证明HD＝MF,从而将AD转化为直角三角形的斜边HF,进而得解,体现了转化思想．
2．证明：∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即∠COD＝90°.
∴四边形OCED是矩形．∴OE＝CD.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC＝CD.∴OE＝BC.
点拨：线段CD既是菱形ABCD的边,又是四边形OCED的对角线,可以用等量代换推出OE＝BC.
3．解：<1>△BEC是直角三角形．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC＝∠ABP＝90°,AD＝BC＝5,CD＝AB＝2.
∵DE＝BP＝1,∴AE＝PC＝4.由勾股定理得CE＝错误!,BE＝2错误!,∴CE2＋
BE2＝5＋20＝25.∵BC2＝52＝25,∴BE2＋CE2＝BC2.∴∠BEC＝90°.∴△BEC是直角三角形．
<2>四边形EFPH为矩形,证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AD＝BC,AD∥BC.∵DE＝BP,∴四边形DEBP是平行四边形．
∴BE∥DP.∵AD∥BC,AE＝PC,∴四边形AECP是平行四边形．∴AP∥CE.∴四边形EFPH是平行四边形．∵∠BEC＝90°,∴平行四边形EFPH是矩形．
4．<1>证明：∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥DC,∴∠ABE＝∠ECF.
又∵E为BC的中点,∴BE＝CE,
在△ABE和△FCE中,∵错误!
∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.
又AB∥CF,∴四边形ABFC为平行四边形,
∴BE＝EC,AE＝EF,
∵∠AEC为△ABE的外角,
∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC,
∴∠ABC＝∠EAB,
∴AE＝BE,∴AE＋EF＝BE＋EC,
即AF＝BC,∴四边形ABFC为矩形．
<2>解：∵四边形ABFC是矩形,∴AC⊥DF.又∵△AFD是等边三角形,∴CF
＝2错误!×2＝4错误!.
＝CD＝错误!＝2,∴AC＝错误!＝2错误!,∴S
矩形ABFC
解码专训二
1．<1>证明：∵在△ABC和△ADC中,错误!∴△ABC≌△ADC,∴∠BAC＝∠DAC.
∵在△ABF和△ADF中,错误!
∴△ABF≌△ADF,∴∠AFB＝∠AFD.
∵∠AFB＝∠CFE,∴∠AFD＝∠CFE.
<2>证明：∵AB∥CD,∴∠BAC＝∠ACD.
又∵∠BAC＝∠DAC,∴∠CAD＝∠ACD,
∴AD＝CD.∵AB＝AD,CB＝CD,
∴AB＝CB＝CD＝AD,
∴四边形ABCD是菱形．
<3>解：当EB⊥CD时,∠EFD＝∠BCD.
理由：∵四边形ABCD为菱形,
∴BC＝CD,∠BCF＝∠DCF,
在△BCF和△DCF中,错误!
∴△BCF≌△DCF,∴∠CBF＝∠CDF.
∵BE⊥CD,∴∠BEC＝∠DEF＝90°,
∴∠EFD＝∠BCD.
<第2题>
2．证明：<1>如图,过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M,
∵AB∥CD,∴四边形ABMC为平行四边形．
∴AC＝BM＝BD,∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.
在△ACD和△BDC中
错误!,∴△ACD≌△BDC,∴AD＝BC.
<2>如图,连结EH,HF,FG,GE,
∵E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,
∴HE∥AD,且HE＝错误!AD,FG∥AD,且FG＝错误!AD,
∴四边形HFGE为平行四边形．
由<1>知AD＝BC,∴HE＝EG,
∴▱HFGE为菱形,∴EF与GH互相垂直平分．
3．<1>证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,∴AE＝CE,DE＝FE,∴四边形ADCF是平行四边形．∵D,E分别为AB,AC边上的中点, ∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC.
∵∠ACB＝90°,∴∠AED＝90°,
∴DF⊥AC,∴四边形ADCF是菱形．
<2>解：在Rt△ABC中,BC＝8,AC＝6,∴AB＝10.
