2017-2018学年上海复旦附中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海复旦附中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）
1.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）
A. B. C. D.
2.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）
A. B. C. D.
3.如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 lg（x+y）=lg x+lg y，
那么正确的选项是（）
A. 是区间上的减函数，且
B. 是区间上的增函数，且
C. 是区间上的减函数，且
D. 是区间上的减函数，且
4.若函数f（x）的反函数为f-1（x），则函数f（x-1）与f-1（x-1）的图象可能是（）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
5.函数f（x）=的定义域是______．
6.函数y=x2+2（-1≤x≤0）的反函数是f-1（x）=______．
7.设，，则f（x）•g（x）=______．
8.若正数a、b满足log a（4b）=-1，则a+b的最小值为______．
9.幂函数f（x）=（t3-t+1）x3t+1是奇函数，则f（2）=______．
10.函数的单调递减区间是______．
11.函数y=的值域是______．
12.设关于x的方程|x2-6x+5|=a的不同实数解的个数为n，当实数a变化时，n的可能取
值组合的集合为______．
13.对于函数f（x）=x2+ax+4，若存在x0∈R，使得f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个
不动点，已知f（x）在x∈[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围______．
14.若函数f（x）=|x-1|+m|x-2|+6|x-3|在x=2时取得最小值，则实数m的取值范围是______．
15.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2-ax+a，其中a∈R．
①f（-1）=______；
②若f（x）的值域是R，则a的取值范围是______．
16.已知函数，x∈[1，2]的最大值为f（t），则f（t）的解析式为f
（t）=______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
17.已知关于x的不等式log2（-2x2+3x+t）＜0，其中t∈R．
（1）当t=0时，求该不等式的解；
（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．
18.已知函数（x＞0）．
（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）；
（2）若x≥2时，不等式＞恒成立，求实数a的范围．
19.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合
污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为，x∈[0，24），其中a是与气象有关的参数，且∈，．若用每天f（x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=，x∈[0，24），求t的取值范围；
（2）求M（a）的表达式，并规定当M（a）≤2时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．
20.指数函数y=g（x）满足g（2）=4，且定义域为R的函数是奇函数．
（1）求实数m、n的值；
（2）若存在实数t，使得不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0成立，求实数k的取值范围．
21.设集合M为下述条件的函数f（x）的集合：①定义域为R；②对任意实数x1、x2
（x1≠x2），都有＜．
（1）判断函数f（x）=x2是否为M中元素，并说明理由；
（2）若函数f（x）是奇函数，证明：f（x）∉M；
（3）设f（x）和g（x）都是M中的元素，求证：F（x）=
＜也
是M中的元素，并举例说明，G（x）=
＞不一定是M中的元素．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A.在（0，+∞）上是增函数，满足条件，
B．y=（x-1）2在（-∞，1]上为减函数，在[1，+∞）上为增函数，不满足条件．C．y=x-2在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．
D．y=log0.5（x+1）在（0，+∞）上为减函数，不满足条件．
故选：A
根据函数单调性的性质分别进行判断即可．
本题主要考查函数单调性的判断，根据常见函数的单调性是解决本题的关键．比较基础．
2.【答案】C
【解析】
解：作出函数f（x）的图象，如图所示，
当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，
y=3，
函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m]上上有
最大值3，最小值2，
则实数m的取值范围是[1，2]．
故选：C．
本题利用数形结合法解决，作出函数f（x）的图象，如图所示，当x=1时，y最小，最小值是2，当x=2时，y=3，欲使函数f（x）=x2-2x+3在闭区间[0，m]上的上有最大值3，最小值2，则实数m的取值范围要大于等于1而小于等于2即可．
本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】
解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，
由x+y=xy得：，
解得：x+y≥4．
再由x+y=xy得：（x≠1）．
