上海市某中学2024届高三上学期期中数学试题

上海市某中学2023学年第一学期期中教学质量检测
高三数学试卷
一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1.已知集合{}1,A a =,{}2,B b =,若A B =,则a b +=______.
2.函数sin 243y x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
的最小正周期为______. 3.已知圆C 的方程为2
2
240x y x y +-+=,则圆C 的半径为______. 4.关于x 的不等式
1
2x
>的解集为______. 5.函数()
ln 21x y =-的定义域为______.
6.已知()()()cos ,sin a πθπθ=+-,其中[
)0,2θπ∈,则2
a =______.
7.已知关于x 的实系数一元二次方程20x ax a ++=（a ∈R ）有两个虚根1x 和2x ,若122x x =,则
12x x +=______.
8.若x e =是函数()ln y x a x =-的驻点,则实数a 的值为______.
9.关于x 的不等式2sin cos x x a ≥+对任意x ∈R 恒成立,则实数a 的最大值为______. 10.已知z 为复数,z 为z 的共轨复数,设z
z
ω=
,则Im ω的最大值为______. 11.设双曲线Γ：22
221x y a b
-=（0a >,0b >）的左、右焦点分别为1F 和2F ,以Γ的实轴为直径的圆记为C ,过
点1F 作C 的切线l ,l 与Γ的两支分别交于A ,B 两点,且123
cos 5
F BF ∠=,则Γ的离心率的值为______. 12.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ',若函数()()
1
0f x f x ≥
>'对任意[)0,x ∈+∞恒成立,且()01f =,则()2023f 的取值范围为______.
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）
13.设直线l 的倾斜角为α,则α的取值范围为（ ） A.0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B.0,
2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C.[)0,π
D.[]
0,π 14.下列函数中,值域不为R 的函数是（ ）
A.3
y x =
B.3x y = C .3log y x = D.3
tan y x =
15.已知函数()2,0
,0
x x f x x x <⎧=⎨≥⎩,若关于x 的不等式()()2f x a f x +≤的解集为R ,则实数a 的取值范围为
（ ）
A.1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦
B.1,4⎤⎛-∞ ⎥⎝⎦
C.1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D.1,4⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
16.已知函数()f x 为定义在R 上的単调连续函数,()11f =,函数()()2x
F x f x =+,有以下两个命题：①存在
函数()f x 使得1x =为函数()F x 的极大值点:②若()()
2F x F x =对任意x ∈R 恒成立,则()21f =-:则（ ）
A.①为真命题,②为真命题
B.①为真命题,②为假命题
C.①为假命题,②为真命题
D.①为假命题,②为假命题
三、解答题（本大题共5题,满分78分）
17.（14分）已知角α和β满足4
cos cos 9
αβ+=-. （1）若2βα=,求cos α的值: （2）若2
π
βα=+
,求sin 2α的值.
18.（14分）已知函数()2
f x ax x a =--,x ∈R . （1）当1a =时,求函数()f x 的零点： （2）若函数()f x 为偶函数,求实数a 的值.
19.（14分）如图所示为某小区在草坪上活动区域的平面示意图,在A ,B ,C ,D 四个点分別建造了供老年人活动的器械.A ,B ,C ,D 四个点所围成的四边形即为老年人的活动区域.为了便于老年人在草坪上行走,小区建造了AB ,BC ,CD ,DA ,AC ,BD 六条步行道,其中1BC =,2AB =,6
ADC π
∠=
,AC CD ⊥.设
ABC α∠=,()0,απ∈,S 为四边形ABCD 的面积.
（1）若2
3
απ=
,求S 的值:
（2）求S 的最大值,并求S 取到最大值时α的值.
20.（18分）已知抛物线Γ：2
4y x =,F 为Γ的焦点,A ,B ,M 为Γ上互异的三点. （1）若2FM =,求M 的坐标:
（2）若直线AB 过点F 且斜率为1
2
-
,M 的纵坐标为6,求三角形ABM 的外接圆半径: （3）若三角形ABM 为等腰直角三角形,求三角形ABM 面积的最小值.
21.（18分）已知定义在R 上的函数()f x ,其导函数为()f x ',记集合A 为函数()f x 所有的切线所构成的集合,集合n A 为集合A 中所有与函数()f x 有且仅有n 个公共点的切线所构成的集合,其中1n ≥,n ∈N . （1）若()2
f x x =,判断集合A 和1A 的包含关系,并说明理由：
（2）若()3
2
f x ax bx =+（0a ≠）,求集合1A 中的元素个数:
（3）若()sin f x x =,证明：对任意1n ≥,n ∈N ,21n A -为无穷集.
