2024年高考数学冲刺真题整理题型一及答案

冲刺2024年高考数学真题重组卷
真题重组卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}
2
60N x x x =--≥，则M N ⋂=
（ ）A ．{}
2,1,0,1--B ．{}
0,1,2C ．{}
2-D ．2
2.（2023新课标全国Ⅱ卷）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）． A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（2022•新高考Ⅰ）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m = ，CD n = ，则
(CB =
)
A ．32m n
- B ．23m n
-+
C ．32m n +
D ．23m n
+ 4.（2023全国乙卷数学(理)）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A ．30种
B ．60种
C ．120种
D ．240种
5.（2022•甲卷）函数()(33)cos x x f x x -=-在区间[2π
-
，]2
π
的图像大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6.（全国甲卷数学（理））“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（ ）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件
D ．既不是充分条件也不是必要条件
7.（全国甲卷数学（文）（理））已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）
A ．
15
B C D 8.（2023全国乙卷数学（文））函数()3
2f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是
（ ）A ．()
,2-∞-B ．()
,3-∞-C ．()
4,1--D ．()
3,0-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．（2023新课标全国Ⅰ卷）有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ）
A ．2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数
B ．2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数
C ．2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差
D ．2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差
10．（2023新课标全国Ⅱ卷）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，
120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则（ ）．
A ．该圆锥的体积为π
B ．该圆锥的侧面积为
C ．AC =
D ．PAC △
11．（2023新课标全国Ⅱ卷）设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线
()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．A ．2
p =B ．8
3
MN =
C ．以MN 为直径的圆与l 相切
D ．OMN 为等腰三角形
第II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（2023•甲卷）若2(1)sin(2
y x ax x π
=-+++
为偶函数，则a = ．
13.（2023新课标全国Ⅱ卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
14．（2023新高考天津卷）过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若8OP =，则p 的值为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15．（13分）（新题型）设函数()ln f x x ax b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为63y x =-.(1)求,a b ；(2)证明：()3
5f x x
>-
.16．（15分）（2022•新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；
（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 )．
17．（15分）（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，
60ADB ADC ∠=∠=︒，E 为BC 中点．
（1）证明BC DA ⊥；
（2）点F 满足EF DA =
，求二面角D AB F --的正弦值．
18．（17分）（2022•新高考Ⅰ）已知点(2,1)A 在双曲线22
22
:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；
（2）若tan PAQ ∠=PAQ ∆的面积．
19．（17分）（2016·江苏·高考真题）记{}1,2,,100U = .对数列{}()*
n a n N ∈和U 的子集T ，
若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t = ，定义12k T t t t S a a a =+++ .例如：{}=1,3,66T 时，
1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,,T k ⊆ ，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C C D D S S S ⋂+≥.
冲刺2024年高考数学真题重组卷
真题重组卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}
2
60N x x x =--≥，则M N ⋂=
（ ）A ．{}2,1,0,1--B ．{}0,1,2C ．{}
2-D ．2
【答案】C
【详解】方法一：因为{}
(][)2
60,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，
所以M N ⋂={}2-．故选：C ．
方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．
2.（2023新课标全国Ⅱ卷）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限
【答案】A
【详解】因为()()2
13i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，
则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.
3．（2022•新高考Ⅰ）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m = ，CD n =
，则
(CB =
)
A ．32m n
- B ．23m n
-+
C ．32m n +
D ．23m n
+ 【答案】B 【解析】如图，
1111()2222CD CA AD CA DB CA CB CD CA CB CD =+=+=+-=+- ，
∴1322
CB CD CA =-
，即3232CB CD CA n m =-=- ．故选：B ．4.（2023全国乙卷数学(理)）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种
【答案】C
【详解】首先确定相同得读物，共有1
6C 种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有2
5A 种，
根据分步乘法公式则共有12
65C A 120⋅=种，故选：C.
5.（2022•甲卷）函数()(33)cos x x f x x -=-在区间[2π
-
，]2
π
的图像大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】()(33)cos x x f x x -=-，可知()(33)cos()(33)cos ()x x x x f x x x f x ---=--=--=-，函数是奇函数，排除BD ；当1x =时，f （1）1(33)cos10-=->，排除C ．故选：A ．6.（全国甲卷数学（理））“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（ ）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【详解】当22sin sin 1αβ+=时，例如π
,02
αβ=
=但sin cos 0αβ+≠，
即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；
当sin cos 0αβ+=时，2222sin sin (cos )sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.