设x1＞x2＞1，
则=．
因为x1＞x2＞1，
所以x2-x10，x2-1＞0．
则，即f（x1）＜f（x2）．
所以y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，
综上，y=f（x）是区间（1，+∞）上的减函数，且x+y≥4．
故选：C．
由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x，y的关系式，利用基本不等式求出x+y的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上的增减性，二者结合可得正确答案．
本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题．
4.【答案】A
【解析】
解：函数f（x-1）是由f（x）向右平移一个单位得到，
f-1（x-1）由f-1（x）向右平移一个单位得到，
而f（x）和f-1（x）关于y=x对称，
从而f（x-1）与f-1（x-1）的对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即
y=x-1，排除B，D；
A，C选项中各有一个函数图象过点（2，0），则平移前的点坐标为（1，0），则反
函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点（1，1），由此得：A选项有可能，C 选项排除；
故选：A．
f（x）和f-1（x）关于y=x对称是反函数的重要性质；而将f（x）的图象向右平移a 个单位后，得到的图象的解析式为f（x-a）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移．
用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键．
5.【答案】{x|x≥-2且x≠1}
【解析】
解：由题意，要使函数有意义，则，
解得，x≠1且x≥-2；
故函数的定义域为：{x|x≥-2且x≠1}，
故答案为：{x|x≥-2且x≠1}．
由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．
本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．
6.【答案】，x∈[2，3]
【解析】
解：∵y=x2+2（-1≤x≤0）
∴x=-，2≤y≤3，
故反函数为，x∈[2，3]．
故答案为：，x∈[2，3]．
由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．
本题考查反函数的求法，考查计算能力，是基础题，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域．
7.【答案】x，x∈（1，+∞）
【解析】
解：∵，，
∴f（x）的定义域是（1，+∞），g（x）的定义域是[1，+∞），
∴f（x）•g（x）=x，x∈（1，+∞），
故答案为：x，x∈（1，+∞）．
根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．
本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的定义域，是一道基础题．
8.【答案】1
【解析】
解：根据题意，若正数a、b满足log a（4b）=-1，则有a=，即ab=，
则a+b≥2=1，
即a+b的最小值为1；
故答案为：1．
根据题意，由对数的运算性质可得a=，即ab=，进而由基本不等式的性
质可得a+b≥2=1，即可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及对数的运算性质，关键是分析a、b的关系．
9.【答案】2
【解析】
解：函数f（x）=（t3-t+1）x3t+1是幂函数，
∴t3-t+1=1，
解得t=0或t=±1；
当t=0时，f（x）=x是奇函数，满足题意；
当t=1时，f（x）=x4是偶函数，不满足题意；
当t=-1时，f（x）=x-2是偶函数，不满足题意；
综上，f（x）=x；
∴f（2）=2．
故答案为：2．
根据幂函数的定义求出t的值，再验证f（x）是否为奇函数，
从而求出f（2）的值．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
10.【答案】（-2，1]
【解析】
解：要求函数的单调递减区间，
需求函数y=，（8+2x-x2＞0）的增区间，
由8+2x-x2＞0可得-2＜x＜4，对应的二次函数，开口向下，
增区间为：（1，4），减区间为：（-2，1]．
由复合函数的单调性可知：函数的单调递减区间是：（-2，1]．故答案为：（-2，1]．
由对数函数为增函数，要求复合函数的减区间，需求真数的减区间，分式的分母的增区间，利用函数的定义域以及二次函数的单调性转化求解即可．本题考查复合函数的单调性，分式函数、二次函数和对数函数的单调性，是中档题．
11.【答案】（-1，）
【解析】
解：函数y===-1．
∵2x+3＞3，
∴0＜．
∴函数y=的值域是（-1，）
故答案为（-1，）
分离常数后，根据指数函数的值域即可求函数y的范围．
本题考查分离常数法转化为指数函数的值域的运用，属于基础题．
12.【答案】{0，2，3，4}
【解析】
解：关于x的方程
|x2-6x+5|=a，
分别画出y=|x2-6x+5|
与y=a的图象，如图：
①若该方程没有实数
根，则a＜0；n=0；
②若a=0，则该方程
恰有两个实数解，n=2；
③若a=4时，该方程有三个不同的实数根，n=3；
④当0＜a＜4，该方程有四个不同的实数根，n=4；
⑤当a＞4，该方程有两个不同的实数根，n=2；
n的可能取值组合的集合为{0，2，3，4}
故答案为：{0，2，3，4}．
将方程|x2-6x+5|=a的实数解的个数问题转化为函数图象的交点问题，作图分析即得答案．
本题考查了根的存在性及根的个数判断．华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．”数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．
13.【答案】，
【解析】
