高中理科数学 直线方程与两条直线的位置关系
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y 0 x4 故所求直线方程为 = ,即x+4y-4=0. 2 0 4 4
y kx 1, x 3 y 10 0, y kx 1, ② 2 x y 8 0, 7 由①解得xA= , 3k 1 7 由②解得xB= , k 2
10
①
7 7 ∵点M平分线段AB,∴xA+xB=2xM,即 + =0. 3k 1 k 2
(
0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是
A. , 4 3 2 5 C. , 3 6 2 B. , 3 3 3 ∪ D. 0, 4 , 3
D )
解题导引
高考理数
第九章
§9.1
平面解析几何
直线方程与两条直线的位置关系
知识清单
考点一
1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我 们规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为① 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小 写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线斜率不存在. (2)过两点的直线的斜率公式 0°≤α<180° .
1.斜率k是一个实数,每条直线都存在唯一的倾斜角,但并不是每条直线 都存在斜率.倾斜角为90°的直线斜率不存在. 2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要根据正切函数k=tan α的单调 0, α 2 性,当α∈ 2 时,k由0增大趋近于+∞;当α∈ 2 且α由0增大到
5.点到直线的距离
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=⑤
| Ax0 By0 C | A2 B 2
.
6.两条平行线间的距离
1 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d= 2
| C C2 | A B
2
.
方法技巧
方法 1 求直线的斜率及倾斜角的范围的方法
kPA=
∴kPA<a<kPB,∴-1<tan θ< 3 ,tan θ≠0.
3 解得0<θ< , <θ<π.故选D.
3 4
方法 2 确定直线方程的方法
两个相互独立的条件确定一条直线,因此,求直线方程时,首先,分析是否
具备两个相互独立的条件;其次,恰当地选用直线方程的形式,准确地写
出直线方程,要注意若不能断定直线斜率是否存在,应加以讨论. 求直线方程的一般方法:(1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线 方程,直接求出方程中的系数,写出直线方程. (2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代 入求出直线方程. 另外,从所求的结论来看,若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长,
直线的倾斜角、斜率和方程
经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k=②
y2 y1 x2 x1
.
3.直线方程的五种形式
考点二
1.两条直线平行
点与直线、直线与直线的位置关系
对于两条不重合的直线l1、l2,其斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.特别 地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为平行. 2.两条直线垂直 如果两条直线l1、l2的斜率存在,分别设为k1、k2,则l1⊥l2⇔③ k1· k2=-1 . 3.判断两条直线是否相交 两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:
解析
3 设直线l的倾斜角为θ,且θ∈[0,π),点A(1,-2),B ,0 . 3
直线l:ax-y-1=0(a≠0)经过定点P(0,-1).
1 0 1 (2) =-1,kPB= = 3 . 0 1 3 0 3 3 ∵点(1,-2)和 ,0 在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧, 3
1 1 解得k=- ,故所求直线方程为y=- x+1,即x+4y-4=0. 4 4
解法二:设所求直线与已知直线l1、l2分别交于A、B两点.
∵点B在直线l2:2x+y-8=0上, ∴设B(t,8-2t).又M(0,1)是线段AB的中点, 由中点坐标公式得A(-t,2t-6). ∵点A在直线l1:x-3y+10=0上, ∴(-t)-3(2t-6)+10=0,解得t=4.∴B(4,0),A(-4,2),
则应选用截距式.
例2 过点M(0,1)作直线,使它被两直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得 的线段恰好被M平分,求此直线方程. 解题导引
解析 解法一:过点M且与x轴垂直的直线是y轴,它和两已知直线的交点 分别是 0, 和(0,8),显然不满足中点是点M(0,1)的条件.故可设所求直 3 线方程为y=kx+1,它与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点.
, α 2 2 增大到π(α 2 时,k也是关于α的单调函数,当α在此区间内由
≠π)时,k由-∞趋近于0(k≠0),当然解决此类问题时,也可采用数形结合 思想,借助图形直观地作出判断.