建平中学2023学年第一学期期中教学质量检测
高三数学试卷参考答案
一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1. 3
2.π 4.10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
5.()0,+∞
6. 1
7.2-
8.2e
9.5
4
-
10. 1
12.【答案】)
+∞
【解析】令()()2
12
F x f x x =
-,()0F x '≥,即()F x 为增函数,故
()()211
00122
F f =-=,()f x =故
()
2023f =≥=.
二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）
13. C 14. B 15. A 16.【答案】A
【解析】①()1
4
2x f x -=-+,此时()()212234
x
F x =--+:②当1x >时,()F x F
=,
故()()()()1
1
lim 1123x F x F x F f →===+=,因此()()2
222341f F =-=-=-.
三、解答题（本大题共5题,满分78分）
17.【答案】（1）4cos cos 29αα+=-,可得()24cos 2cos 19
αα+-=-, 即252cos cos 09αα+-=,解得1cos 3α=或5
6
-.
（2）4cos cos 29παα⎛⎫
++
=- ⎪⎝
⎭,可得4cos sin 9αα-=-,即()216cos sin 81
αα-=, 故()2
1665
sin 22sin cos 1cos sin 18181
ααααα==--=-
=
. 18.【答案】（1）()2
10f x x x =--=.当1x ≥时,210x x -+=,x 无解:当1x <时,210x x +-=,解得
12x -±=
,故函数()f x 的零点为12-和12
--. （2）若函数()f x 为偶函数,()()f a f a =-,即3
3
2a a a =-,可得0a =,解得0a =.当0a =时,()f x x =,定义域R 关于原点对称,()()f x x x f x -=-==,故0a =.
19.【答案】（1）AC =
==在直角ACD
△
中,cot CD AC ADC =⋅∠=,设ABC S △和ACD S △分别为ABC △和ACD △的面积,故
112
sin 21sin 223ABC S AB BC απ=
⋅⋅=⨯⨯⨯=△1122
ACD S AC CD =⋅==
△故
22
ABC ACD S S S =+=
+=△△
（2）AC =
=在直角ACD
△
中,cot CD AC ADC =⋅∠==设ABC S △和ACD S △分别为ABC △和ACD △的面积,
故1sin sin 2ABC S AB BC αα=
⋅⋅=△,12ACD S AC CD α=⋅=△,可得(
sin arctan ABC ACD S S S ααα=+=-=-△△故max S =当
且仅当arctan 2
π
α=
+.
20.【答案】（1）设200,4y M y ⎛⎫
⎪⎝⎭
,2
0214y FM ==+,可得2
04y =,解得02y =±,故M 的坐标为()1,2或()1,2-.
（2）已知()9,6M ,()1,0F ,设直线AB 的方程为()112y x =--,()241
12
y x
y x ⎧=⎪
⎨=--⎪⎩, 可得2
840y y +-=,故121284
y y y y +=-⎧⎨
=-⎩,
1220AB y y =-==,
211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,故()()22
1212996644y y MA MB y y ⎛⎫⎛⎫
⋅=--+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()()()2
12221212129611716
4
y y y y y y y y =
+-+-
++ ()()()()()
2
2
49468824117016
4
-=
--⨯--
--⨯-+=,故MA MB ⊥, 即点M 在以AB 为直径的圆上,故三角形ABM 的外接圆半径为
1
102
AB =. （3）不妨设2AMB π
∠=,200,4y M y ⎛⎫
⎪⎝⎭
,由于AM BM ⊥,且AM BM =, 不妨设200,4y A s y t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,2
00,4y B t y s ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭,其中0st ≠,此时2AM BM s ==易知()()220022004444y y t s y y s t ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=+ ⎪⎪⎝⎭⎩
,20204242s t y t t s
y s ⎧-=
⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩,故224422s t t s t s --=-,即()22
4s
t st s t +
+=, 故22
2224
s t s t ++≤,解得2232s t +≥,故2211622ABM s t S AM BM +==
≥△, 当且仅当s t =,即4s t ==,00y =时取到等号（s t =-时,0y 无解）.故三角形ABM 面积的最小值为16,此时三角形ABM 三个顶点的坐标（不考虑顺序）分别为()0,0,()4,4和()4,4-.
