苏科版八年级数学上册全等三角形与轴对称图形的综合应用提高练习(含答案解析)

全等三角形与轴对称图形的综合应用提高练习
1.如图,AABC中，乙BAC二4ADBBE平分/ABC交AD于点EJH为BC上一点，且BH=BA交AC于点F,连接FH.
(1)求证:AE= FH;
(2)作EG〃BC交AC于点G若AG=5, AC=8,求FG的长.
2.如图，在等边AABC中，线段AM为BC边上的高，D是AM上的点，以CD为一边，在
CD的下方作等边aCDE,连结BE.
(1)填空：乙ACB二；乙CAM 二；
(2)求证:AACD^ABEC ；
(3)延长BE交射线AM于点F,请把图形补充完整，并求乙BFM的度数；
(4)当动点D在射线AM上，且在BC下方时，设直线BE与直线AM的交点为F. 4BFM 的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，并直接写出/BFM的度数；若变化，请写出变化规律.
3.如图，乙BAD二4CAE二90°, AB=AD, AE=AC, AF1CB,垂足为F .
(1)求证：Z^ABC二ZiADE；
(2)求心FAE的度数；
⑶求证:CD=2BF+DE .
4.在aABO 中NHOB = 90。

，AO=BO,直线MN 经过点O, 且AC_L MN 于C, BD，MN
于D
(1)当直线MN绕点O旋转到图①的位置时，求证：CD=AC+BD ；
(2)当直线MN绕点。

旋转到图②的位置时，求证：CD=AC-BD；
(3)当直线MN绕点。

旋转到图③的位置时，试问：CD、AC、BD有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

5.综合题。

(1)问题发现：如图1, 4ACB和4DCE均为等边三角形，点A, D, E在同一直线上，连接BE.
①乙AEB的度数为
②猜想线段AD. BE之间的数量关系为：,并证明你的猜想.
(2)拓展探究：如图2, ZVXCB和4DCE均为等腰直角三角形，4ACB二乙DCE二90°,点A, D, E在同一直线上，CM为4DCE中DE边上的高，连接BE,请求出乙AEB的度数及线段CM, AE, BE之间的数量关系.
6.如图，4ACB和4ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.
（1）求证：AD=BE；
（2）求乙AEB的度数.
7.如图点P、Q分别是边长为4cm的等边AABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A,点Q 从
顶点B同时出发，且它们的速度都是lcm/s.
（1）连接AQ、CP交于点M,则在P、Q运动的过程中，NCMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（2）当t=s时，Z\PBQ是直角三角形？
（3）如图2,若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线RQ、CP交
点为则NCXQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.
如图①，在aABC中，若AB=5, AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将△ ACD绕着点D逆时针旋转180。

得到aEBD),把AB, AC, 2AD集中在aABE中，利用三角形三边的关系即可判断,中线AD的取值范围是；
(2)问题解决：如图②，在^ABC中,D是BC边上的中点,DE_LDF于点D、DE交AB于点EJDF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CFAEF：
⑶问题拓展:如图③，在四边形ABCD中,NB+ND=180o.CB=CD.以C为顶点作NECE使得角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF,且EF=BE+DF,试探索NECF与NA 之间的数量关系,并加以证明.
参考答案
1 .【答案】⑴ 解：・・• BE 平分/ABC
「.2.ABF 二4 CBF 又乙 BAC 二4 ADB
A ZAFE=ZEDB=ZAEF
AAE=AF
AB = DH 在AABF 和4ABF 中 ZABF = NHBF BF = BF
所以△ABF/^ABF
AF 二 FH
・・・AE=FH
(2)解：由⑴得△ABF/Z \ABF
乙 AFE 二4 EDB 二 4AEF 二乙 BFH
AD 〃FH
/. ZFHC=ZADC
・ ・・ EG//BC
・ ・・乙AEG 二乙ADC
・ ・,乙FHC 二4AEG ； /AGE 二乙C
ZAGE= ZC
ZAEG= ZFHC
AE = FH /.△AEG^AFHC
FC 二AG 二5
「AC 二 8
・ •・FG=2
2 .【答案】(1) 60°； 30°
(2)证明:••・△ABC 与ADEC 都是等边三角形,二.AC=BC, CD=CE, 乙 ACD+4 DCB 二乙 DCB +乙 BCE,
・・, ZACD=ZBCE.
在aADC 和aBEC 中，
AC = BC
[ZACD = NBCE ,
CD = CE
/.△ACD^ABCE(SAS);
{ 乙 ACB 二4 DCE=60°,
(3)补全图形如下：
由(1) (2)得乙CAM=30°, AADC^ABEC,
・・・4CBE = 4 cAM = 30°,
vZBMF=90°,
A ZBFM=60° ；
(4)当动点D在射线AM上，且在BC下方时，画出图形如下：
AABC与4DEC都是等边三角形，
・・・AC=BC, CD=CE,乙ACB 二乙DCE=600,
4ACB+乙DCB二4DCB +乙DCE,
.•.乙ACD 二4 BCE,
在4ACD和4BCE中，
AC = BC
[ZACD = NBCE , CD = CE
.-.△ACD^ABCE(SAS), A ZCBE=ZCAD=30°, XvAFIBC,
・・・Rt2\BFM 中，^BFM=90°-30°=60°o
3.【答案】(1)证明：・•.Z.BAD , CAE=90°,
・••乙BAC+乙CAD = 90°,乙CAD+4 DAE=90。