∵D是AB边上的中点,∴AD＝5.
∵四边形ADCF是菱形,∴AF＝FC＝AD＝5,
∴四边形ABCF的周长为8＋10＋5＋5＝28.
4．<1>证明：∵EF∥AB,PM∥AC,
∴四边形AEPM为平行四边形．
∵AD平分∠CAB,∴∠CAD＝∠BAD.
∵EP∥AB,∴∠BAD＝∠EPA,
∴∠CAD＝∠EPA,∴EA＝EP,∴四边形AEPM为菱形．
<第4题>
<2>解：当点P为EF的中点时,S菱形AEPM＝错误!S四边形EFBM.理由如下：∵四边形AEPM为菱形,∴AP⊥EM.∵AB＝AC,∠CAD＝
∠BAD,∴AD⊥BC,∴EM∥BC.又∵EF∥AB,∴四边形EFBM为平行四边形．过
＝AM·EN＝EP·EN＝错误!EF·EN＝错误!点E作EN⊥AB于点N,如图,则S
菱形AEPM
S四边形EFBM.
解码专训三
1．证明：∵AC,BD是正方形ABCD的两条对角线,∴AC⊥BD,OA＝OD＝OC＝OB.
∵DE＝CF,∴OE＝OF.在Rt△AOE与Rt△DOF中,错误!∴Rt△AOE≌Rt△DOF,
∴∠OAE＝∠ODF.
∵∠DOF＝90°,∴∠DFO＋∠FDO＝90°,
∴∠DFO＋∠FAE＝90°.
∴∠AMF＝90°,即AM⊥DF.
2．解：<1>仍有BM＋DN＝MN成立．证明如下：
过点A作AE⊥AN,交CB的延长线于点E,
易证△ABE≌△ADN,∴DN＝BE,AE＝AN.
又∵∠EAM＝∠NAM＝45°,AM＝AM,
∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.
∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM ,∴BM＋DN＝MN .
<第2题>
<2>有DN－BM＝MN.证明如下：
如图,在DN上截取DE＝BM,连结AE.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABM ＝∠D＝90°,AB＝AD.
又∵DE＝BM,∴△ABM≌△ADE.∴AM＝AE,∠BAM＝∠DAE.∵∠DAB ＝90°.∴∠MAE＝90°.
∵∠MAN＝45°,
∴∠EAN＝45°＝∠MAN.又∵AM＝AE,AN＝AN,∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN.
∴DN＝DE＋EN＝BM＋MN,∴DN－BM＝MN.
3．<1>证明：∵四边形ABCD是正方形,∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°,AB ＝BC＝CD＝DA.
又∵在任何运动时刻,AP＝BQ＝CR＝DS,
∴PB＝QC＝RD＝SA,∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS,
∴PS＝QP＝RQ＝SR,∠ASP＝∠BPQ,∴在任何运动时刻,四边形PQRS是菱形．
又∵∠APS＋∠ASP＝90°,∴∠APS＋∠BPQ＝90°,
∴∠QPS＝180°－<∠APS＋∠BPQ>＝180°－90°＝90°.
∴在任何运动时刻,四边形PQRS总是正方形．
<2>解：当P,Q,R,S在出发时或在到达终点时面积最大,此时的面积就等于原正方形ABCD的面积．
<3>解：当P,Q,R,S四点运动到正方形四边中点时,四边形PQRS的面积是原正方形ABCD面积的一半．
理由：设原正方形ABCD的边长为a.
当PS2＝错误!a2时,在Rt△APS中,AS＝a－SD＝a－AP.
由勾股定理,得AS2＋AP2＝PS2,即<a－AP>2＋AP2＝错误!a2,
解得AP＝错误!a.同理可得BQ＝CR＝SD＝错误!a.
∴当P,Q,R,S四点运动到正方形ABCD各边中点时,四边形PQRS的面积为原正方形面积的一半．
<第4题>
4．解：<1>DM＝FM,DM⊥FM.
证明：如图,连结DF、NF.
