大学物理（二）练习册答案

1 
大学物理（二）练习册
参考解答
第12章真空中的静电场
一、选择题
1(D)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)，二、填空题
(1). 电场强度和电势，0/q F E
=，l E q W U a
a
ò
×=
=0
0d /(U 0=0). 
(2). 
()042
e /q q
+，q 1、q 2、q 3、q 4 ；
(3). 0，l / (2e 0)；(4). s R / (2e 0) ；(5). 0 ；
(6). 
÷÷
øö
ççèæ-p 00114r r q
e ；
(7). －2³103 V ；
(8). 
÷÷øöççèæ-p a b
r r q q 11400e (9). 0，pE sin a ；(10). ()
i a x A
2
+-
.
三、计算题
1. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．
解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电
直杆的电荷线密度为l =q / 
L ，在x 处取一电荷元d q = l d x = 
q d x / L ，它在P 点的场强：()
2
04d d x d L q
E -+p =
e ()
2
04d x d L L x
q -+p =
e 总场强为
ò
+p =
L
x d L x L
q E 0
2
0)
(d 4－e ()
d L d q +p =
04e 方向沿x 轴，即杆的延长线方向．
2．一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，如图所示．试求圆心O 处的电场强度．
解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在q 处取微小电荷
d q = 
l d l = 2
Q d q / p 它在O 处产生场强
L
d
q P +Q
－Q
R
O
x
y
Ｐ
L
d
d q
x (L+d －x ) 
d E
x
O
q e e d 24d d 2
02
2
0R
Q
R
q E p =
p =
按q 角变化，将d E 分解成二个分量：分解成二个分量：
q q e q d sin 2sin d d 2
02
R
Q
E E x p =
=
q q e q d cos 2cos d d 2
02
R
Q
E E y p -
=-=
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
úû
ù
êë
é
-p =
òòp
p p q q q q e 2/2
/02
02
d sin d sin 2R Q
E x ＝0 2022/2
/02
02
d cos d cos 2R Q R Q
E y e q q q q e p
p p p -=úû
ù
êë
é
-
p -=
òò
所以
所以
j R Q j E i E E y x
202e p -=+=
3. “无限长”均匀带电的半圆柱面，半径为R ，设半圆柱面沿轴线OO'单位长度上的电荷为l ，试求轴线上一点的电场强度．，试求轴线上一点的电场强度．
解:设坐标系如图所示．将半圆柱面划分成许多窄条．d l 宽的窄条的电荷线密度为荷线密度为
q l l l d d d p
=p =l R
取q 位置处的一条，它在轴线上一点产生的场强为位置处的一条，它在轴线上一点产生的场强为
q e l e l d 22d d 020R
R E p =p =
如图所示. 它在x 、y 轴上的二个分量为：轴上的二个分量为：
d E x =d E sin q , d E y =－d E cos q 对各分量分别积分对各分量分别积分 R R E x 02002d sin 2
e l
q q e l p
p =p =ò 0d c o s 20
2
=p -=
òp q q e l
R
E y
场强场强 i R
j E i E E y x
02
e l
p =
+=
4. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E
垂直于地面向下，大小约为100 
N/C ；在离地面1.5 km 高的地方，E
也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C ． (1) 假设地面上各处E
都是垂直于地面向下，
试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；体密度；
(2) 假设地表面内电场强度为零，假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面
的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量0e ＝8.85³10-12 C 2²N -1²m -2
) 
d q
R O
x
y
q
d q
q
