2019-2020学年安徽省合肥一中,八中、六中高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年安徽省合肥一中，八中、六中高一（上）期末数
学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分.每小题只有一个选项符合题意，答案填涂到答题卡上.
1．（5分）设集合{1A =，2，4}，2{|40}B x x x m =-+=．若{1}A B =I ，则(B = ) A ．{1，3}- B ．{1，5} C ．{1，0} D ．{1，3}
2．（5
分）函数()f x =的定义域为( )
A ．1(0,)2
B ．(2,)+∞
C ．(0，1
)(22
⋃，)+∞
D ．(0，1
][22
U ，)+∞
3．（5分）已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线3y x =上，则cos2(θ= ) A ．
3
4
B ．
23 C ．35
D ．45
-
4．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是( )平方步？ A ．6
B ．3
C ．12
D ．9
5．（5分）若[0,]4πθ∈
，sin 2θ=sin (θ= )
A ．3
5
B
C ．
45
D ．
34
6．（5分）已知函数1
()()44
x x f x =-，则()(f x )
A ．是奇函数，且在R 上是增函数
B ．是偶函数，且在R 上是增函数
C ．是奇函数，且在R 上是减函数
D ．是偶函数，且在R 上是减函数
7．（5分）要得到函数4sin(3)3
y x π
=-的图象，只需要将函数4sin3y x =的图象( )
A ．向左平移9π
个单位 B ．向右平移
9π
个单位 C ．向左平移3
π
个单位
D ．向右平移3
π
个单位
8．（5分）函数2
()x x
e e
f x x --=的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．（5分）设函数2()cos cos f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期( ) A ．与b 有关，但与c 无关 B ．与b 有关，且与c 有关
C ．与b 无关，且与c 无关
D ．与b 无关，但与c 有关
10．（5分）已知函数23,0()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+<=⎨+⎩
…，若|()|f x ax …，则a 的取值范围是( )
A ．(-∞，0]
B ．(-∞，1]
C ．[3-，0]
D ．[3-，1] 11．（5分）已知函数()()f x x R ∈满足()4()f x f x -=-，若函数21
x y x
+=
与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1
()(m
i i i x y =+=∑ )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
12．（5分）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 的最大值为2
③()f x 在[π-，]π有4个零点④()f x 在区间(,)2
π
π单调递减
其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②③
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上. 13．（5分）已知函数2()(142)2f x ln x x =++，则1
(5)()5
f l
g f lg += ．
14．（5分）已知sin(5)cos(8)tan()
()3sin()cos()
22
f αππααπαππ
αα----=
-+，其中α是第三象限角，且
31
cos()25
πα-
=，则()f α= ． 15．（5分）若04
π
α<<
，04π
β-
<<，1cos()43πα+=
，
cos()43πβ-=，则cos()3
β
α+= ． 16．（5分）设函数()()f x x R ∈满足()()f x f x -=，()(2)f x f x =-，且当[0x ∈，1]时，3
()f x x =又函数()|cos()|g x x x π=，则函数13
()()()[,]22
h x g x f x =--上的零点个数为 ．
三、解答题：本大题共6小题共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内. 17．已知(,)2
π
απ∈
，sin α=
（1）求sin()6
π
α+的值；
（2）求5cos(
2)3
π
α-的值． 18
．已知函数22()sin cos cos ()f x x x x x x R =-+∈． （Ⅰ）求()3
f π
的值；
（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．
19．若函数()y f x =是周期为2的偶函数，当[1x ∈，2]时，()3f x x =-+．在()y f x =的图象上有两点A 、B ，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上． （1）求当[2x ∈，3]时()f x 的解析式；
（2）定点C 的坐标为(0,3)，求ABC ∆面积的最大值．
20．如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，
2AB =，1AD =，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG ，其底边EF AB ⊥，点E 在半圆
上．
（1）设6
EOC π
∠=
，求三角形木块EFG 面积；
（2）设EOC θ∠=，试用θ表示三角形木块EFG 的面积S ，并求S 的最大值．
21．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()2()f x f x -=-，则称“局部中心函数”．
（1）已知二次函数2()241()f x ax x a a R =+-+∈，试判断()f x 是否为“局部中心函数”，并说明理由；
（2）若12()423x x f x m m +=-+-g 是定义域为R 上的“局部中心函数”，求实数m 的取值范围．
22．已知a R ∈，函数21
()log ()f x a x
=+．
（1）当9a =时，解不等式()0f x >；
（2）若关于x 的方程2()log [(3)24]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；
（3）设0a >，若对任意1
[,1]2
t ∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +上的最大值与最小值的差不超
过1，求a 的取值范围．
2019-2020学年安徽省合肥一中，八中、六中高一（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分.每小题只有一个选项符合题意，答案填涂到答题卡上.