例1
3 (2017江西赣州期末,7)已知点(1,-2)和 3 ,0 在直线l:ax-y-1=0(a≠
A1 x B1 y C1 0, 是否有唯一解. A x B y C 0 2 2 2
4.两点间的距离 平面上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)间的距离公式: |P1P2|=④
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
.
x2 y 2 . 特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=
y kx 1, x 3 y 10 0, y kx 1, ② 2 x y 8 0, 7 由①解得xA= , 3k 1 7 由②解得xB= , k 2
10
①
7 7 ∵点M平分线段AB,∴xA+xB=2xM,即 + =0. 3k 1 k 2
(
0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是
A. , 4 3 2 5 C. , 3 6 2 B. , 3 3 3 ∪ D. 0, 4 , 3
D )
解题导引
高考理数
第九章
§9.1
平面解析几何
直线方程与两条直线的位置关系
知识清单
考点一
1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我 们规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为① 2.直线的斜率 (1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小 写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是90°的直线斜率不存在. (2)过两点的直线的斜率公式 0°≤α<180° .
1.斜率k是一个实数,每条直线都存在唯一的倾斜角,但并不是每条直线 都存在斜率.倾斜角为90°的直线斜率不存在. 2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要根据正切函数k=tan α的单调 0, α 2 性,当α∈ 2 时,k由0增大趋近于+∞;当α∈ 2 且α由0增大到
5.点到直线的距离
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=⑤
| Ax0 By0 C | A2 B 2
.
6.两条平行线间的距离
1 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d= 2
| C C2 | A B
2
.
方法技巧
方法 1 求直线的斜率及倾斜角的范围的方法
kPA=
∴kPA<a<kPB,∴-1<tan θ< 3 ,tan θ≠0.
3 解得0<θ< , <θ<π.故选D.
3 4
方法 2 确定直线方程的方法
两个相互独立的条件确定一条直线,因此,求直线方程时,首先,分析是否
具备两个相互独立的条件;其次,恰当地选用直线方程的形式,准确地写
出直线方程,要注意若不能断定直线斜率是否存在,应加以讨论. 求直线方程的一般方法:(1)直接法:根据已知条件,选择恰当形式的直线 方程,直接求出方程中的系数,写出直线方程. (2)待定系数法:先设出直线方程,再根据已知条件求出待定系数,最后代 入求出直线方程. 另外,从所求的结论来看,若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长,
直线的倾斜角、斜率和方程
经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1≠x2)的直线的斜率公式为k=②
y2 y1 x2 x1
.
3.直线方程的五种形式
考点二
1.两条直线平行
点与直线、直线与直线的位置关系
对于两条不重合的直线l1、l2,其斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.特别 地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2的关系为平行. 2.两条直线垂直 如果两条直线l1、l2的斜率存在,分别设为k1、k2,则l1⊥l2⇔③ k1· k2=-1 . 3.判断两条直线是否相交 两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:
解析
3 设直线l的倾斜角为θ,且θ∈[0,π),点A(1,-2),B ,0 . 3
直线l:ax-y-1=0(a≠0)经过定点P(0,-1).
1 0 1 (2) =-1,kPB= = 3 . 0 1 3 0 3 3 ∵点(1,-2)和 ,0 在直线l:ax-y-1=0(a≠0)的两侧, 3
1 1 解得k=- ,故所求直线方程为y=- x+1,即x+4y-4=0. 4 4
解法二:设所求直线与已知直线l1、l2分别交于A、B两点.
∵点B在直线l2:2x+y-8=0上, ∴设B(t,8-2t).又M(0,1)是线段AB的中点, 由中点坐标公式得A(-t,2t-6). ∵点A在直线l1:x-3y+10=0上, ∴(-t)-3(2t-6)+10=0,解得t=4.∴B(4,0),A(-4,2),
则应选用截距式.
例2 过点M(0,1)作直线,使它被两直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得 的线段恰好被M平分,求此直线方程. 解题导引
解析 解法一:过点M且与x轴垂直的直线是y轴,它和两已知直线的交点 分别是 0, 和(0,8),显然不满足中点是点M(0,1)的条件.故可设所求直 3 线方程为y=kx+1,它与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点.
, α 2 2 增大到π(α 2 时,k也是关于α的单调函数,当α在此区间内由
≠π)时,k由-∞趋近于0(k≠0),当然解决此类问题时,也可采用数形结合 思想,借助图形直观地作出判断.
例1
3 (2017江西赣州期末,7)已知点(1,-2)和 3 ,0 在直线l:ax-y-1=0(a≠
A1 x B1 y C1 0, 是否有唯一解. A x B y C 0 2 2 2
4.两点间的距离 平面上的两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)间的距离公式: |P1P2|=④
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
.
x2 y 2 . 特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=