q d E y y d l d q R q O d E x
x d E
O
R
’
O'
解：(1) 设电荷的平均体密度为r ，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面D S 平行地面)上下底面处的上下底面处的 场强分别为E 1和E 2，则通过高斯面的电场强度通量为：，则通过高斯面的电场强度通量为：
òò
E
²S d ＝E 2D S -E 1D S ＝(E 2-E 1) 
D S 高斯面S 包围的电荷∑q i ＝h D S r
由高斯定理(E 2－E 1) 
D S ＝h D S r /e
∴ () E E
h
1
2
1
-=
e
r ＝4.43³10
-13 C/m 3
(2) 设地面面电荷密度为s ．由于电荷只分布在地表面，所以电力
线终止于地面，取高斯面如图(2) 由高斯定理由高斯定理
òò
E ²S d =
å
i 0
1
q e
-E D S =S
D s
e
1
∴ s
=－e 0 E ＝－8.9³10-10
 C/m 3
5. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为的带电球体，其电荷体密度分布为
r =Ar (r ≤R ) ， r =0 (r ＞R )， A 为一常量．试求球体内外的场强分布．为一常量．试求球体内外的场强分布．
解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 r r Ar V q d 4d d 2
p ×==r
在半径为r 的球面内包含的总电荷为的球面内包含的总电荷为 403d 4Ar r Ar dV q r
V p =p ==ò
òr (r ≤R) 以该球面为高斯面，按高斯定理有以该球面为高斯面，按高斯定理有 04
21
/4e Ar r E p =p ×
得到得到 ()02
14/e Ar
E =， (r ≤R )
方向沿径向，A >0时向外, A <0时向里．时向里．
在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有的同心高斯球面，按高斯定理有
04
2
2
/4e AR r E p =p ×
得到得到 (
)2
04
24/r
AR E e =， (r >R ) 
方向沿径向，A >0时向外，A <0时向里．时向里．
6. 如图所示，一厚为b 的“无限大”带电平板的“无限大”带电平板 ， 其电荷体密度分布为r ＝kx (0≤x ≤b )，式中，式中k 为一正的常量．求：为一正的常量．求： (1) 平板外两侧任一点P 1和P 2处的电场强度大小；处的电场强度大小；
(2) 平板内任一点P 处的电场强度；处的电场强度； (3) 场强为零的点在何处？场强为零的点在何处？
解：解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E ．
作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S ，如图所示．，如图所示．
E
(2)
x
b
P 1 P 2
P
x O
S
E 2
D S
E 1
(1) h
按高斯定理å
ò
=×0e /d q S E S ，即，即 02
00
02d d 1
2e e r e kSb
x x kS
x
S SE
b b ===òò
得到得到 E = k b kb 2
 / (4e 0) (板外两侧) 
(2) 过P 点垂直平板作一柱形高斯面，底
面为S ．设该处场强为E ¢，如图所示．按高斯
定理有定理有
()02
2e
e k S b
x d x kS
S
E E
x
==+
¢ò
得到得到 ÷÷ø
ö
ççèæ-=
¢222
20b x k E e (0≤x ≤b ) (3) E ¢=0，必须是02
2
2
=-b
x ， 可得2/
b x =
7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R 的圆孔，设平面上均匀带电，
电荷面密度为s ．如图所示，试求通过小孔中心O 并与平面垂直的直线上各点的场强和电势(选O 点的电势为零)．
解：将题中的电荷分布看作为面密度为s 的大平面和面密度为－s 的圆盘叠加的的圆盘叠加的 结果．选x 轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x 处产生的场强为处产生的场强为 i x
x E
012e σ=
圆盘在该处的场强为圆盘在该处的场强为
i x R x x E
÷÷ø
öççèæ+--=2202112e σ ∴ i x
R x
E E E 2
20212+=+=e σ 该点电势为该点电势为
(
)
2
2
2
2
2d 2x
R
R x
R x
x U x
+-=
+=
ò
e s
e s
8. 一半径为R 的“无限长”圆柱形带电体，其电荷体密度为r =Ar (r ≤R )，式中A 为常量．试求：求：
(1) 圆柱体内、外各点场强大小分布；圆柱体内、外各点场强大小分布； (2) 选与圆柱轴线的距离为l (l ＞R ) 处为电势零点，计算圆柱体内、外各点的电势分布．