1．（5分）设集合{1A =，2，4}，2{|40}B x x x m =-+=．若{1}A B =I ，则(B = ) A ．{1，3}-
B ．{1，5}
C ．{1，0}
D ．{1，3}
【解答】解：集合{1A =，2，4}，2{|40}B x x x m =-+=． 若{1}A B =I ，则1A ∈且1B ∈， 可得140m -+=，解得3m =， 即有2{|430}{1B x x x =-+==，3}． 故选：D ．
2．（5
分）函数()f x =的定义域为( )
A ．1(0,)2
B ．(2,)+∞
C ．(0，1
)(22
⋃，)+∞
D ．(0，1
][22
U ，)+∞
【解答】解：要使函数有意义，则22()10log x ->， 即2log 1x >或2log 1x <-， 解得2x >或102
x <<
， 即函数的定义域为(0，1
)(22
⋃，)+∞，
故选：C ．
3．（5分）已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线3y x =上，则cos2(θ= ) A ．
3
4
B ．
23 C ．35
D ．45
-
【解答】解：由题意知：直线的斜率tan 3k θ==，
2222
2
22214
cos2cos sin 15
cos sin tan cos sin tan θθθθθθθθθ--∴=-===-
++， 故选：D ．
4．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是( )平方步？ A ．6
B ．3
C ．12
D ．9
【解答】解：Q 弧长6步，其所在圆的直径是4步，
∴由题意可得：1
2662
S =
⨯⨯=（平方步）
， 故选：A ．
5．（5分）若[0,]4π
θ∈，sin 2θ=sin (θ= )
A ．3
5
B C ．
45
D ．
34
【解答】解：sin 2θ=
又[0,]4
π
θ∈，cos sin 0θθ∴>>，
则sin cos θθ+===，
sin cos θθ-==
2sin θ∴==
则sin θ=
． 故选：B ．
6．（5分）已知函数1
()()44
x x f x =-，则()(f x )
A ．是奇函数，且在R 上是增函数
B ．是偶函数，且在R 上是增函数
C ．是奇函数，且在R 上是减函数
D ．是偶函数，且在R 上是减函数
【解答】解：1
()4
x y =为减函数，4x y =为增函数，故函数()f x 为减函数，
又()44x x f x -=-，则()44(44)()x x x x f x f x ---=-=--=-，则函数()f x 为奇函数，
故选：C ．
7．（5分）要得到函数4sin(3)3
y x π
=-的图象，只需要将函数4sin3y x =的图象( )
A ．向左平移9π
个单位 B ．向右平移
9π
个单位 C ．向左平移3
π
个单位
D ．向右平移3
π
个单位
【解答】解：由于4sin(3)4sin3()39y x x ππ
=-=-，
故只需要将函数4sin3y x =的图象向右平移9
π
个单位． 故选：B ．
8．（5分）函数2
()x x
e e
f x x --=的图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，
2
()()x x
e e
f x f x x ---==-，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除A ，
当x →+∞，()f x →+∞排除C ，D ， 故选：B ．
9．（5分）设函数2()cos cos f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期( ) A ．与b 有关，但与c 无关 B ．与b 有关，且与c 有关
C ．与b 无关，且与c 无关
D ．与b 无关，但与c 有关
【解答】解2cos2111
()cos cos cos cos2cos 222
x f x x b x c b x c x b x c +=++=
++=+++Q ； 0b =时，11
()cos222
f x x c =++的最小正周期为π；
0b ≠时，显然有()()f x f x π+≠，(2)()x f x π+=其最小正周期为2π；
而c 不影响周期
()f x ∴的最小正周期与b 有关，但与c 无关；
故选：A ．
