七年级数学上册第四单元《几何图形初步》-解答题专项经典测试卷(答案解析)(3)

一、解答题
1．如图，已知平面上有四个村庄，用四个点A，B，C，D表示．
（1）连接AB，作射线AD，作直线BC与射线AD交于点E；
（2）若要建一供电所M，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所M应建在何处？请画出点M的位置并说明理由．
解析：（1）如图所示．见解析；（2）如图，见解析；供电所M应建在AC与BD的交点处．理由：两点之间，线段最短．
【分析】
（1）根据射线、直线的定义进而得出E点位置；
（2）根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．
【详解】
（1）如图所示：点E即为所求；
（2）如图所示：点M即为所求．
理由：两点之间，线段最短．
【点睛】
本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段距离最短．2．如图所示，∠AOB=35°，∠BOC=50°，∠COD=22°，OE平分∠AOD，求∠BOE的度数.
解析：5°
【分析】
首先根据角的和差关系算出∠AOD 的度数，再根据角平分线的性质可得∠AOE =1
2∠AOD ，进而得到答案． 【详解】
∵∠AOB =35°，∠BOC =50°，∠COD =22°， ∴∠AOD =35°+50°+22°=107°． ∵OE 平分∠AOD ，
∴∠AOE =1
2∠AOD =1
2×107°=53.5°， ∴∠BOE =∠AOE －∠AOB =53.5°－35°=18.5°． 【点睛】
本题考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
3．如下图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线连一连．
解析：见解析 【解析】
试题分析：根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可． 试题 如图所示：
4．如图，已知C 是AB 的中点，D 是AC 的中点，E 是BC 的中点．
(1)若DE=9cm ，求AB 的长. (2)若CE=5cm ，求DB 的长． 解析：（1）AB=18；（2）DB=15.
（1）由线段中点的定义可得CD=1
2
AC，CE=
1
2
BC，根据线段的和差关系可得DE=
1
2
AB，进
而可得答案；（2）根据中点定义可得AC=BC，CE=BE，AD=CD，根据线段的和差关系即可得答案.
【详解】
（1）∵D是AC的中点，E是BC的中点．
∴CD=1
2
AC，CE=
1
2
BC，
∵DE=CD+CE=9，
∴1
2
AC+
1
2
BC=
1
2
(AC+BC)=9，
∵AC+BC=AB，
∴AB=18.
（2）∵C是AB的中点，D是AC的中点，E是BC的中点，
∴AC=BC，CE=BE=1
2
BC，，AD=CD=
1
2
AC，
∴AD=CD=CE=BE，
∴DB=CD+CE+BE=3CE，
∵CE=5，
∴DB=15.
【点睛】
本题主要考查中点的定义及线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是解题关键．
5．（1）如图，AC=DB，请你写出图中另外两条相等的线段．
（2）在一直道边植树8棵，若相邻两树之间距离均为1.5m，则首尾两颗大树之间的距离是_____．
解析：(1)AB=CD；(2)10.5m.
【分析】
（1）根据等式的性质即可得出结论；
（2）8棵树之间共有7段距离，从而计算即可．
【详解】
（1）因为AC=BD，∴AC－BC=DB－BC，即AB=CD．
（2）设首尾之间的距离为x，由8棵树之间共有7段间隔，可得x=7×1.5=10.5（m）．
故答案为：10.5m．
【点睛】
本题考查了等式的性质及线段的计算，属于基础题，明白8棵树之间的间隔是关键．6．如图，有一只蚂蚁想从A点沿正方体的表面爬到G点，走哪一条路最近？
(1)请你利用部分平面展开图画出这条最短的路线，并说明理由．
(2)探究若这只蚂蚁在正方体上爬行的最短路线，请你找出所有的最短路线，并画出示意.解析：如图①，（1）见解析，理由：两点之间线段最短；（2）见解析.
【分析】
（1）先把正方体展开，根据两点之间线段最短，即可得出由A爬到G的最短途径．（2）分情况讨论，作图解答即可.