解：(1) 取半径为r 、高为h 的高斯圆柱面(如图所示)．面上各点场强大小为E 并垂直于柱面．则穿过该柱面的电场强度通量为：面．则穿过该柱面的电场强度通量为：
x
S P S
E E
S
S
E
d x
b E ¢
s
O
R
O
x
P
ò
p =×S
rhE S E
2d 为求高斯面内的电荷，r ＜R 时，取一半径为r ¢，厚d r ¢、高h 的圆筒，其电荷为的圆筒，其电荷为
r r Ah V ¢¢p =d 2d 2
r
则包围在高斯面内的总电荷为则包围在高斯面内的总电荷为
3/2d 2d 3
2
Ahr
r r Ah V r
V
p =¢¢
p =
òò
r
由高斯定理得由高斯定理得 ()03
3/22e Ahr rhE p =p 解出解出 ()02
3/e Ar E = (r ≤R ) 
r ＞R 时，包围在高斯面内总电荷为：时，包围在高斯面内总电荷为：
3/2d 2
d 3
2
AhR
r
r
Ah V
R
V
p
=
¢¢p
=
òò
r
由高斯定理由高斯定理 ()03
3/22e A h R r h E p =p 解出解出 ()r AR E 03
3/e = (r >R ) 
(2) 计算电势分布计算电势分布
r ≤R 时 ò
ò
ò
×+
=
=
l
R
R
r
l
r
r
r AR r r A r E U d 3d 3d 032
0e e
()R
l AR r
R A ln 3903
3
30e e +
-=
r ＞R 时 r
l AR r
r AR r
E U
l
r
l r
ln
3d 3d 0
3
3
e e =×=
=
ò
ò
9．一真空二极管，其主要构件是一个半径R 1＝5³10-4
 m 的圆柱形阴极A 和一个套在阴极外的半径R 2＝4.5³10-3 m 的同轴圆筒形阳极B ，如图所示．阳极电势比阴极高300 300 V
V ，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本电荷e ＝1.6³10-19
 C) 
解：与阴极同轴作半径为r (R 1＜r ＜R 2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为l ．按高斯定理有．按高斯定理有 2p rE = l / e 0 得到得到 E = l / (2p e 0r ) (R 1＜r ＜R 2) 方向沿半径指向轴线．两极之间电势差方向沿半径指向轴线．两极之间电势差
ò
òp -=×=-21
d 2d 0
R R B
A
B A r
r r E U U e
l
1
20
ln 2R R e
l
p -
=
得到得到
()
120
/ln 2R R U
U
A
B
-=
p e l
， 所以所以 ()r
R R U
U
E A
B
1
/ln 12×
-=
在阴极表面处电子受电场力的大小为在阴极表面处电子受电场力的大小为 ()(
)1
1
21
1/c R R
R U
U
e
R
eE F A
B
×
-==
＝4.37³10-14 N 
方向沿半径指向阳极．方向沿半径指向阳极．
R
r
h
A
B
R 2 R 1
四 研讨题
1. 真空中点电荷q 的静电场场强大小为的静电场场强大小为 2
41r
q E pe
=
式中r 为场点离点电荷的距离．当r →0时，E →∞，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？何解释？
参考解答：参考解答：
点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r →0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用．点电荷场强公式已不适用．
若仍用此式求场强E ，其结论必然是错误的．当r →0时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的E 就有确定值．就有确定值．
2. 用静电场的环路定理证明电场线如图分布的电场不可能是静电场．
参考解答：参考解答：
证：在电场中作如图所示的扇形环路abcda ．在ab 和cd 段场强方向与路径方向垂直．在bc 和da 段场强大小不相等（电力线疏密程度不同）而路径相等．因而同）而路径相等．因而
d d d ¹×¢-×=×òòòc b
a d l E l E l E 按静电场环路定理应有0d =×ò
l E ， 此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场．此场不满足静电场环路定理，所以不可能是静电场．
3. 如果只知道电场中某点的场强，能否求出该点的电势？如果只知道电场中某点的电势，能否求出该点的场强？为什么？能否求出该点的场强？为什么？
参考解答：参考解答：
由电势的定义：由电势的定义： ò
×=
零势点
场点
l E U d
式中E
为所选场点到零势点的积分路径上各点的场强，所以，如果只知道电场中某点的场
强，而不知道路径上各点的场强表达式，不能求出该点的电势。

