函数y=Asin(ωx φ)的图象教学设计

《函数sin()y A x ωϕ=+的图像》教学设计
蕉岭中学 陈慧忠
一、教材分析
1．教材的地位和作用
本节课的内容是人教A 版数学必修4第一章第五节《函数sin()y A x ωϕ=+的图像》，是在学生已经学习了正、余弦函数的图像和性质的基础上，进一步研究生活生产实际中常见的函数类型：函数sin()y A x ωϕ=+的图像。

在解决这个问题的过程中贯穿了由简单到复杂、特殊到一般的数学化归思想。

同时还力图向学生展示观察、归纳、类比、联想等数学思想方法，通过本节内容的学习可以使学生将已有的知识形成体系，对于进一步探索、研究其他数学问题有很强的启发与示范作用.
2.学情分析
从知识上来讲，在高一必修1函数教学中学生已经掌握了一般函数图像平移变换、对称变换等比较简单的函数图像变换方法，但对于伸缩变换还是初次明确提出，并加以研究，所以平移变换和伸缩变换综合研究成为本节课的难点。

从认知心理上来讲，学生对于运用函数图像这一形象手段研究问题比较感兴趣. 二、教法学法
1.教法分析
教学过程是教师和学生共同参与的过程，要在课堂教学中，加强知识发生过程的教学，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性和主动性；有效地渗透数学思想方法，培养学生的数学思维，根据以上教学原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用以下教学方法：
（1）对比教学法：通过学生观察sin()y A x ωϕ=+ 的图像与函数sin y x = 的图像之
间的区别，理解,,A ωϕ对函数图像的影响.
（2）引导探究法：从,,A ωϕ对函数图像的单独影响，是一个整合的过程，也恰恰是能力提高的过程，提高“积零为整”的引导，使学生完成,,A ωϕ的整合过程的探究学习.
（3）发现教学法：通过动态的图像演示，引导学生发现问题、联系类比、猜想验证，从而解决问题，形象直观的演示有利于提高学生的学习兴趣，减轻学习抽象概念的难度，符合学生的认知特点.
（4）多媒体教学法：本节课所涉及的函数图像较多，手工绘图复杂，为了省时，增加绘图的形象性、准确性，发现函数sin()y A x ωϕ=+与函数sin y x = 的图像之间的关系，提高课堂效率。

采用几何画板和PPT 制作多媒体课件辅助教学.
2.学法分析：
教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考，主动探究，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：
（1）对比学习法 （2）探究学习法 （3）协作学习法 （4）观察法 （5）反思学习法 （6）练习巩固法 三、教学目标
1．知识与技能
（1）结合物理中的简谐振动，了解函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的实际意义； （2）用“五点法”绘制函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图像, 并借助几何画板动 态演示三角函数图像，研究参数,,A ωϕ对函数图像变化的影响，让学生进一步了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律．
（3）在探究参数,,A ωϕ对函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图像影响的过程中认识函数
sin y x =与函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的联系.
2．过程与方法
（1）经历函数sin y x =图像到函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>图像变换探究的过程，培养学生的数学发现能力和概括总结能力.
（2）让学生经历三角函数图像各种变换的探求和运用，体验各种变换的内在联系，提高学生的推理能力、分析问题和解决问题的能力．
（3）在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，渗透数形结合的思想． 3．情感、态度、价值观
(1）通过对三角函数图像的各种变换的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度．
（2）通过合作学习，探究三角函数图像各种变换，培养学生团结协作的精神. 四、教学重点与难点 教学重点：
(1)函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像以及参数,,A ωϕ对图像变换的影响. (2)函数sin y x =的图像与函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像间的变换关系. 教学难点：
函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像与函数sin y x =的图像与之间的变换关系. 五、教学过程： 课前准备：
用“五点法”在同一坐标系用不同颜色的线画出下列几组函数的图像（要求有列表过程）：
（1）sin y x =，2sin y x =，1
sin 2y x =
（2）sin y x =，sin 2y x =,1
sin 2y x =
（3）sin y x =，sin()3y x π=+，sin()3
y x π
=-
[设计意图]通过作三组不同函数的图像，进一步体会“五点法”作函数图像的基本方法,同时为本节课的图像变换做好准备. 一.创设情境,引出问题
1. 演示课件《弹簧振子位移——时间的图像》,并作位移y 随时间x 变化的关系图像
[设计意图]采用物理知识引出函数sin()y A x ωϕ=+的图像，体现该函数图像与生活实际的紧密联系,体现函数图像在物理学上的重要性，激发学生研究该函数图像的兴趣。