∵四边形ABCD和四边形CGEF都是正方形,
∴AD∥BC,BC∥GE,∴AD∥GE,∴∠DAM＝∠NEM.
∵M是AE的中点,∴AM＝EM.
∵∠AMD＝∠EMN,∴△MAD≌△MEN,
∴DM＝MN,AD＝NE.
∵AD＝CD,∴CD＝NE.
∵CF＝EF,∠FCD＝∠FEN＝90°,
∴△DCF≌△NEF,∴DF＝FN,∠CFD＝∠EFN.
∵∠EFN＋∠CFN＝90°,
∴∠CFD＋∠CFN＝90°,即∠DFN＝90°,
∴DM＝FM,DM⊥FM.
<2>DM＝FM,DM⊥FM.
解码专训四
<第1题>
1．解：如图,由折叠性质得∠AEF＝∠A′EF,∠BEA＝∠AEB′,BE＝B′E,AE＝EA′,
∵∠BAB′＝∠BEB′＝∠ABE＝∠AB′E＝90°,
∴AE为∠BAB′的平分线,
∴∠BEA＝∠BAE＝45°,
又∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°,
∴∠FEA′＝67.5°,
∵在矩形ABCD中,AD∥BC,∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°.
2．解：易得EF为AC的垂直平分线．∴AE＝EC,AF＝FC.
∵AE∥FC,∴∠AEO＝∠CFO.
又∵OA＝OC,∠AOE＝∠COF,∴△AEO≌△CFO,
∴AE＝FC.∴四边形AECF是菱形．
设BF为x cm,则AF＝FC＝<4－x>cm.由勾股定理,得32＋x2＝<4－x>2,
∴x＝错误!,∴FC＝错误!cm.
∵AB＝3 cm,BC＝4 cm,∴AC＝错误!＝5<cm>．
∴OC＝错误!cm.
在Rt△FOC中,OF＝错误!＝错误!＝错误!<cm>．
∴EF＝2OF＝错误!cm.
即折痕EF的长为错误!cm.
3．证明：<1>由折叠可知,∠FBD＝∠CBD,因为AD∥BC,所以∠FDB＝∠CBD,所以∠FBD＝∠FDB,所以BF＝DF.
<2>因为四边形ABCD是矩形,
所以AB＝DC,AD＝BC,由折叠可知DC＝ED＝AB,BC＝BE＝AD,又因为AE ＝AE,所以△AEB≌△EAD,所以∠AEB＝∠EAD,所以∠AEB＝错误!<180°－∠AFE>,而∠DBE＝错误!<180°－∠BFD>,∠AFE＝∠BFD,所以∠AEB＝∠DBE,所以AE∥BD.
4．<1>证明：由折叠的性质可得：∠ENM＝∠DNM,即∠ENM＝∠ENA＋∠ANM,∠DNM＝∠DNC＋∠CNM,∵∠ENA＝∠DNC,∴∠ANM＝∠CNM,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠ANM＝∠CMN,∴∠CMN＝∠CNM,∴CM ＝CN.
<2>解：过点N作NH⊥BC于点H,则四边形NHCD是矩形,∴HC＝DN,NH ＝DC,
∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1,
∴错误!＝错误!＝错误!＝3,
∴MC＝3ND＝3HC,∴MH＝2HC.
设DN＝x,则HC＝x,MH＝2x,∴CM＝3x＝CN.
在Rt△CDN中,DC＝错误!＝2错误!x,
∴NH＝2错误!x,
在Rt△MNH中,MN＝错误!＝2错误!x,
∴错误!＝错误!＝2错误!.
解码专训五
1．解：猜想：AE＝CF,AE∥CF.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB＝CD,AB∥CD,∴∠ABE＝∠CDF,
在△ABE和△CDF中,
∵AB＝CD,∠ABE＝∠CDF,BE＝DF,
∴△ABE≌△CDF,
∴AE＝CF,∠AEB＝∠CFD.
∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°,
∴∠AED＝∠CFB,∴AE∥CF.