强，而不知道路径上各点的场强表达式，不能求出该点的电势。

由场强与电势的关系：由场强与电势的关系： U E grad -=
场中某点的电场强度是该点电势梯度的负值。

如果只知道电场中某点的电势值，而不知道其表达式，就无法求出电势的空间变化率，也就不能求出该点的场强。

表达式，就无法求出电势的空间变化率，也就不能求出该点的场强。

4. 从工厂的烟囱中冒出的滚滚浓烟中含有大量颗粒状粉尘，它们严重污染了环境，影响到作物的生长和人类的健康。

静电除尘是被人们公认的高效可靠的除尘技术。

先在实验室内模拟一下管式静电除尘器除尘的全过程，在模拟烟囱内，可以看到，有烟尘从
“烟囱”上飘出。

加上电源，烟囱上面的烟尘不见了。

如果撤去
电源，烟尘又出现在我们眼前。

请考虑如何计算出实验室管式静
电除尘器的工作电压，即当工作电压达到什么数量级时，可以实现良好的静电除尘效果。

参考解答：参考解答：
先来看看静电除尘装置的结构：先来看看静电除尘装置的结构：在烟囱的轴线上，在烟囱的轴线上，在烟囱的轴线上，悬置了一根导线，称之谓电晕线；在悬置了一根导线，称之谓电晕线；在烟囱的四周设置了一个金属线圈，烟囱的四周设置了一个金属线圈，我们称它为集电极。