，・•・乙BAC二乙DAE,
在aBAC和4DAE中，
AB =AD
{ABAC = ZDAE , AC = AE
/.△BAC^ADAE (SAS)
(2)解:・・2CAE=90。

, AC=AE,
「.4 E=45°,
由⑴知△BAC/ZiDAE,
・二乙BCA 二乙E=45°,
vAFIBC,
.・・ZCFA=9O°,
A乙CAF=45°,
・・,乙FAE二4 FAC+乙CAE=45。

+90°=1350
(3)证明：延长BF到G,使得FG二FB,
c
•/AF1BG,
・・・4AFG 二乙AFB 二90°,
在4AFB和4AFG中,
BF = GF
(ZAFB = ZAFG , AF =AF
.-.△AFB^AAFG (SAS),
「.AB二AG,4ABF二乙G,
•/△BAC^ADAE,
・・・AB二AD,乙CBA二4EDA, CB=ED, AAG=AD, ZABF=ZCDA, ・•・ ZG=ZCDA,
•/ZGCA=ZDCA=45°, 在4CGA和4CDA中，
/GCA = NDCA
(ZCGA = ZCDA •
AG = AD
/.△CGA^ACDA (AAS)
・・・CG=CD：
・・・ CG = CB + BF+FG = CB+2BF = DE+2BF,
「,CD=2BF+DE .
4.【答案】(1)解:如图①,
图①
「△AOB 中，ZAOB=90°,
/. ZAOC+zLBOD=90°,
直线MN经过点O,且AC«LMN于C, BD_LMN于D, /.
ZACO=ZBDO=90°
・・・4AOC+乙OAC = 90°,
/. ZOAC=ZBOD,
在aACO和△ODB中，NACO = NODB= 90°
{ ZOAC =4 BOD
AO = OB /.△ACO^AODB (AAS), AOC=BD. AC=OD, 「・CD = AC+BD
(2)解：如图②，
・••△AOB 中，ZAOB=90°,
A ZAOC+ZBOD=90°,
直线MN经过点O,且AC_LMN于C, BD_LMN于D, /. ZACO=ZBDO=90°
「• 4 AOC+乙OAC 二90。