2．<1>证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,
∴∠CAD＝∠ACB、∠AEF＝∠CFE.
∵EF垂直平分AC,垂足为O,∴OA＝OC,
∴△AOE≌△COF,∴OE＝OF,∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形．
设菱形的边AF＝CF＝x cm,则BF＝<8－x>cm,
<第2题>
在Rt△ABF中,AB＝4 cm,由勾股定理得42＋<8－x>2＝x2,解得x＝5,
∴AF＝5 cm.
<2>解：显然当P点在AF上时,Q点在CD上,此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上时,Q点在DE或CE上,也不能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时,才能构成平行四边形,如图,当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,PC＝QA.∵点P的速度为每秒5 cm,点Q的速度为每秒4 cm,运动时间为t秒,
∴PC＝5t,QA＝12－4t,∴5t＝12－4t,解得t＝错误!,
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t＝错误!.
3．证明：<1>连结AC.∵在菱形ABCD中,∠B＝60°,
∴AB＝BC＝CD,∠BCD＝180°－∠B＝120°,
∴△ABC是等边三角形．∵E是BC的中点,
∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°,∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°,
∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°,
∴∠FEC＝∠CFE,∴EC＝CF.∴BE＝DF.
<2>连结AC.由<1>知△ABC是等边三角形,
∴AB＝AC,∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°,
∴∠BAE＝∠CAF.
∵∠BCD＝120°,∠ACB＝60°,
∴∠ACF＝60°＝∠B,∴△ABE≌△ACF,
∴AE＝AF,∴△AEF是等边三角形．
<第4题>
4．<1>证明：∵四边形ABCD为正方形,
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°,AB＝BC＝CD＝AD.
∵AE＝BF＝CG＝DH,∴BE＝CF＝DG＝AH,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,
∴EH＝EF＝FG＝GH,∠1＝∠2.
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠1＋∠3＝90°,∠1＝∠2,∴∠2＋∠3＝90°,
∴∠HEF＝90°.
∵四边形EFGH为菱形,∴四边形EFGH为正方形．
<2>解：直线EG必经过一定点．理由如下：
如图,连结BD、EG,BD与EG交于O点,连结ED,BG.
∵BE綊DG,∴四边形BGDE为平行四边形,
∴BD、EG互相平分,易知O为正方形中心,
∴EG必过正方形中心O.
解码专训六
<第1题>
1．解：如图,取AB的中点E,连结OE、DE、OD,则OE＝错误!AB＝1,AE＝1,
所以DE＝错误!,当D,E,O三点共线时,OD＝OE＋DE,否则OD<OE＋DE,所以OD长的最大值是错误!＋1.
点拨：在这个问题中,关键是运用三角形三边的不等关系确定点D到点O的距离何时最大,具体做法是取AB的中点E,连结OE、DE、OD后,通过分情况讨论得出OD≤OE＋DE,所以OD的最大值等于OE＋DE.
<第2题>
2．解：∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,
∵∠BAD＝120°,
∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－120°＝60°.
如图,作点P关于直线BD的对称点P′,连结P′Q,P′C,则P′Q的长即为PK＋QK 的最小值,当P′Q⊥AB时,P′Q最短．假设点Q与点C重合,CP′⊥AB,此时CP′的长即为PK＋QK的最小值．连结AC.
∵BC＝AB＝2,∠ABC＝60°,
∴△ABC为等边三角形．
∵CP′⊥AB,∴BP′＝AP′＝错误!AB＝1,
∴CP′＝错误!＝错误!.
即PK＋QK的最小值为错误!.
3.错误!
4．<1>证明：∵△ABE是等边三角形,
∴BA＝BE,∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°,
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠MBA＝∠NBE.