我们称它为集电极。

我们称它为集电极。

直流高压电源的正极接在线圈上，直流高压电源的正极接在线圈上，直流高压电源的正极接在线圈上，负负极接在电晕线上，如右上图所示。

可以看出，极接在电晕线上，如右上图所示。

可以看出，接通电源以后，接通电源以后，接通电源以后，集电极与电晕线之间就建立了集电极与电晕线之间就建立了一个非均匀电场，电晕线周围电场最大。

一个非均匀电场，电晕线周围电场最大。

改变直流高压电源的电压值，就可以改变电晕线周围的电场强度。

当实际电场强度与空气的击穿电场1
3
Vmm 103-´相近时空气发生电离，形成大量的正离子和自由电子。

离子和自由电子。

自由电子随电场向正极飘移，在飘移的过程中和尘埃中的中性分子或颗粒发生碰撞，这些粉尘颗粒吸附电子以后就成了荷电粒子，这样就使原来中性的尘埃带上了负电。

后就成了荷电粒子，这样就使原来中性的尘埃带上了负电。

在电场的作用下，这些带负电的尘埃颗粒继续向正极运动，并最后附着在集电极上。

（集电极可以是金属线圈，也可以是金属圆桶壁）当尘埃积聚到一定程度时，通过振动装置，尘埃颗粒就落入灰斗中。

中。

这种结构也称管式静电除尘器。

这种结构也称管式静电除尘器。

如右中图所示。

如右中图所示。

对管式静电除尘器中的电压设置，我们可以等价于同轴电缆来计算。

如右下图所示，r a 与r b 分别表示电晕极与集电极的半径，L 及D 分别表示圆筒高度及直径。

一般L 为3-5m ，D 为200-300mm ，故L >>D ，此时电晕线外的电场可以认为是无限长带电圆柱面的电场。

场。

设单位长度的圆柱面带电荷为l 。

用静电场高斯定理求出距轴线任意距离r 处点P 的场强为：场强为：
)1(ˆ
20-----=r r
E p e l 式中r ˆ为沿径矢的单位矢量。

为沿径矢的单位矢量。

内外两极间电压U 与电场强度E 之关系为之关系为
ò----×=b
a r r
l
E U )2(d
，将式(1)代入式(2)，
积分后得: a b r r U ln 20
pe l -=, 故 a
b r r r U
E ln
=
. 由于电晕线附近的电场强度最大，使它达到空气电离的最大电场强度m E 时，就可获得高压电源必须具备的电压时，就可获得高压电源必须具备的电压
a
b
a m r r r E U ln
×=
代入空气的击穿电场，并取一组实测参数如下：代入空气的击穿电场，并取一组实测参数如下： m 15.0m,105.0,m V 1032
16=´==×´=--b a m r r r E ,计算结果
V 101.54´=U . 若施加电压U 低于临界值，则没有击穿电流，实现不了除尘的目的。