【详解】
（1）如图①，理由：两点之间线段最短．
（2）如图②，这种最短路线有4条．
【点睛】
本题考查了几何体的展开图和最短路线问题，把几何体展开为平面图形是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
7．百羊问题甲赶群羊逐草茂，乙牵肥羊一只随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬．若得原有一群凑，再添一半小一半，得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？请列出方程.(说明：“小一半”是指一半的一半，即四分之一)
解析：x ＋x ＋
12
x ＋1
4x ＋1＝100.
【分析】
根据“再有这么一群，再加半群，又加四分之一群，再把你的一只凑进来，才满100只”这一等量关系列出方程即可． 【详解】
设羊群原有羊x 只，根据题意可列出方程：x ＋x ＋12
x ＋1
4x ＋1＝100.
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于理解题意列出方程.
8．蜗牛爬树 一棵树高九丈八，一只蜗牛往上爬．白天往上爬一丈，晚上下滑七尺八．试问需要多少天，爬到树顶不下滑？ 解析：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑． 【分析】
根据题意可知蜗牛一个白天加一个晚上所爬行的路程，即蜗牛每天前进的路程，最后一天，也就是还剩下一丈的时候，他爬到树顶就不再往下滑了，在这之前都是白天爬一丈，晚上下滑七尺八；接下来设需要x 天，爬到树顶不下滑,列出方程即可解答. 【详解】
设蜗牛需x 天才爬到树顶不下滑，即爬到九丈八需x 天，可列方程(10－7.8)(x －1)＋10＝98，解得x ＝41.
答：蜗牛需41天才爬到树顶不下滑． 【点睛】
此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意找到等量关系列出方程.
9．如图，已知40AOB ∠=︒，3BOC AOB ∠=∠，OD 平分AOC ∠，求BOD ∠的度数.
解析：40° 【分析】
根据3BOC AOB ∠=∠，40AOB ∠=︒求出120BOC ∠=︒，得到∠AOC 的度数，利用OD 平分AOC ∠，求出∠AOD 的度数，即可求出BOD ∠的度数.
【详解】
解：∵3BOC AOB ∠=∠，40AOB ∠=︒，
∴
120BOC ∠=︒.
∵AOC AOB BOC ∠=∠+∠， 40120=︒+︒，
160=︒，
又∵OD 平分AOC ∠，
∴1
802
AOD AOC ∠=
∠=︒， ∴BOD AOD AOB ∠=∠-∠，
8040=︒-︒，
40=︒.
【点睛】
此题考查角度的和差计算，会看图明确各角之间的大小关系，注意角平分线的运用. 10．如图，点B 、C 在线段AD 上，且::2:3:4AB BC CD =，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段CD 上的一点，且9MN =． （1）若点N 是线段CD 的中点，求BD 的长； （2）若点N 是线段CD 的三等分点，求BD 的长．
解析：（1）14；（2）37823或
378
31
. 【分析】
（1）设AB=2x ，则BC=3x ，CD=4x ．根据线段中点的性质求出MC 、CN ，列出方程求出x ，计算即可；
（2）分两种情况：①当N 在CD 的第一个三等分点时，根据MN=9，求出x 的值，再根据BD=BC+CD 求出结果即可；②当N 在CD 的第二个三等分点时，方法同①. 【详解】
设AB=2x ，则BC=3x ，CD=4x ． ∴AC=AB+BC=5x ， ∵点M 是线段AC 的中点， ∴MC=2.5x ，
∵点N 是线段CD 的中点， ∴CN=2x ，
∴MN=MC+CN=2.5x+2x=4.5x ∵MN=9，
∴4.5x=9，解得x=2， ∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=14.