，
・・・乙OAC二4BOD,
在△ACO和aODB中，
ZACO = NODB= 90°
{ ZOAC= ZBOD，AO = OB
.,.△ACO^AODB (AAS),
AOC=BD, AC=OD,
ACD = OD-OC=AC-BD,即CD二AC-BD
(3)解：如图③，
8
「△AOB 中，ZAOB=90°,
AZAOC+ZBOD=90°,
直线MN经过点O,且AC_LMN于C, BD_LMN于D, /. ZACO=ZBDO=90°
・••乙AOC+乙OAC = 90°,
「.乙o AC 二4 BOD, 在△ACO和△ODB中，
NACO = NODB= 90°
{ ZOAC=4BOD，
AO = OB
.,.△ACO^AODB (AAS),
J.OC=BD, AC=OD,
J・ CD = OC-OD = BD-AC, 即CD 二BD-AC.
5.【答案】解：⑴ ①•「△ACB和aDCE均为等边三角形,
A CA=CB, CD=CE,乙ACB二乙DCE=60°,
A ZAC
B -乙DCB = 4DCE- ZDCB,即4 A8 二乙BCE, 在4ACD和4BCE中，
CA = CB (ZACD = NBCE , CD = CE /.△ACD^ABCE, A ZCEB=ZCDA=120°, 乙AEB=60°,
故答案为:60° ；②AD二BE, 证明：•・•△ACD/Z\BCE,
・・・AD=BE,
故答案为：AD=BE；
(2)解：ZAEB=90°, AE-BE=2CM, 证明：•・•△DCE是等腰直角三角形，CM是中线，
二.CM二DM二EM= \ DE,
在4ACD和4BCE中，
CA = CB
{乙4CD = /BCE , CD = CE
.,.△ACD^ABCE,
・••乙CDA 二4 CEB,
v 乙CDA=135。

，
A ZAEB=135°-45°=90°,
「・BE = AD,
・・・AE-AD=DE二2CM,
・・・AE-BE=2cM .
6.【答案】（1）证明：,「△ACB和4ECD都是等边三角形,
二•AC二BC, CD=CE,乙ACB二乙DCE=60°,
X V ZACD=ZACB- ZDCB,乙BCE二乙DCE-
乙DCB, ・・・4ACD二4BCE,
AC = BC
在4ACD 和4BCE 中，｛NHCD = NBCE
CD = CE
.,.△ACD^ABCE (SAS).
・・・AD二BE
(2)解：在等边aECD中，
乙CDE 二4 CED = 60°,
「・zLADC=120°,
V AACD^ABCE,
J• 4 BEC 二4 ADC = 1200,
・・・4AEB二4 BEC -乙CED = 1200-60°=60° . 7,解:(1) ZCMQ=60°
・••等边三角形中，AB=AC, ZB=ZCAP=60°
又由条件得AP二BQ,
AAABQ^ACAP (SAS),
A NBAQ二NACP,
，ZCMQ=ZACP+ZCAM= ZBAQ+ZCAM=ZBAC=60'
4
(2)3秒或秒
(3)ZCMQ=120°
■:在等边三角形中,AB=AC,
ZB=ZCAP=60° , .••ZPBC=ZACQ=120Q , 又由条件得BP 二CQ, AAPBC^AACQ (SAS), ，NBPC= NMQC, 又「NPCB =/MCQ,
AZCMQ=ZPBC=180° -60° 二1200 8.【详解】（1）延长AD到E,使AD=DE,连接BE,
TAD是△回（：的中线，
，BD=CD,
在4ADC与4EDB中，
AD = ED
ZADC = ZEDB,
CD = BD
AAADC^AEDB （SAS）,
，EB=AC,
VAB=5, AC=3,
根据三角形的三边关系得：AB-AC<AE<AC+AB,
，2<AE<8,
VAE=2AD
A1<AD<4,
即：BC边上的中线AD的取值范围1<ADV4,
故答案为1<AD<4：
（2）过点B作BG〃AC交FD的延长线于G,连接EG.
ZDBG=ZDCF.
•・・D为BC的中点, ，BD=CD,
XVZBDG=ZCDF, AABGD^ACFD (ASA). ，GD=FD, BG=CF, 又•••DEJ_DF,
，EG=EF (垂直平分线到线段端点的距离相等).
，在AEBG 中,BE—BG>EG,
即BE+CF>EF：
(3) CA+2ZECF=180°,理由如下：
延长EB到G,使BG=DF,连接CG,
VZD+ZABC=180% ZABC+nCBG=180°,
二nD=：：CBG,
又••,CD=CB, DF=BG,
二二CDFg 二CBG,
ACF=CG,二DCF=2BCG,
二EF=DF+BE, EG=BE+BG, DF=BG,
，EF=EG,
又二EC=EC,
，二CEFgZkCEG,
:.NECF=2ECG,
VZBCD=ZDCF+OBCF,
二二BCD=：ZBCF+：：BCG=CFCG=Z：ECF+：：
ECG=22ECF,
二2D+二A+^ABC+二BCD=360。

，匚D+二ABC=180。

，二二A+二BCD=180。

，
AZA+2ZECF=180°.。