21.【答案】（1）函数()2
f x x =在点()
2
00,x x （0x ∈R ）处的切线斜率为()002f x x '=,切线方程l 为
()2200000
22y x x x x x x x =-+=-,联立l 和()f x 可得22
002x x x x -=,即()2
00x x -=,解得0x x =, 即函数()f x 所有的切线与函数()f x 有且仅有1个公共点,故1A A =.
（2）函数()()3
2
0f x ax bx
a =+≠在点()32000,x ax bx +（0x ∈R ）处的切线斜率为()200032f x ax bx =+',
切线方程l 为()()2
3
200
00032y ax bx x x ax
bx =+-++, 联立l 和()f x 可得()()2
3
23200
032ax bx x x ax
bx ax bx +-++=+,
即()()22000020ax ax b x ax bx x x ⎡⎤++---=⎣⎦有且仅有一个解,易知该解为0x x =,
由于方程()2
2
00020ax ax b x ax bx ++--=的判别式()2
030ax b ∆=+≥,
故0∆=,此时03b
x a
=-,即集合1A 中的元素个数为1. （3）设10,
2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
,函数()sin f x x =在点()11,sin x x 处的切线斜率为()11cos f x x =', 切线方程1l 为()111cos sin y x x x x =-+. 设()()2112,122n x n n πππ-⎛⎤
∈-
---- ⎥⎝⎦
,函数()sin f x x =在点()2121,sin n n x x --处的切线斜率为()2121cos n n f x x --=',切线方程21n l -为()212121cos sin n n n y x x x x ---=-+.
令()()121n f x f x -'=',即121cos cos n x x -=,解得()21112n x x n π-=---, 令
121
1121
sin sin cos n n x x x x x ---=-,即
()1112sin cos 212x x x n π=+-, 即()11tan 1x x n π-=-,令()tan g x x x =-,0,
2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
, ()21
10cos g x x
=
-≥',当且仅当0x =时取到等号,
故()g x 在0,
2π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭上严格增,()00g =,()2
lim x g x π→=+∞,()[)10,n π-∈+∞, 故存在唯一的10,
2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
使得()11tan 1x x n π-=-. 下证当()11tan 1x x n π-=-时,121n l A -∈.
当1n =时,10x =,1l ：y x =,联立1l 和()f x 可得sin x x =,即sin 0x x -=.
令()sin G x x x =-,x ∈R ,()1cos 0G x x =-≥',当且仅当2x n π=,n ∈Z 时取到等号,
故()G x 在R 上严格增,()00G =,故()0G x =有唯一解0x =,即121n l A -∈. 当2n ≥,n ∈N 时,联立1l 和()f x 可得()111cos sin sin x x x x x -+=, 即1111cos sin cos sin 0x x x x x x --+=.
令()1111cos sin cos sin F x x x x x x x =--+,x ∈R ,()1cos cos F x x x =-', 令()0F x '=,解得12x k x π=±,k ∈Z .
极大值()()()11111222cos 2sin 12cos f k x k x x x k n x πππ-=-+=+-, 极小值()1122cos f k x k x ππ+=, 极大值()()()()()1
1
1
1
1
2222cos 2sin 2cos f
k x k x x x k n x πππ+-=+-+=+.
当()112,2x k x k x ππ∈-+,k ∈Z ,()f x 严格減,()()()
112,12cos f x k x k n x ππ∈+-, 若()()
1102,12cos k x k n x ππ∈+-,则10n k -<<,k ∈Z ,即()0F x =有2n -个解. 当()()
112,22x k x k x ππ∈++-,k ∈Z ,()f x 严格增,()()()
112,2cos f x k x k n x ππ∈+, 若()()
1102,2cos k x k n x ππ∈+,则0n k -<<,k ∈Z ,即()0F x =有1n -个解. 当{}
12,x x x k x k π∈=-∈Z ∣,()()11212cos 0f k x k n x ππ-=+-=, 则1k n =-,即()0F x =有1n -个解.
当{}
12,x x x k x k π∈=+∈Z ,()1122cos 0f k x k x ππ+==, 则0k =,即()0F x =有1n -个解.
故当2n ≥时,()0F x =共有()()211121n n n -+-++=-个解. 故对任意1n ≥,n ∈N ,1l ：()11121cos sin n y x x x x A -=-+∈, 其中()11tan 1x x n π-=-,10,
2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
由于函数sin y x =具有周期性,同理可以证明存在12,22x m m πππ⎡⎫
∈+
⎪⎢⎣
⎭
,m ∈Z 使得对任意1n ≥,n ∈N ,1l ：()11121cos sin n y x x x x A -=-+∈,根据m 的任意性可知21n A -为无穷集.。