（2）情形1：当N 在CD 的第一个三等分点时，CN=4
3
x ，
∴MN=MC+CN=
54239236
x x x +==
解得，5423
x =
， ∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=
378
23
; 情形2：当当N 在CD 的第二个三等分点时，CN=83
x ， ∴MN=MC+CN=5831
9236
x x x +== 解得，5431
x =
， ∴BD=BC+CD=3x+4x=7x=
378
31
; 故BD 的长为37823或
378
31
. 【点睛】
本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点和三等分点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
11．[阅读理解]射线OC 是AOB ∠内部的一条射线，若1
,2
COA BOC ∠=
∠则我们称射线OC 是射线OA 的伴随线．
例如，如图1，60 20AOB AOC COD BOD ∠=∠=∠=∠=，，则
12AOC BOC ∠=∠，称射线OC 是射线OA 的伴随线：同时，由于1
2
BOD AOD ∠=∠，
称射线OD 是射线OB 的伴随线．
[知识运用]
（1）如图2，120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线，则AOM ∠= ，若
AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线，则NOC ∠的度数是 ．（用含α的代数式表示）
（2）如图，如180AOB ∠=，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒3的速度逆时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒5的速度顺时针旋转，当射线OD 与射线OA 重合时，运动停止，现在两射线同时开始旋转．
①是否存在某个时刻t （秒），使得COD ∠的度数是20，若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；
②当t 为多少秒时，射线OC OD OA 、、中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 解析：（1）40︒，16
α；（2）①存在，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20︒；②当907t =，36019，1807
，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【分析】
（1）根据伴随线定义即可求解；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】
（1）∵120AOB ∠=，射线OM 是射线OA 的伴随线， 根据题意，12AOM BOM ∠=
∠，则11
1204033
AOM AOB ∠=∠=⨯︒=︒； ∵AOB ∠的度数是α，射线ON 是射线OB 的伴随线，射线OC 是AOB ∠的平分线， ∴111233BON AON AOB α∠=
∠=∠=，11
22
BOC AOB α∠=∠=， ∴111
236
NOC BOC BON ααα∠=∠-∠=-=； 故答案为：40︒，1
6
α；
（2）射线OD 与OA 重合时，180
365
t ==（秒）， ①当∠COD 的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则1805320t t --=， ∴20t =；
若在相遇之后，则5318020t t +-=， ∴25t =；
所以，综上所述，当20t =秒或25秒时，∠COD 的度数是20°； ②相遇之前： （i ）如图1，
OC 是OA 的伴随线时，则1
2
AOC COD ∠=∠， 即()1
3180532
t t t =--， ∴907
t =
； （ii ）如图2，
OC 是OD 的伴随线时， 则1
2
COD AOC ∠=
∠， 即1
1805332
t t t --=
⨯， ∴360
19t =； 相遇之后：
（iii ）如图3，
OD 是OC 的伴随线时， 则1
2
COD AOD ∠=
∠， 即()1
5318018052
t t t +-=-， ∴180
7
t =
； （iv ）如图4，
OD 是OA 的伴随线时，则1
2
AOD COD ∠=∠， 即()1
18053t 5t 1802
t -=+-， ∴30t =；
所以，综上所述，当907t =，36019，1807
，30时，OC 、OD 、OA 中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了角的计算，考查了动点问题，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 12．将一副三角尺叠放在一起：
（1）如图①，若∠1＝4∠2，请计算出∠CAE 的度数； （2）如图②，若∠ACE ＝2∠BCD ，请求出∠ACD 的度数． 解析：（1）∠CAE ＝18°；（2）∠ACD ＝120°． 【分析】
（1）由题意根据∠BAC ＝90°列出关于∠1、∠2的方程求解即可得到∠2的度数，再根据同角的余角相等求出∠CAE ＝∠2，从而得解；