也就是说，在这
样尺寸的除尘器中，通常当电压达到105
V 的数量级时，就可以实现良好的静电除尘效果。

静电除尘器除了上述的管式结构外还有其它的结构形式，如板式结构等。

可以参阅有关资料，仿上计算，也可以自行独立设计一种新型结构的静电除尘器。

仿上计算，也可以自行独立设计一种新型结构的静电除尘器。

第13章 静电场中的导体和电解质
一、选择题
1(D)，2(D)，3(B)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(B)，9(C)，10(B) 二、填空题
(1). 4.55³105
 C 
； (2). s (x ，y ，z )/e
0，与导体表面垂直朝外(s > 0) 
或 与导体表面垂直朝里(s < 0). (3). e r ，1， e r ； (4). 1/e r ，1/e r ； (5). s ，s / ( e 0e r )； (6). 
R
q 04e p ；
(7). P ，－P ，0； (8) (1- e r )s / e r ； (9). 减小，减小， 减小；减小； (10). 增大，增大. 
三、计算题
1. 一接地的"无限大"导体板前垂直放置一"半无限长"均匀带电直线，使该带电直线的一端距板面的距离为d ．如图所示，若带电直线上电荷线密度为l ，试求垂足O 点处的感生电荷面密度．点处的感生电荷面密度．
解：如图取座标，对导体板内O 点左边的邻近一点，半无限长带电直线产生的场强为：产生的场强为：
()
ò¥-=d
x i dx E 2004/e l π ()d i 04/e l π -= 导体板上的感应电荷产生的场强为：导体板上的感应电荷产生的场强为： ()000
2/e s i E
-=¢ 由场强叠加原理和静电平衡条件，该点合场强为零，即由场强叠加原理和静电平衡条件，该点合场强为零，即 ()[]()02/4/000=--e s e l d π ∴ ()d π2/0l s -=
2．半径为R 1的导体球，带电荷q ，在它外面同心地罩一金属球壳，
其内、外半径分别为R 2 = 2 R 1，R 3 = 3
R 1，今在距球心d = 4 R 1处放一电荷为Q 的点电荷，并将球壳接地(如图所示)，试求球壳上感生的总电荷．的总电荷．
解：应用高斯定理可得导体球与球壳间的场强为解：应用高斯定理可得导体球与球壳间的场强为
()
304/r r q E e p =
(R 1＜r ＜R 2) 设大地电势为零，则导体球心O 点电势为：点电势为：
ò
ò
p =
=
2
1
2
1
2
0d 4d R R R R r
r q r E U e ÷÷øöççèæ-p =
210114R R q
e 根据导体静电平衡条件和应用高斯定理可知，球壳内表面上感生电荷应为－q ． 设球
壳外表面上感生电荷为Q'．
以无穷远处为电势零点，根据电势叠加原理，导体球心O 处电势应为：处电势应为： ÷÷ø
ö
ççèæ+
-¢+p =
1230041
R q R q R Q d Q U e d O
l
O
x
q
Q
O
R 3R 2R 1
d
假设大地与无穷远处等电势，则上述二种方式所得的O 点电势应相等，由此可得
Q ¢=－3Q / 4 ， 故导体壳上感生的总电荷应是－[( 3
Q / 4) +q ]. 
3. 一圆柱形电容器，外柱的直径为4 cm ，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的均匀电介质，该介质的击穿电场强度的大小为E 0
= 200 KV/cm ．试求该电容器可能承受的最高电压．最高电压． (自然对数的底e = 2.7183) 
解：设圆柱形电容器单位长度上带有电荷为l ，则电容器两极板之间的场强分布，则电容器两极板之间的场强分布 为 )2/(r E e l p =
设电容器内外两极板半径分别为r 0
，R ，则极板间电压为，则极板间电压为 òò×p ==R r R r r r
r E U d 2d e l 0ln 2r R e l p =
电介质中场强最大处在内柱面上，当这里场强达到E 0时电容器击穿，这时应有时电容器击穿，这时应有
2E r e l p =，0
ln
r R E r U =
适当选择r 0的值，可使U 有极大值，有极大值，
即令0)/ln(/d d 0000=-=E r R E r U ，得，得 e R r /0=，显然有，显然有
2
2
d d r
U
< 0，
故当故当 e R r /0= 时电容器可承受最高的电压时电容器可承受最高的电压 e RE U /0m ax = = 147 kV . 
4. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R 1，外筒半径
为R 2 (R 2＜2 R 1)，其间充有相对介电常量分别为e r 1和e r 2＝e r 1
/ 2的两层各向同性均匀电介质，其界面半径为R ．若两种介
质的击穿电场强度相同，问：质的击穿电场强度相同，问：
(1) 当电压升高时，哪层介质先击穿？当电压升高时，哪层介质先击穿？
(2) 该电容器能承受多高的电压？该电容器能承受多高的电压？
解：(1) 设内、外筒单位长度带电荷为＋l 和－l ．两筒间电位移的大小为．两筒间电位移的大小为 D ＝l / (2p r ) 在两层介质中的场强大小分别为在两层介质中的场强大小分别为 E 1 = l / (2p e 0 e r 1r )， E 2 = l / (2p e 0 e r 2r ) 
在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即
在两层介质中的场强最大处是各层介质的内表面处，即 E 1M = l / (2p e 0 e r 1R 1)， E 2M = l / (2p e 0 e r 2R ) 可得可得 E 1M / E 2M = e r 2R / (e r 1R 1) = 