又∵MB＝NB,
∴△AMB≌△ENB；
<2>解：①当M点落在BD的中点时,AM＋CM的值最小；
②连结CE,当M点位于BD与CE的交点处时,AM＋BM＋CM的值最小．理由如下：
由<1>知△AMB≌△ENB,
∴AM＝EN,
∵∠MBN＝60°,MB＝NB,
∴△BMN是等边三角形,
∴BM＝MN,
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM,
根据"两点之间线段最短〞,得EN＋MN＋CM＝EC最短．
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM＋BM＋CM的值最小,即等于EC 的长．
解码专训七
1．B点拨：设每块长方形地砖的长为x cm,宽为y cm,由题意可得错误!即错误!解之得错误!
所以每块长方形地砖的面积是300 cm2.故选B.
2．解：<1>∵四边形ABCD是平行四边形,AD＝8 cm,∴BC＝AD＝8 cm.∵S ＝BC·AE＝CD·AF,∴8×3＝4CD,∴CD＝6 cm.
平行四边形ABCD
<2>∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD＝BC,AB＝CD.∵平行四边形的周长为36 cm,∴BC＋CD＝18 cm,由平行四边形的面积公式得：4BC＝5CD,则错误!解得：BC＝10 cm,CD＝8 cm,∴平行四边形ABCD的面积是4×10＝40<cm2>．3．<1>证明：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,OD＝OB,∴∠PDO＝∠QBO.在△POD与△QOB中,错误!
∴△POD≌△QOB,∴OP＝OQ,
∴四边形PBQD为平行四边形；
<2>解：能．点P从点A出发运动t s时,AP＝t cm,PD＝<4－t> cm.
当四边形PBQD是菱形时,PB＝PD＝<4－t> cm.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAP＝90°.在直角三角形ABP中,AB＝3 cm,AP2＋AB2＝PB2,即t2＋32＝<4－t>2,解得：t＝错误!,∴当点P运动的时间为错误!s时,四边形PBQD能够成为菱形．
4．解：延长ED,BC交于点N,延长EF,BA交于点M.∵∠EDC＝∠BCD＝120°,∴∠NDC＝∠NCD＝60°,∴∠N＝60°.同理,∠MFA＝∠MAF＝60°,∴∠M＝60°,∴△DCN、△FMA均为等边三角形,∵∠E＋∠N＝180°,∠E＋∠M＝180°,∴EM∥BN,EN∥MB,∴四边形EMBN是平行四边形,∴BN＝EM,MB＝EN.∵CD＝2 cm,BC＝8 cm,AB＝8 cm,AF＝5 cm,∴CN＝DN＝2 cm,AM＝FM＝5 cm,∴BN＝EM＝8＋2＝10<cm>,MB＝EN＝8＋5＝13<cm>,∴EF＋FA＋AB＋BC ＋CD＋DE＝EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM＋AB＋BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39<cm>,∴此六边形的周长为39 cm.
5．解：当等边三角形ADE在正方形ABCD外部时,如图①所示．
∵AB＝AE,∠BAE＝90°＋60°＝150°,∴∠AEB＝<180°－150°>÷2＝15°.同理,∠DEC＝15°,∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当等边三角形ADE在正方形ABCD内部时,如图②所示．
∵AB＝AE,∠BAE＝90°－60°＝30°,∴∠AEB＝<180°－30°>÷2＝75°.同理∠DEC＝75°,∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.
<第5题>
<第6题>
6．解：易知OD＝5.当OP＝OD时,OP＝5,CO＝4,易得CP＝3,所以P<3,4>．当OD＝PD时<如图所示>,有两种情况．
①过P0作P0M⊥OD于M,在Rt△P0MD中,P0D＝5,P0M＝4,易知MD＝3,所以OM＝OD－MD＝5－3＝2,从而可知CP0＝2,所以P0<2,4>；
②过P1作P1M1⊥OA于M1,在Rt△P1M1D中,P1D＝5,P1M1＝4,易知M1D＝3,所以OM1＝OD＋M1D＝5＋3＝8,
从而CP1＝8,所以P1<8,4>．
当OP＝PD时,易知OP≠5,不符合题意．
综上,满足题意的点P的坐标为<3,4>,<2,4>,<8,4>．
点拨：本题运用了分类讨论思想．根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．。