（2）根据∠ACB 和∠DCE 的度数列出等式求出∠ACE ﹣∠BCD ＝30°，再结合已知条件求出∠BCD ，然后由∠ACD ＝∠ACB+∠BCD 并代入数据计算即可得解． 【详解】
解：（1）∵∠BAC ＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠1＝4∠2， ∴4∠2+∠2＝90°， ∴∠2＝18°，
又∵∠DAE ＝90°，
∴∠1+∠CAE ＝∠2+∠1＝90°，
∴∠CAE ＝∠2＝18°；
（2）∵∠ACE+∠BCE ＝90°，∠BCD+∠BCE ＝60°，
∴∠ACE ﹣∠BCD ＝30°，
又∠ACE ＝2∠BCD ，
∴2∠BCD ﹣∠BCD ＝30°，∠BCD ＝30°，
∴∠ACD ＝∠ACB+∠BCD ＝90°+30°＝120°．
【点睛】
本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
13．如图，以直线AB 上一点O 为端点作射线OC ，使80BOC ∠=︒，将一个直角三角形的直角顶点放在点O 处(注：90DOE ∠=︒)
()1如图①，若直角三角板DOE 的一边OD 放在射线OB 上，则COE ∠= ．
()2如图②，将直角三角板DOE 绕点O 逆时针方向转动到某个位置，若OC 恰好平分∠BOE ，求COD ∠的度数；
()3如图③，将直角三角板DOE 绕点O 转动，如果OD 始终在BOC ∠的内部，试猜想BOD ∠与COE ∠有怎样的数量关系？并说明理由．
解析：（1）10°；（2）10°；（3）∠COE －∠BOD ＝10°，理由见解析．
【分析】
（1）根据COE DOE BOC =-∠∠∠，即可求出COE ∠的度数；
（2）根据角平分线的性质即可求出COD ∠的度数；
（3）根据余角的性质即可求出∠COE －∠BOD ＝10°．
【详解】
（1）∵90DOE ∠=︒,80BOC ∠=︒
∴908010COE DOE BOC =-=︒-︒=︒∠∠∠
∴∠COE ＝10°
（2）∵OC 恰好平分∠BOE ∴12
COE COB BOE ==∠∠∠ ∴∠COD ＝∠DOE －∠COE ＝∠DOE －∠BOC ＝10°
（3）猜想：∠COE －∠BOD ＝10°
理由：∵∠COE ＝∠DOE －∠COD ＝90°－∠COD
∠COD ＝∠BOC －∠BOD ＝80°－∠B OD
∴∠COE ＝90°－（80°－∠B OD ）
＝10°＋∠B OD
即∠COE －∠BOD ＝10°
【点睛】
本题考查了角的度数问题，掌握角平分线的性质、余角的性质是解题的关键．
14．如图，已知线段a 和b ，直线AB 和CD 相交于点O.利用尺规，按下列要求作图（只保留作图痕迹即可）：
（1）在射线OA ，OB ，OC 上作线段OA′，OB′，OC′，使它们分别与线段a 相等； （2）在射线OD 上作线段OD′，使OD′与线段b 相等；
（3）连接A′C′，C′B′，B′D′，D′A′.
解析：详见解析
【解析】
【分析】
（1）以点O 为圆心，a 为半径作圆，分别交射线OA ，OB ，OC 于A′、B′、C′；、 （2）以点O 为圆心，b 为半径作圆，分别交射线OD ，于D′.
（3）依次连接A′C′B′D′,即可解答.
【详解】
解：（1）如图所示OA′、OB′、OC′.
（2）如图所示OD′.
（3）如图所示A′C′B′D′.
【点睛】
此题考查作图—复杂作图，解题关键在于掌握尺规作图.
15．如图，点C 在线段AB 上，点,M N 分别是AC BC 、的中点．
（1）若9,6AC cm CB cm ==，求线段MN 的长；
（2）若C 为线段AB 上任一点，满足AC CB acm +=，其它条件不变，你能求出MN 的长度吗？请说明理由．
（3）若C 在线段AB 的延长线上，且满足,,AC BC bcm M N -=分别为 AC 、BC 的中点，你能求出MN 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
解析：（1）7.5；（2）12a ，理由见解析；（3）能，MN=12b ，画图和理由见解析 【分析】 （1）据“点M 、N 分别是AC 、BC 的中点”，先求出MC 、CN 的长度，再利用MN=CM+CN 即可求出MN 的长度即可．
（2）据题意画出图形，利用MN=MC+CN 即可得出答案．
（3）据题意画出图形，利用MN=MC-NC 即可得出答案．
【详解】
解：（1）点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，
∴CM=
12AC=4.5cm ， CN=12
BC=3cm ， ∴MN=CM+CN=4.5+3=7.5cm ．
所以线段MN 的长为7.5cm ．
（2）MN 的长度等于12
a ， 根据图形和题意可得：MN=MC+CN=
12AC+12BC=12（AC+BC ）=12a ；
（3）MN 的长度等于12
b ，
根据图形和题意可得：
MN=MC-NC=1
2
AC-
1
2
BC=
1
2
（AC-BC）=
1
2
b．
【点睛】
本题主要考查了两点间的距离，关键是掌握线段的中点把线段分成两条相等的线段，注意根据题意画出图形也是关键．
16．如图，OC是∠AOB的平分线，∠AOD比∠BOD大30°，则∠COD的度数为________．
解析：15°
【分析】
设∠BOD＝x，分别表示出∠AOD＝x＋30°，∠AOC= x＋15°，即可求出∠COD．
【详解】