解：根据题意，f（x）=x2+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，
得x=x2+ax+4在[1，3]有两个实数根，
即x2+（a-1）x+4=0在[1，3]有两个不同实数根，
令g（x）=x2+（a-1）x+4．在[1，3]有两个不同交点，
∴，即，
解得：a∈[-，-3）；
故答案为：[-，-3）．
不动点实际上就是方程f（x0）=x0的实数根．二次函数f（x）=x2+ax+4有不动点，是指方程x=x2+ax+4有实根．即方程x=x2+ax+4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该
题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．
14.【答案】[5，+∞）
【解析】
解：当x＜1时，f（x）=1-x+2m-mx+18-6x=19+2m-（m+7）x，
当1≤x＜2时，f（x）=x-1+2m-m，x+18-6x=17+2m-（m+5）x，f（1）=12+m，
2≤x＜3时，f（x）=x-1+mx-2m+18-6x=17-2m+（m-5）x，f（2）=7，
当x≥3时，f（x）=x-1+mz-2m+6x-18=-19-2m+（m+7）x，f（3）=m+2，
若函数f（x）=|x-1|+m|x-2|+6|x-3|在x=2时取得最小值，
则
解得m≥5，
故m的取值范围为[5，+∞），
故答案为：[5，+∞），
根据条件可得，化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到则
解得即可．
本题考查了函数最值和绝对值函数，并考查了函数的单调性，属于中档题．
15.【答案】-1；（-∞，0]∪[4，+∞）
【解析】
解：①函数f（x）是定义在R上的奇函数，
当x＞0时，f（x）=x2-ax+a，其中a∈R，
f（-1）=-f（1）=-（1-a+a）=-1；
②若f（x）的值域是R，
由f（x）的图象关于原点对称，可得
当x＞0时，f（x）=x2-ax+a，
图象与x轴有交点，
可得△=a2-4a≥0，
解得a≥4或a≤0，
即a的取值范围是（-∞，0]∪[4，+∞）．
故答案为：①-1 ②（-∞，0]∪[4，+∞）．
①运用奇函数的定义，计算即可得到所求值；
②由f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与x轴有交点，由判别式不小于0，解不等式即可得到所求范围．
本题考查函数的奇偶性的运用，考查函数的值域的应用，注意运用二次函数的性质和对称性，考查运算能力，属于中档题．
16.【答案】，
，＜＜，
【解析】
解：根据题意，函数，
其导数g′（x）=（t-1）+=，
令h（x）=（t-1）x2+4，
令h（x）=0，即（t-1）x2+4=0可得，x2=，
分5种情况讨论，
①，t＞1时，h（x）=（t-1）x2+4为开口向上的二次函数，在[1，2]上，有h（x）＞0，则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
则g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）=2（t-1）-=2t-4，
②，t=1时，h（x）=4，在[1，2]上，有h（x）＞0，
则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
则g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）=2（t-1）-=2t-4，
③，0≤t＜1时，h（x）=（t-1）x2+4为开口向下的二次函数，且h（0）=4，且h（2）=t ＞0，
则在[1，2]上，有h（x）＞0，
则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
则g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）=2（t-1）-=2t-4，
④，当-3＜t＜0时，h（x）=（t-1）x2+4为开口向下的二次函数，
令h（x）=0，即（t-1）x2+4=0可得x=±，
有1＜＜2，
则有在[1，）上，有h（x）＞0，则有g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
在（，2]上，有h（x）＜0，则有g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
此时g（x）在[1，2]上的最大值为g（）=-4，
⑤，当t≤-3时，h（x）=（t-1）x2+4为开口向下的二次函数，
令h（x）=0，即（t-1）x2+4=0可得x=±，
此时≤1，
在[1，2]上，有h（x）＜0，
则有g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
此时g（x）在[1，2]上的最大值为g（1）=t-5；
综合可得：；
故答案为：．
根据题意，由函数g（x）的解析式，对其求导可得数g′（x）=（t-1）+=
，令h（x）=（t-1）x2+4，结合二次函数的性质，对t分5种情况讨论，每种情况下，分析h（x）的符号，即可得g′（x）的符号，分析可得函数g（x）的单调性，即可得g（x）在区间[1，2]上的最大值，综合即可得答案．
本题考查函数最值的计算，涉及函数导数的性质以及应用，注意对k进行分类讨论．
17.【答案】解：（1）关于x的不等式log2（-2x2+3x+t）＜0，
当t=0时，不等式为log2（-2x2+3x）＜0，
即0＜-2x2+3x＜1，
等价于，
解得＜＜
＜或＞
，
即0＜x＜或1＜x＜；
∴不等式的解集为（0，）∪（1，）；
（2）不等式log2（-2x2+3x+t）＜0有解，∴0＜-2x2+3x+t＜1，
化为2x2-3x＜t＜2x2-3x+1；
设f（x）=2x2-3x，x∈R，
∴f（x）min=f（）=-，且f（x）无最大值；∴实数t的取值范围是（-，+∞）．
【解析】
（1）t=0时不等式为log2（-2x2+3x）＜0，化为0＜-2x2+3x＜1，
求出解集即可；
（2）由不等式log2（-2x2+3x+t）＜0有解，
得出0＜-2x2+3x+t＜1，化为2x2-3x＜t＜2x2-3x+1；