10．（5分）已知函数23,0
()(1),0x x x f x ln x x ⎧-+<=⎨+⎩…
，若|()|f x ax …，则a 的取值范围是( )
A ．(-∞，0]
B ．(-∞，1]
C ．[3-，0]
D ．[3-，1]
【解答】解：当0x >时，根据(1)0ln x +>恒成立，则此时0a „．
当0x „时，根据23x x -+的取值为(-∞，0]，2|()|3f x x x ax =-…， 0x =时 左边=右边，a 取任意值．
0x <时，有3a x -…
，即3a -…． 综上可得，a 的取值为[3-，0]， 故选：C ．
11．（5分）已知函数()()f x x R ∈满足()4()f x f x -=-，若函数21
x y x
+=
与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1
()(m
i i i x y =+=∑ )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
【解答】()4()f x f x -=-Q ，()()4f x f x -+=， ()f x ∴的图象关于点(0,2)对称， 211
2x y x x
+=
=+Q ，y ∴关于点(0,2)对称， 1230m x x x x ∴+++⋯+=，123422
m m
y y y y m +++⋯+=
⨯=， ∴1()2m
i i i x y m =+=∑．
故选：C ．
12．（5分）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 的最大值为2
③()f x 在[π-，]π有4个零点④()f x 在区间(,)2
π
π单调递减
其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②③
【解答】解：关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： 对于①：由于()()f x f x -=，所以函数()f x 是偶函数．故正确． 对于②：当0x >时，当2
x π
=
时，函数()f x 的最大值为2，故正确．
对于③()f x 在[π-，]π有3个零点，故错误．
对于④根据函数的图象())sin |||sin |f x x x =+在区间(,)2
π
π都单调递减，所以函数在区间
(,)2
π
π单调递减．故正确． 故选：A ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应位置上. 13．（5
分）已知函数()2)2f x ln x =+，则1
(5)()5
f l
g f lg += 4 ．
【解答】
解：根据题意，函数()2)2f x ln x =+，其定义域为R ，
()2)2f x ln x -=+，
则()()2)2)44f x f x ln x ln x +-=++=， 则1
(5)()(5)(5)45
f l
g f lg f lg f lg +=+-=；
故答案为：4．
14．（5分）已知sin(5)cos(8)tan()
()3sin()cos()
22
f αππααπαππ
αα----=
-+，其中α是第三象限角，且
31
cos()25
πα-
=，则()f α=
． 【解答】解：
Q sin(5)cos(8)tan()(sin )cos (tan )
()tan 3(cos )sin sin()cos()22
f αππααπαααααππαααα------====---+，
又Q 31
cos()25
πα-
=， 1
sin 5
α∴=-，
αQ 是第三象限角，
cos α∴=
sin ()tan cos f αααα∴=-=-
=
故答案为：．
15．（5分）若04
π
α<<，04π
β-
<<，1cos()43πα+=，cos()43πβ-=
，则cos()3
β
α+=
． 【解答】解：Q 04
π
α<<
，
∴
4
4
2π
π
π
α<
+<
，且1
cos()43
πα+=，
∴sin(
)4
π
α+ Q 04π
β-
<<，
∴
4
4
3
3
π
π
β
π
<
-
<
，且cos(
)4
3
π
β
-
=
，
∴sin(
)4
3
π
β
-
， ∴cos()cos[()()]3443
β
ππβ
αα+
=+-- cos()cos()sin()sin()443443
ππβππβ
αα=+-++-