解：设∠BOD＝x，则∠AOD＝x＋30°，
所以∠AOB＝2x＋30°．
因为OC是∠AOB的平分线，
所以∠AOC＝1
2
∠AOB= x＋15°，
所以∠COD=∠AOD-∠AOC＝15°．
故答案为：15°
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，角的和差等知识，理解角平分线的定义，并用含x的式子表示是解题关键．
17．线段AD=6cm，线段AC=BD=4cm ，E、F分别是线段AB、CD中点，求EF．
解析：【分析】
根据题意和图形可以求得线段EB、BC、CF的长，从而可以得到线段EF的长．
【详解】
∵E，F分别是线段AB，CD的中点，
∴AB=2EB=2AE，CD=2CF=2FD，
∵AD=AB+BC+CD=2EB+BC+2CF=6，AC=2EB+BC=4，
∴AC+2CF=6，
解得，CF=1，
同理可得：EB=1，
∴BC=2，
∴EF=EB+BC+CF=1+2+1=4．
【点睛】
此题考查两点间的距离，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
18．如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB＝90°，∠BOC＝60°时，∠MON的度数是多少？为什么？
（2）如图2，当∠AOB＝70°，∠BOC＝60°时，∠MON＝度．（直接写出结果）（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝β时，猜想：∠MON的度数是多少？为什么？
解析：（1）45°，理由见解析；（2）35；（3）1
2
α，理由见解析
【分析】
（1）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（3）表示出∠AOC度数，表示出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC 求出即可．
【详解】
解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+60°＝150°，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠MOC＝1
2
∠AOC＝75°，
∠NOC＝1
2
∠BOC＝30°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°；
（2）如图2，∵∠AOB＝70°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝70°+60°＝130°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC＝1
2∠AOC＝65°，∠NOC＝1
2
∠BOC＝30°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝65°﹣30°＝35°．故答案为：35．
（3）如图3，∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC ＝∠AOB +∠BOC ＝α+β，
∵OM 是∠AOC 的平分线，ON 是∠BOC 的平分线，
∴∠MOC ＝12∠AOC ＝12（α+β）， ∠NOC ＝12∠BOC ＝12
β， ∴∠MON ＝∠MOC ﹣∠NOC ＝
12（α+β）﹣12β＝12α．
【点睛】
本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC 、∠MOC 、∠NOC 的度数和得出∠MON=∠MOC-∠NOC.
19．P 是线段AB 上任一点，12AB cm =，C D 、两点分别从P B 、同时向A 点运动，且C 点的运动速度为2/cm s ，D 点的运动速度为3/cm s ，运动的时间为t s .
（1）若8AP cm =，
①运动1s 后，求CD 的长；
②当D 在线段PB 上运动时，试说明2AC CD =；
（2）如果2t s =时，1CD cm =，试探索AP 的值.
解析：（1）①3cm ；②见解析；（2）9AP =或11cm.
【分析】
（1）①先求出PB 、CP 与DB 的长度，然后利用CD=CP+PB-DP 即可求出答案；②用t 表示出AC 、DP 、CD 的长度即可求证AC=2CD ；
（2）t=2时，求出CP 、DB 的长度，由于没有说明点D 再C 点的左边还是右边，故需要分情况讨论.
【详解】
解：（1）①由题意可知：212,313CP cm DB cm =⨯==⨯=，
∵8,12AP cm AB cm ==，∴4PB AB AP cm =-=，
∴2433CD CP PB DB cm =+-=+-=；
②∵8,12AP AB ==，∴4,82BP AC t ==-，
∴43DP t =-，∴2434CD DP CP t t t =+=+-=-，
∴2AC CD =；
（2）当2t =时，
224,326CP cm DB cm =⨯==⨯=，
当点D 在C 的右边时，如图所示：由于1CD cm =，∴7CB CD DB cm =+=，∴5AC AB CB cm =-=，
∴9AP AC CP cm =+=，
当点D 在C 的左边时，如图所示：∴6AD AB DB cm =-=，
∴11AP AD CD CP cm =++=，
综上所述，9AP =或11cm.
