推荐2018_2019学年高中数学学业分层测评10参数方程与普通方程的互化苏教版选修4_4

学业分层测评(十) 参数方程与普通方程的互化

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

1．将下列参数方程化为普通方程：

(1)⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a 、b 为常数，且a ＞b ＞0)；

(2)⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝2pt 2

，y ＝2pt (t 为参数，p 为正常数)．

【解】 (1)由cos 2

θ＋sin 2

θ＝1，得x 2a 2＋y 2

b

2＝1，

这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆．

(2)由已知t ＝y 2p ，代入x ＝2pt 2

得y 24p

2·2p ＝x ，

即y 2

＝2px ， 这是一条抛物线．

2．已知抛物线C 的参数方程为⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝8t 2

，

y ＝8t (t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线

C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，求r 的值．

【解】 由⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝8t 2

，y ＝8t

得y 2

＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x

－2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2

＋y 2

＝r 2

相切，由题意得r ＝|4－0－2|

2

＝2.

3．若直线⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝1－2t ，

y ＝2＋3t

(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，求常数k 的值．

【解】 将⎩⎪⎨

⎪

⎧

x ＝1－2t ，y ＝2＋3t

化为普通方程为

y ＝－32

x ＋72

，斜率k 1＝－32

，

当k ≠0时，直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4

k

，

由k 1k 2＝(－32)×(－4

k

)＝－1得k ＝－6；

当k ＝0时，直线y ＝－32x ＋7

2与直线4x ＝1不垂直．综上可知，k ＝－6.

4．过椭圆x 29＋y 2

4

＝1内一定点P (1,0)作弦，求弦的中点的轨迹．

【解】 设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入方程x 29＋y 2

4＝1，得(9k 2＋4)x 2－18k 2x ＋9k 2

－36＝0.

由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝18k

2

9k 2＋4

，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝9k 2

9k 2＋4

，y ＝k

x －

＝－4k 9k 2＋4

，∴x y ＝－94

k ， 即k ＝－4x 9y

，代入y ＝k (x －1)中，得4x 2＋9y 2

－4x ＝0，即

x －

12

2

14

＋y 2

19

＝1.① 当AB ⊥Ox 轴时，线段AB 的中点为(1,0)，该点的坐标满足方程①，所以所求的轨迹方

程为

x －

12

2

14

＋y 2

19

＝1.点M 的轨迹是以O 、P 为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆． 5．已知某条曲线C 的参数方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋2t ，

y ＝at 2

(其中t 是参数，α∈R )，点M (5,4)

在该曲线上，

(1)求常数a ；

(2)求曲线C 的普通方程．

【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪

⎧

1＋2t ＝5，at 2

＝4，

故⎩⎪⎨

⎪⎧

t ＝2，a ＝1，

所以a ＝1.

(2)由已知及(1)得，

曲线C 的方程为⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝1＋2t ， ①

y ＝t 2

， ②

由①得t ＝

x －1

2

，代入②得y ＝(

x －1

2

)2

，

即(x －1)2

＝4y 为所求．

6．已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线