R / (2R 1) 已知已知 R 1＜2 R 1， 可见可见 E 1M ＜E 2M ，因此外层介质先击穿．，因此外层介质先击穿．
(2) 当内筒上电量达到l M ，使E 2M ＝E M 时，即被击穿，时，即被击穿，
l M = 2p e 0 e r 2RE M 此时．两筒间电压(即最高电压)为：为：
r r r r U R R r M
R R r M d 2d 22
1
201012òò+=e pe l e pe l ÷÷ø
öççèæ+=R R R R RE r r M r 22112ln 1ln 1e e e
5. 两根平行“无限长”均匀带电直导线，相距为d ，导线半径都是R (R << 
d )．导线上电荷O R 1
R 2
R
e r 2e r 1
线密度分别为线密度分别为++l 和-l ．试求该导体组单位长度的电容．．试求该导体组单位长度的电容．
解：以左边的导线轴线上一点作原点，x 轴通过两导线并垂直于导线．两导线间x 处的场强
为 x
E 02e l p =)(20x d -p +e l
两导线间的电势差为两导线间的电势差为
ò
--+
p =
R
d R
x x d x
U d )11(
20
e
l
)ln
(ln
20
R
d R R
R d ---p =
e l
R
R d -p =
ln
e l
设导线长为L 的一段上所带电量为Q ，则有L Q /=l ，故单位长度的电容长度的电容
U LU Q C /)/(l ==R
R d -p =ln 0
e
6．圆柱形电容器是由半径为a 的圆柱形导体和与它同轴的内半径为b (
b ＞a )的导体圆筒构成，其间充满了相对介电常量为e r 的各向同性的均匀电介质．设圆柱导体单位长度带电荷为l ，圆筒上为－l ，忽略边缘效应．求电介质中的电极化强度P 的大小及介质内、外表面上的束缚电荷面密度s ˊ．ˊ． 解：由D 的高斯定理求出介质内的电位移大小为的高斯定理求出介质内的电位移大小为 D = l / (2p r ) (a ＜r ＜b ) 介质内的场强大小为介质内的场强大小为
E = D / (e 0e r ) = l / (2
p e 0e r r ) (a ≤r ≤b ) 电极化强度电极化强度 P = e 0c
e E ()r r r e l e p -=21 (a ≤r ≤b ) 内外表面上束缚电荷面密度内外表面上束缚电荷面密度 a
a
P
=¢s cos180°＝()a
r r e l
e p --
21
b b
P =¢s cos 0°＝(
)b
r r e l
e p -21
7. 一个圆柱形电容器，内圆柱半径为R 1，
外圆柱半径为R 2，长为L (L >>R 2－R 1)，两圆筒间充有两层相对介电常量分别为e r 1和e r 2的各向同性均匀电介质，其界面半径为R ，如图所示．，如图所示．设内、设内、设内、外圆筒单位长度上带电荷外圆筒单位长度上带电荷(即电荷线密度)分别为l 和－l ，求：，求：
(1) 电容器的电容．电容器的电容． (2) 电容器储存的能量．电容器储存的能量．
解：(1) 根据有介质时的高斯定理可得两筒之间的电位移的大小为D = l / (2p r ) 介质中的场强大小分别为介质中的场强大小分别为
E 1 = D / (e 0e r 1) = l / (2p e 0e r 1r ) E 2
 = D / (e 0e r 2
) = l / (2
p e 0e r 2
r ) x
d
x R
d -R +l O
-l
R 2
R R 1
e r 1
e r 2
L
两筒间电势差两筒间电势差 ò
ò
×+
×=2
1221d d R R
R
R r E r E U
R
R R
R r r 22
1
1
ln
π2ln
π2e
e l
e
e l
+
=
()()[]
2
1021122/ln /ln r r r r R R R R e e e e e l p +=
电容电容 ()()
R R R R L U Q C
r r r r /ln /ln 22112
21
e e e e e +p =
=
(2) 电场能量电场能量 2
1021122
24ln ln 2r r r r R R R R
L C Q W e e e e e l p ÷÷ø
öççèæ+==
8. 如图所示，一平板电容器，如图所示，一平板电容器，极板面积为极板面积为S ，两极板之间距离为d ，其间填有两层厚度相同的各向同性均匀电介质，其介电常量分别为e 1和e 2．当电容器带电荷±Q 时，在维持电荷不变下，将其中介电常量为e 1的介质板抽出，试求外力所作的功．的介质板抽出，试求外力所作的功．
解：可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为解：可将上下两部分看作两个单独的电容器串联，两电容分别为
d
S C 112e = ，d
S
C 222e =
串联后的等效电容为串联后的等效电容为 ()
21212e e e e +=
d S C
带电荷±Q 时，电容器的电场能量为时，电容器的电场能量为 ()
S
d Q C Q
W 21212
2
42e e e e +==
将e 1的介质板抽去后，电容器的能量为的介质板抽去后，电容器的能量为 ()S
d Q W 20202
4e e e e +=
¢
外力作功等于电势能增加，即外力作功等于电势能增加，即 ÷÷ø
öç
çèæ-=-¢=D =1
02
1
14e e S d Q W W W A
四 研讨题
1. 1. 无限大均匀带电平面（面电荷密度为无限大均匀带电平面（面电荷密度为σ）两侧场强为)2/(0e s =E ，而在静电平衡状态
下，导体表面（该处表面面电荷密度为σ）附近场强为0/e s =E ，为什么前者比后者小一半？半？
参考解答：参考解答：
关键是题目中两个式中的σ不是一回事。