【点睛】
本题考查的知识点是线段的简单计算以及线段中动点的有关计算.此题的难点在于根据题目画出各线段.
20．一个锐角的补角比它的余角的4倍小30，求这个锐角的度数和这个角的余角和补角的度数．
解析：这个锐角的度数为50︒，这个角的余角的度数为40︒，补角的度数为130︒．
【分析】
设这个锐角为x 度，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．
【详解】
设这个锐角为x 度，由题意得：
()18049030x x -=--，
解得50x =．
即这个锐角的度数为50︒．
905040︒︒︒-=，18050130︒︒︒-=．
答：这个锐角的度数为50︒，这个角的余角的度数为40︒，补角的度数为130︒．
【点睛】
本题考查了余角与补角，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键． 21．如图，射线ON ，OE ，OS ，OW 分别表示以点O 为中心的北，东，南，西四个方向，点A 在点O 的北偏东45︒方向，点B 在点O 的北偏西30方向．
（1）画出射线OB ，若BOC ∠与AOB ∠互余，请在图（1）或备用图中画出BOC ∠； （2）若OP 是AOC ∠的平分线，直接写出AOP ∠的度数．（不需要计算过程）
解析：（1）见解析；（2）45︒或30．
【分析】
（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
（1）如图所示，BOC ∠与BOC '∠即为所求．
（2）AOP ∠的度数为45︒或30︒．
∵∠AON=45°，∠BON=30°，
∴∠AOB=75°，
∵∠BOC 与∠AOB 互余，
∴∠BOC=∠BOC′=15°，
∴∠AOC=90°，∠AOC=60°，
∵OP 是∠AOC 的角平分线，
∴∠AOP=45°或30°．
【点睛】
本题主要考查了方向角的定义，余角的定义，作出图形，正确掌握方向角的定义是解题关键．
22．在一条不完整的数轴上从左到右有点A ，B ，C ，其中2AB =，1BC =，如图所示，设点A ，B ，C 所对应数的和是p ．
（1）若以B 为原点，写出点A ，C 所对应的数，并计算p 的值；若以C 为原点，p 又是多少？
（2）若原点O 在图中数轴上点C 的右边，且28CO =，求p ．
解析：（1）-4；（2）-88
【分析】
（1）根据以B 为原点，则C 表示1，A 表示-2，进而得到p 的值；根据以C 为原点，则A 表示-3，B 表示-1，进而得到p 的值；
（2）根据原点O 在图中数轴上点C 的右边，且CO=28，可得C 表示-28，B 表示-29，A 表示-31，据此可得p 的值．
【详解】
（1）若以B 为原点，则点C 对应1，点A 对应2-，
所以1021p =+-=-；
若以C 为原点，则点A 对应3-，点B 对应1-，
所以3104p =--+=-．
（2）若原点O 在题图中数轴上点C 的右边，且28CO =，则点C 对应28-，点B 对应29-，点A 对应31-，所以31292888p =---=-．
【点睛】
本题考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
23．如图，是一个几何体的表面展开图．
（1）该几何体是________；
A ．正方体
B ．长方体
C ．三棱柱
D ．四棱锥
（2）求该几何体的体积．
解析：（1）C ；（2）4
【分析】
（1）本题根据展开图可直接得出答案．
（2）本题根据体积等于底面积乘高求解即可．
【详解】
（1）本题可根据展开图中两个全等的等腰直角三角形，以此判定该几何体为三棱柱，故选C ．
（2）由图已知：该几何体底面积为等腰三角形面积12222
=⨯⨯=；该几何体的高为2； 故该几何体体积=底面积⨯高=22=4⨯．
【点睛】
本题考查几何体展开图以及体积求法，根据展开图推测几何体时需要以展开图的特征位置作为推测依据，求解体积或者面积时按照公式求解即可．
24．射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE 有公共端点O ．