13=+
=
16．（5分）设函数()()f x x R ∈满足()()f x f x -=，()(2)f x f x =-，且当[0x ∈，1]时，3
()f x x =又函数()|cos()|g x x x π=，则函数13
()()()[,]22
h x g x f x =--上的零点个数为 6 ．
【解答】解：因为当[0x ∈，1]时，3()f x x =，所以， 当[1x ∈，2]时，2[0x -∈，1]，3()(2)(2)f x f x x =-=-．
当[0x ∈，1]2时，()cos()g x x x π=；当1[2x ∈，3
]2
时，()cos g x x x π=-．
注意到函数()f x 、()g x 都是偶函数，且(0)(0)f g =，f （1）g =（1）1=，13
()()022
g g ==，
作出函数()f x 、()g x 的草图，函数()h x 除了0、1这两个零点之外， 分别在区间1[2-，0]，[0，1]2，1[2，1]，[1，3
]2
上各有一个零点．
共有6个零点， 故答案为 6．
三、解答题：本大题共6小题共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内. 17．已知(,)2
π
απ∈，5sin α=
（1）求sin()6
π
α+的值；
（2）求5cos(
2)3
π
α-的值． 【解答】解：（1）Q 5
(,),sin 2παπα∈=，
∴25
cos α= ∴sin(
)sin
cos cos sin 6
66
π
π
π
ααα+=+ 12535
(2=⨯155
=
（2）5254sin 22sin cos 2(5ααα===-，213
cos2121255
sin αα=-=-⨯=， ∴555cos(2)cos cos2sin sin 2333πππααα-=-g
1334()()255=⨯-⨯- 343
-=
． 18．已知函数22()sin cos 3cos ()f x x x x x x R =-+∈． （Ⅰ）求()3
f π
的值；
（Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．
【解答】解：函数22()sin cos 23cos ff x x x x x =-+．
化简可得：()3sin 2cos22sin(2)6f x x x x π
=-=-
（Ⅰ）()2sin(2)2sin 23362f ππππ
=⨯-==；
（Ⅱ）()f x 的最小正周期22
T π
π==． 由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
-
+
剟，
得：6
3
k x k π
π
ππ-
+
剟
()f x ∴的单调递增区间为[6k π
π-
，]3
k π
π+．k Z ∈． 19．若函数()y f x =是周期为2的偶函数，当[1x ∈，2]时，()3f x x =-+．在()y f x =的图象上有两点A 、B ，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上． （1）求当[2x ∈，3]时()f x 的解析式；
（2）定点C 的坐标为(0,3)，求ABC ∆面积的最大值． 【解答】解：（1）Q 函数()y f x =是周期为2的偶函数，
当[1x ∈，2]时，()3f x x =-+，[2x ∈-，1]-时，()()3f x f x x =-=+，
∴当[0x ∈，1]时，2[2x -∈-，1]-，()(2)1f x f x x ∴=-=+，
当[2x ∈，3]时，2[0x -∈，1]，()(2)(2)11f x f x x x =-=-+=-
（2）在()y f x =的图象上有两点A 、B ，它们的纵坐标相等，横坐标都在区间[1，3]上． 如图A 、B 的横坐标的差的最大值为2，(0,1)A ，(2,1)B 时， ABC ∆的面积为1
2222
S =⨯⨯=．
20．如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边CD 为半圆的直径，O 为半圆的圆心，
2AB =，1AD =，现要将此木块锯出一个等腰三角形EFG ，其底边EF AB ⊥，点E 在半圆
上．
（1）设6
EOC π
∠=
，求三角形木块EFG 面积；
（2）设EOC θ∠=，试用θ表示三角形木块EFG 的面积S ，并求S 的最大值．