设f（x）=2x2-3x，求出f（x）min即可得出结论．
本题考查了对数函数的定义与不等式的解法和应用问题，是中档题．
18.【答案】解：（1）∵y=（）2=（1+）2（x＞0）．∴y＞1（2分）
由原式有：=，∴x+1=x
∴x=（2分）
∴f-1（x）=，x∈（1，+∞）（2分）
（2）∵（x-1）f-1（x）＞a（a-）
∴（x-1）＞a（a-）（x＞0）
∴（+1）（-1）＞a（a-）
∴+1＞a2-a
∴（a+1）＞a2-1（2分）
①当a+1＞0即a＞-1时＞a-1对x≥2恒成立-1＜a＜+1
②当a+1＜0即a＜-1时＜a-1对x≥2恒成立
∴a＞+1此时无解（3分）
综上-1＜a＜+1．（1分）
a∈，．
【解析】
（1）从条件中函数式f（x）=（）2=y，（x＞0）中反解出x，再将x，y互换即得f（x）的反函数f-1（x）．
（2）利用（1）的结论，将不等式（x-1）f-1（x）＞a（a-）化成（a+1）＞a2-1，下面对a分类讨论：①当a+1＞0；②当a+1＜0．分别求出求实数a的取值范围，最后求它们的并集即可．
本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；
（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．
19.【答案】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（9分）．
解：（1）当x=0时，t=0；…（2分）
当0＜x＜24时，因为x2+1≥2x＞0，所以＜，…（4分）
即t的取值范围是，．…（5分）
（2）当∈，时，由（1），令，则∈，，…（1分）
所以=
，
，＜
…（3分）
于是，g（t）在t∈[0，a]时是关于t的减函数，在∈，时是增函数，因为，，由，
所以，当时，；
当＜时，，
即，
，＜
…（6分）
由M（a）≤2，解得．…（8分）
所以，当∈，时，综合污染指数不超标．…（9分）
【解析】
（1）利用取倒数，求导数，确定函数的单调性，可得t的取值范围；
（2）分段求出每天的综合放射性污染指数不超过2时a的范围，即可得到结论．本题主要考查了函数模型的选择与应用及分类讨论的思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20.【答案】解：（1）∵指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，
∴g（x）=2x；
∴f（x）=是奇函数．
∵f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
即=0，
∴n=1；
∴f（x）=，
又由f（1）=-f（-1）知=-，
∴m=2；
（2）由（1）知f（x）==-=-+
易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
又∵f（x）是奇函数，
从而不等式：f（t2-2t）+f（2t2-k）＞0等价于f（t2-2t）＞-f（2t2-k）=f（k-2t2），
∵f（x）为减函数，
∴t2-2t＜k-2t2，
∴k＞3t2-2t=3（t-）2-，
∴k＞-．
【解析】
（1）根据指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，即可求出y=g（x）的解析式；由题意知f（0）=0，f（1）=-f（-1），解方程组即可求出m，n的值；
（2）由已知易知函数f（x）在定义域f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．我们可将f （t2-2t）+f（2t2-k）＞0转化为k＞3t2-2t，根据二次函数的性质即可得到实数k的取值范围．
本题考查的知识点：待定系数法求指数函数的解析式，函数的奇偶性和函数单调性的性质，体现了转化的思想，考查了运算能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，属中档题．
21.【答案】解：（1）函数f（x）=x2的定义域为R，
由f（x1）+f（x2）=x12+x22，
f（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x1x2+x22，
f（x1+x2）-f（x1）-f（x2）=-x12+x1x2-x22
=-（x1-x2）2＜0，
即有f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），
则函数f（x）=x2为M中元素；
（2）证明：函数f（x）是奇函数，定义域为R，
且f（-x）=-f（x），
图象关于原点对称，
若x＞0时，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），
则x＜0时，f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2），
则条件②不满足，
则f（x）∉M；
（3）证明：设f（x）和g（x）都是M中的元素，
当x1，x2对应的点在f（x）或g（x）的图象上，
由题设可得结论成立；
若x1，x2对应的点一个在f（x）图象上，一个在g（x）的图象上，
由f（x1）+g（x2）＞g（x1）+g（x2）＞g（x1+x2），
或f（x1）+g（x2）＞f（x1）+f（x2）＞f（x1+x2），
由题设可得结论成立，
综上可得F（x）=
＜也是M中的元素；
比如：f（x）=x2，g（x）=（x+3）2，
如x≥-1.5，可得G（x）=x2，
x＜-1.5，可得G（x）=（x+3）2，
取x1=-2，x2=-1，
可得x1+x2=-，G（-）=，
f（x1）+f（x2）=+=1，
可得f（x1+x2）＞f（x1）+f（x2），
则G（x）不一定为M中的元素．
【解析】
（1）函数f（x）=x2的定义域为R，运用作差法结合新定义，即可得到结论；（2）运用奇函数的图象关于宇原点对称，即可得证；
（3）运用新定义和分类讨论，即可得证；举例f（x）=x2，g（x）=（x+3）2，如x≥-1.5，可得G（x）=x2，x＜-1.5，可得G（x）=（x+3）2，取x1=-2，x2=-1，即可得到结论．本题考查新定义的理解和运用，考查作差法和举反例法，考查推理能力和运
算能力，属于中档题．。