（1）若OA 与OE 在同一直线上，如图（1），试写出图中小于平角的角．
（2）如图（2），若108AOC ︒∠=，(072)COE n n ︒∠=<<，OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，求BOD ∠的度数．
解析：（1）AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠；（2）54︒
【分析】
（1）根据角的定义即可解决；
（2）利用角平分线的性质即可得出∠BOD=12∠AOC+12∠COE ，进而求出即可． 【详解】
（1）题图（1）中小于平角的角有AOD ∠，AOC ∠，AOB ∠，∠BOE ，BOD ∠，BOC ∠，COE ∠，COD ∠，DOE ∠．
（2）因为OB 平分AOE ∠，OD 平分COE ∠，108AOC ︒∠=，
(072)COE n n ︒∠=<<，
所以
1111()2222
BOD BOE DOE AOE COE AOE COE AOC ∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠． 因为108AOC ∠=︒，
所以54BOD ∠=︒
【点睛】
本题考查了角的平分线的定义和角的有关计算，本题中将所有锐角的和转化成与∠AOE 、∠BOD 和∠BOD 的关系是解题的关键，
25．如图，点O 是直线AB 上一点，OC 为任一条射线，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ． （1）分别写出图中∠AOD 和∠AOC 的补角
（2）求∠DOE 的度数．
解析：（1）∠BOD ，∠BOC ；（2）90°．
【分析】
（1）由题意根据补角的定义即和是180度的两个角互补，一个角是另一个角的补角进行分析；
（2）根据角平分线的性质，可得∠COE ，∠COD ，再根据角的和差即可得出答案．
【详解】
解：（1）根据补角的定义可知，∠AOD 的补角是∠BOD ；
∠AOC的补角是∠BOC；
（2）∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，
∴∠COD= 1
2∠AOC，∠COE=1
2
∠BOC．
由角的和差得∠DOE=∠COD+∠COE=1
2
∠AOC+1
2
∠BOC=1
2
∠AOB=90°．
【点睛】
本题考查余角和补角，利用了补角的定义和角的和差以及角平分线的性质进行分析求解．26．已知，A、B是线段EF上两点，已知EA：AB：BF=1：2：3，M、N分别为EA、BF的中点，且MN=8cm，求EF的长．
解析：12cm
【解析】
【分析】由已知设设EA=x，AB=2x，BF=3x，根据线段中点性质得
MN=MA+AB+BN=1
2
x+2x+
3
2
x=4x=8，可得EF=EA+AB+BF=6x=12.
【详解】解：∵EA：AB：BF=1：2：3，可以设EA=x，AB=2x，BF=3x，
而M、N分别为EA、BF的中点，
∴MA=1
2EA，NB=
1
2
BF，
∴MN=MA+AB+BN=1
2x+2x+
3
2
x=4x，
∵MN=8cm，
∴4x=8，
∴x=2，
∴EF=EA+AB+BF=6x=12，
∴EF的长为12cm．
【点睛】本题考核知识点：线段的中点.解题关键点：根据线段中点性质和线段的和差关系列出方程.
27．已知线段14
AB=，在线段AB上有点C，D，M，N四个点，且满足AC：CD：
1
DB=：2：4，
1
2
AM AC
=，且
1
4
DN BD
=，求MN的长．
解析：7或3
【分析】
求出AC，CD，BD，求出CM，DN，根据MN CM CD DN
=++或MN CM CD ND
=+-求出即可．
【详解】
如图，
14AB =，AC ：CD ：1BD =：2：4，
2AC ∴=，4CD =，8BD =， 12AM AC =，14
DN DB =， 1CM ∴=，2DN =，
1427MN CM CD DN ∴=++=++=或1423MN CM CD ND =+-=+-=． 则MN 的长是7或3．
【点睛】
本题考查了求出两点间的距离的应用及分类讨论的数学思想，关键是找找出线段间的数量关系.