【解答】解：（1）设EF 交CD 交于Q 点，因为6
EOC π
∠=，
所以1
2
EG =
，3OQ =，
1133633
(1)222EFG S EF DQ ∆+==⨯⨯+=
g g ； （2）设EOQ θ∠=，所以[0θ∈，]2π
，sin EQ θ=，cos OQ θ=
所以11
(1sin )(1cos )22EFG S EF AQ θθ∆=⨯=++g
1
(1sin cos sin cos )2
θθθθ=+++ 令sin cos [1t θθ+=∈，2]， 所以22
11(1)(1)224
EFG t t S t ∆-+=++=
， 所以4
π
θ=
，当2t =，
EFG S ∆的最大值为
322
+．
21．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()2()f x f x -=-，则称“局部中心函数”．
（1）已知二次函数2()241()f x ax x a a R =+-+∈，试判断()f x 是否为“局部中心函数”，
并说明理由；
（2）若12()423x x f x m m +=-+-g 是定义域为R 上的“局部中心函数”，求实数m 的取值范围．
【解答】解：（1）由()()2f x f x -+=可得22282(4)0ax a a x -=-=显然有解2x =或2x =-， 故()f x 为“局部中心函数，
（2）若()f x 为局部中心函数，则()()2f x f x -+=有解， 得12124234232x x x x m m m m +--+-+-+-+-=g g ， 令222x x t -+=…，
从而22()22100g t t mt m =-+-=在[2，)+∞有解．
①当g （2）0„时，2222100t mt m -+-=在[2，)+∞有解，
由g （2）0„，即22460m m --„，解得13m -剟
； ②当g （2）0>时，2222100t mt m -+-=在[2，)+∞有解等价于222
4040(2)2(23)0m m g m m >⎧⎪
=-⎨⎪=-->⎩
V …
，
解得3m <„
综上，所求实数m
的取值范围为1m -<„ 22．已知a R ∈，函数21
()log ()f x a x
=+．
（1）当9a =时，解不等式()0f x >；
（2）若关于x 的方程2()log [(3)24]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；
（3）设0a >，若对任意1
[,1]2
t ∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +上的最大值与最小值的差不超
过1，求a 的取值范围．
【解答】解：（1）当9a =时，令21()(9)0f x log x =+>，则1
901
910x x
x ⎧+>⎪⎪
⎪+>⎨⎪≠⎪⎪⎩
，解得18x <-或0x >，
∴所求不等式的解集为1(,)(0,)8
-∞-+∞U ；
（2）方程2()log [(3)24]0f x a x a --+-=即
1(3)24a a x a x +=-+-，
亦即1
(3)4a x a x
=-+-， 设1
(),()(3)4g x h x a x a x
==-+-，则依题意，函数()g x 与函数()h x 在第一象限有且仅有一
个交点，
而函数()g x 为反比例函数，函数()h x 为恒过定点(1,1)--的一条直线，
易知，要使函数()g x 与函数()h x 在第一象限有且仅有一个交点，只需30a ->即可，解得3a >．
∴所求实数a 的取值范围为(3,)+∞；
（3）由复合函数的单调性可知，函数21
()log ()f x a x =+在[t ，1]t +上为减函数，
其中1[,1]2t ∈， 依题意，22110()()11log a log a t t <+-++„，即112()1a a t t +++„，亦即12
1
a t t -
+…， 设1212(1)212121()22,[,1]11112
1t t t q t t t t t t t t t t +-=-
=-=+-=+-∈++++， 设1[1,2]m t =∈，令22()213,[1,2]11
p m m m m m m =+-=++-∈++，
由双勾函数的性质可知，函数()p m 在[1，2]上单调递增，故2
()(2)3
max p m p ==
， ∴实数m 的取值范围为2[,)3
+∞．。