引导学生思考
sin()y A x ωϕ=+与正弦函数的一般与特殊的关系，进而引导学生探讨正弦曲线与函数sin()y A x ωϕ=+的图像的关系。

2．借助《几何画板》演示函数sin()y A x ωϕ=+在,,A ωϕ 变化的过程中函数图像的变化情况
3．介绍其中几个量的物理意义
振幅（A ）：物体振动时离开平衡位置的最大距离 最小正周期（2||
π
ω）：往复振动一次所需的时间，称为振动的周期 频率（1||
2f T ωπ
=
=
）：单位时间内往复振动的次数 相位：x ωϕ+，
初相：ϕ（0x =的相位）
问题: 函数sin y x =就是sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>在1,1,0A ωϕ===时的特殊情况，在
1,1,0A ωϕ≠≠≠时函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图像与sin y x =的图像有何关系？
[设计意图]结合生活中简谐振动创设问题情境,加强数学与物理学科的联系,让学生体会到数学的应用价值,sin y x =为sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的特殊情况引起学生的探究兴趣,通过设置问题,引起认知冲突,激发学生的求知欲望.
二.互助探究,感受规律(分组讨论，寻求一般规律，每组选派代表汇报“研究成果”) 问题1 A 对图像的影响：
寻找函数sin y x =，2sin y x =，1
sin 2
y x =三者图像之间的联系.
学生活动 (1)组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过教师操作几何画板进行验证,并探求理性解释.
(2)教师借助几何画板动态演示图像的功能,让学生感受sin y x =，在A 变化的过程中函数的变化过程.
通过学生合作探究,交流展示,概括总结振幅变换的一般规律:
一般地，函数sin (0,1)y A x A A =>≠的图像，可以看作是将函数sin y x =图像上所有点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．易知，函数
sin y A x =的值域为[,]A A -．
问题2：ϕ对图像的影响
寻找函数sin y x =，sin()3y x π=+，sin()3y x π
=-，三者图像之间的联系.
学生活动
(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过教师操作几何画板进行验证,并探求理性解释.
(2)引导学生借助图像上的对应变化点横坐标之间的对应关系理解图像平移变换的实质 (3)教师借助几何画板动态演示图像的功能,让学生感受sin()y x ϕ=+的变化过程
通过学生合作探究,交流展示,概括总结初相变换的一般规律:
一般地，函数sin()y x ϕ=+的图像，可以看作是将函数sin y x =图像上所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移||ϕ个单位而得到的． 问题3 ω对图像的影响:
寻找函数三者sin y x =，sin 2y x =,1
sin 2
y x =图像之间的联系.
学生活动
(1) 组织学生交流讨论,鼓励学生大胆猜想,通过教师操作几何画板进行验证,并探求理性解释.
(2)引导学生借助图像上对应变化点的坐标之间对应关系,理解图像周期变换的实质 (3)教师借助几何画板动态演示图像的功能,让学生感受sin y x ω=的变化过程.
通过学生合作探究,交流展示,概括总结周期变换的一般规律:
一般地，函数sin (0,1)y x ωωω=>≠的图像，可以看作是将函数sin y x =图像上所有点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的
1
ω
倍（纵坐标不变）而得到的．
[设计意图]将,,A ωϕ对图像变换的影响进行分解,问题提出后,教师不急于讲解,而是由学生合作解决,教师适当引导.在探究过程中注重借助教师操作几何画板辅助思维,并通过前后坐标的变化理解图像变换的实质. 问题4(难点突破)
（1）函数sin y x =通过怎样变换可以得到函数3sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图像?
本题借助几何画板对两种不同思路变化过程的展示，加深学生对于知识的理解
(2) 将函数s i n 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位,所得到的图像的函数解析式
为
(3)一般地，函数()sin (0,0)y x ωϕωϕ=+>≠的图像，可以看作是将函数sin y x ω=图像上所有点 (0ϕ>)或 (0ϕ<)平移 个单位而得到
（4）函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像通过怎样的变换可以得到函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图像？
[设计意图]周期变换和相位变换的不同顺序对图像的影响是本课的难点. 不能广而告之, 鼓励学生在提出猜想的基础上,通过图像变换过程，共同发现规律,总结一般性结论,自然流畅,易于接受理解,从而突破难点. 三.典例分析，形成能力
例：若函数3sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭表示一个振动量:
(1)求这个振动的振幅,周期,初相； (2)五点法画出该函数的图像．
解：(1) 函数3sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的振幅为3,初相为3π-,周期为π.
(2)方法一：“五点法”列表作图 方法二(先周期后相位)
做出正弦曲线，并将曲线上每一点的横坐标变为原来的
1
2
倍（纵坐标不变），得到函数sin 2y x =的图像；再将函数sin 2y x =的图像向右平移
6
π
个单位长度，得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像；最后将函数sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像上每一点的纵坐标变为原来的3
倍（横坐标不变），即可得到函数3sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像.
即：sin y x = sin 2y x = sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 3sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
方法三(先相位后周期)
做出正弦曲线，并将其向右平移
3π个单位长度，得到函数sin 3y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像;再将函
数sin 3y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭图像上每一点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到函数
sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像；最后将函数sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭图像上每一点的纵坐标变为原来的3倍
（横坐标不变），即可得到函数3sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像.
即：sin y x = sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 3sin 23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
[设计意图]互动探究部分将,,A ωϕ三元素对图像变换的影响进行分解,本环节通过例题让学生体会三者结合对图像变化的影响,并着重分析先周期后相位与先相位后周期在图像变换过程中的注意点. 四.回顾反思,拓展深化 1. “五点法”作图
2.图形变换过程的两种方法殊途同归
沿x 轴平移||ϕ个单位 横坐标伸长或缩短
横坐标伸长或缩短 沿x 轴平移|
|ϕ
ω
个单位
3.总结参数,,A ωϕ函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的影响．
（1）振幅变化，由A 的变化引起;
作sin y x =(长度为2π的某闭区间)
得到sin()y x ϕ=+
得到sin y x ω=
得到sin()y x ωϕ=+
得到sin()y x ωϕ=+
得到sin()y A x ωϕ=+的图像，先在一个周期闭区间上在扩充到
R
（2）周期变化，由ω的变化引起;
（3）相位变化，由
ϕ
ω
或ϕ的变化引起. [设计意图]引导学生从知识和方法两个方面进行小结.培养学生及时总结,概括提升的能力,为在课后能继续独立探究思考埋下伏笔. 五.课后研究，突出重点
阅读书后链接内容并通过网络了解三角函数知识在简谐运动,波的传播,交流电中的应用.
[设计意图]通过阅读让学生了解数学学科与人类社会发展间的相互关系,体会数学的科学价值和应用价值;通过思考题使知识更加完整,落实知识的掌握与思想方法的理解. 六.作业布置
做在书本上：书本5758
1P -
坐在作业本上：书本58P 3，592P。