28．把一副三角板的直角顶点O 重叠在一起．
（1）问题发现：如图①，当OB 平分∠COD 时，∠AOD+∠BOC 的度数是 ； （2）拓展探究：如图②，当OB 不平分∠COD 时，∠AOD+∠BOC 的度数是多少？ （3）问题解决：当∠BOC 的余角的4倍等于∠AOD 时，求∠BOC 的度数．
解析：（1）180°；（2）180°；（3）60°．
【解析】
试题分析：（1）先根据OB 平分∠COD 得出∠BOC 及∠AOC 的度数，进而可得出结论； （2）根据直角三角板的性质得出∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°进而可得出结论；
（3）根据（1）、（2）的结论可知∠AOD+∠BOC=180°，故可得出∠AOD=180°﹣∠BOC ，根据∠BOC 的余角的4倍等于∠AOD 即可得出结论．
解：（1）∵OB 平分∠COD ，
∴∠BOC=∠BOD=45°．
∵∠AOC+∠BOC=45°，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠COD+∠BOC=45°+90°+45°=180°．
故答案为180°；
（2）∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，∠COD=∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠AOD+∠BOC=∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC=90°+90°=180°；
（3）∵由（1）、（2）得，∠AOD+∠BOC=180°，
∴∠AOD=180°﹣∠BOC ．
∵∠AOD=4（90°﹣∠BOC ），
∴180°﹣∠BOC=4（90°﹣∠BOC ），
∴∠BOC=60°．
考点：余角和补角；角平分线的定义．
29．已知：点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，100BOC ∠=︒．
（1）如图1，求AOC ∠的度数；
（2）如图2，过点O 作射线OD ，使90COD ∠=︒，作AOC ∠的平分线OM ，求MOD ∠的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，作射线OP ，若BOP ∠与AOM ∠互余，请画出图形，并求COP ∠的度数．
解析：（1）80°；（2）50°；（3）50︒或150︒，图见解析
【分析】
（1）直接根据邻补角的概念即可求解；
（2）直接根据角平分线的性质即可求解；
（3）根据P BO ∠与M AO ∠互余，可得50BOP ∠=︒，分①当射线P O 在C BO ∠内部时；②当射线P O 在C BO ∠外部时，两种情况进行讨论即可．
【详解】
解：（1）180********∠=︒-∠=︒-︒=︒AOC BOC ；
（2）由（1）得80AOC ∠=︒，
90COD ∠=︒，
10AOD COD AOC ∴∠=∠-∠=︒， OM 是AOC ∠的平分线，
11804022
AOM AOC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 401050MOD AOM AOD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；
（3）由（2）得40AOM ∠=︒，
BOP ∠与AOM ∠互余，
90BOP AOM ∴∠+∠=︒，
90904050BOP AOM ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
①当射线OP 在BOC ∠内部时（如图3-1)，
1005050COP BOC BOP ∠=∠-∠=︒-︒=︒；
②当射线OP 在BOC ∠外部时（如图3-2)，
10050150COP BOC BOP ∠=∠+∠=︒+︒=︒．
∠的度数为50︒或150︒．
综上所述，COP
【点睛】
此题主要考查邻补角的概念、角平分线的性质、余角的概念，熟练进行逻辑推理是解题关键．
30．如图，A、B、C三点在一条直线上，根据图形填空：
（1）AC＝++；
（2）AB＝AC﹣；
（3）DB+BC＝﹣AD
（4）若AC＝8cm，D是线段AC中点，B是线段DC中点，求线段AB的长．
解析：（1）AD，DB，BC；（2）BC；（3）AC；（4）6cm．
【分析】
（1）根据图形直观的得到线段之间的关系；
（2）根据图形直观的得到线段之间的关系；
（3）根据图形直观的得到各线段之间的关系；
（4）AD和CD的长度相等并且都等于AC的一半，DB的长度为CD长度的一半即为AC长度的四分之一．AB的长度等于AD加上DB，从而可求出AB的长度．
【详解】
（1）AC＝AD+DB+BC
故答案为：AD，DB，BC；
（2）AB＝AC﹣BC；
故答案为：BC；
（3）DB+BC＝DC=AC﹣AD
故答案为：AC；
（4）∵D是AC的中点，AC＝8时，AD＝DC＝4
B是DC的中点，
∴DB＝2
∴AB＝AD+DB
＝4+2，
＝6（cm）．
【点睛】
本题重点是根据题干中的图形得出各线段之间的关系，在第四问中考查了线段中点的性质．线段的中点将线段分成两个长度相等的线段．。