下面为了讨论方便，我们把导体表面的面电荷密度改为σ′，其附近的场强则写为./0e s ¢=E
对于无限大均匀带电平面对于无限大均匀带电平面((面电荷密度为σ)，两侧场强为)
2/(0e s =E 这里的这里的 σ 是指带电平面单位面积上所带的电荷。

带电平面单位面积上所带的电荷。

对于静电平衡状态下的导体，其表面附近的场强为对于静电平衡状态下的导体，其表面附近的场强为./0e s ¢=E
这里的这里的 σ′是指带电导体表面某处单位面积上所带的电荷。

′是指带电导体表面某处单位面积上所带的电荷。

如果无限大均匀带电平面是一个静电平衡状态下的无限大均匀带电导体板，则σ是此导体板的单位面积上体板的单位面积上((包括导体板的两个表面包括导体板的两个表面))所带的电荷，而σ′仅是导体板的一个表面单位面积上所带的电荷。

面积上所带的电荷。

+Q
-Q
d
e 1e 2
在空间仅有此导体板在空间仅有此导体板（即导体板旁没有其他电荷和其他电场）（即导体板旁没有其他电荷和其他电场）的情形下，的情形下，导体板的表面上电荷分布均匀，且有两表面上的面电荷密度相等。

在此情况下两个面电荷密度间的关系为σ =2σ′。

这样，题目中两个E 式就统一了。

式就统一了。

2. 2. 由极性分子组成的液态电介质，其相对介电常量在温度升高时是增大还是减小？由极性分子组成的液态电介质，其相对介电常量在温度升高时是增大还是减小？由极性分子组成的液态电介质，其相对介电常量在温度升高时是增大还是减小？
参考解答：参考解答：
由极性分子组成的电介质由极性分子组成的电介质（极性电介质）（极性电介质）（极性电介质）放在外电场中时，放在外电场中时，放在外电场中时，极性分子的固有电矩将沿外极性分子的固有电矩将沿外电场的方向取向而使电介质极化。

由于极性分子还有无规则热运动存在，这种取向不可能完全整齐。

全整齐。

当电介质的温度升高时，当电介质的温度升高时，极性分子的无规则热运动更加剧烈，极性分子的无规则热运动更加剧烈，极性分子的无规则热运动更加剧烈，取向更加不整齐，取向更加不整齐，极化的
效果更差。

此情形下，电极化强度V
p P i
D =
å
将会比温度升高前减小。

将会比温度升高前减小。

在电介质中的电场E
不太强时，各向同性电介质的P
和E
间的关系为间的关系为 E P r
)1(0-=e e .
很明显，在同样的电场下，当温度升高后，相对介电常量εr 要减小。

要减小。

3. 有一上下极板成θ角的非平行板电容器（长为a ,宽为b ），其电容如何计算？计算？
参考解答：参考解答：
设一平行板电容器是由长为a ,宽为b 的两导体板构成,板间距为d ,则电容为
,0
d
ab C e =
若该电容器沿两极板的长度同一方向有d x 的长度增
量,则电容为,d )
d (0d
x a C d
x b a C e e +
=+=
¢ 在此基础上推广到
如图所示的电容器，可以认为是在0C 的基础上,上极板沿与长度方向成θ角度连续增加到b ,下极板沿长度方向连续增加到b cos θ
构成，把该电容器看成是由两个电容器并联时，该电容器的电容为构成，把该电容器看成是由两个电容器并联时，该电容器的电容为
d
b d a C l d l
a C C
b q
q e q e q sin ln tan tan d 0
cos 00
++=++
=¢ò
即非平行板电容器的电容，即非平行板电容器的电容，
d
b d a C q
q
e sin ln
tan +=
4. 为了实时检测纺织品、纸张等材料的厚度（待测材料可视作相对电容率为e r 的电介质），通常在生产流水线上设置如图所示的传感装置，其中A 、B 为平板电容器的导体极板，S 为极板面积，d 0为两极板间的距离。

试说明检测原理，并推出直接测量电容C 与间接测量厚度d 之间的函数关系。

如果要检测钢板等金属材料的厚度，结果又将。