综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件，故选B
7.（全国甲卷数学（文）（理））已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）
A ．
1
5
B C D 【答案】D
【详解】由e =，则2222
222
15c a b b a a a
+==+=，解得2b a =，所以双曲线的一条渐近线不妨取2y x =，
则圆心(2,3)到渐近线的距离
d =
=
所以弦长||AB ===
.故选：D 8.（2023全国乙卷数学（文））函数()3
2f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是
（ ）A ．(),2-∞-B ．(),3-∞-C ．()4,1--D ．()
3,0-【答案】B
【详解】3()2f x x ax =++，则2()3f x x a '=+，
若()f x 要存在3个零点，则()f x 要存在极大值和极小值，则a<0，
令2()30f x x a '=+=，解得x =，
且当,x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
时，()0f x '>，
当x ⎛∈ ⎝，()0f x '<，
故()f x
的极大值为f ⎛ ⎝
，极小值为
f ，若()f x 要存在3
个零点，则00f f ⎧⎛>⎪ ⎪⎝⎨⎪<⎪⎩
，即2020-><，解得3a <-，
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．（2023新课标全国Ⅰ卷）有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（ ）
A ．2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数
B ．2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数
C ．2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差
D ．2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD
【解析】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412
x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=
-=
，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得11
2,6
m n ==
；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为34
2
x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，
则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126
,,,x x x ⋅⋅⋅
的标准差，
例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()1
2468101276
n =+++++=，
标准差1s =
4,6,8,10，则平均数()1
4681074
m =+++=，
标准差2s ==
>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，
则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.
10．（2023新课标全国Ⅱ卷）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，
120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则（ ）．
A ．该圆锥的体积为π
B ．该圆锥的侧面积为
C ．AC =
D ．PAC △【答案】AC
【解析】依题意，120APB ∠=︒，2PA =，所以1,OP OA OB ===
A 选项，圆锥的体积为2
1
π1π3
⨯⨯
⨯=，A 选项正确；
B 选项，圆锥的侧面积为π2=，B 选项错误；
C 选项，设
D 是AC 的中点，连接,OD PD ，
则,AC OD AC PD ⊥⊥，所以PDO ∠是二面角P AC O --的平面角，则45PDO ∠=︒，所以1OP OD ==，
故AD CD ===AC =C 选项正确；
D 选项，
PD ==1
22PAC S =⨯= ，D 选项错误.
故选：AC.
11．（2023新课标全国Ⅱ卷）设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线
()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．A ．2
p =B ．8
3
MN =
C ．以MN 为直径的圆与l 相切
D ．OMN 为等腰三角形
【答案】AC
【解析】A 选项：直线)1y x =-过点()1,0，所以抛物线()2
:20C y px p =>的焦点()1,0F ，
所以
1,2,242
p
p p ===，则A 选项正确，且抛物线C 的方程为24y x =.B 选项：设()()1122,,,M x y N x y ，
由)214y x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩消去y 并化简得()()231033310x x x x -+=--=，解得1213,3
x x ==，所以12116
3233MN x x p =++=++=，B 选项错误.
C 选项：设MN 的中点为A ，,,M N A 到直线l 的距离分别为12,,d d d ，因为()()12111
222
d d d MF NF MN =
+=+=，即A 到直线l 的距离等于MN 的一半，所以以MN 为直径的圆与直线l 相切，C 选项正确.
D 选项：直线)1y x =-0y +=，
O 0y +=的距离为d =
所以三角形OMN 的面积为11623⨯=
由上述分析可知)1213113y y ⎫=-=-=-=⎪⎭
所以OM ON ====
所以三角形OMN 不是等腰三角形，D 选项错误.故选：AC.
第II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共14分。

12．（2023•甲卷）若2(1)sin(2
y x ax x π
=-+++为偶函数，则a = ．
【答案】2．
【解析】根据题意，设22()(1)sin()21cos 2
f x x ax x x x ax x π
=-+++=-+++，
其定义域为R ，
若()f x 为偶函数，则22()21cos 21cos ()f x x x ax x x x ax x f x -=+-++=-+++=，变形可得(2)0a x -=，必有2a =．
13.（2023新课标全国Ⅱ卷）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．【答案】28
【详解】方法一：由于
21
42
=，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以正四棱锥的体积为()1
446323⨯⨯⨯=，
截去的正四棱锥的体积为()1
22343⨯⨯⨯=，
所以棱台的体积为32428-=.
方法二：棱台的体积为(1
3164283
⨯⨯+=.
14．（2023新高考天津卷）过原点的一条直线与圆22:(2)3C x y ++=相切，交曲线22(0)y px p =>于点P ，若8OP =，则p 的值为_________．
【答案】6
【详解】易知圆()2
223x y ++=和曲线22y px =关于x 轴对称，不妨设切线方程为y kx =，
0k >，
=
k =
22y y px ⎧=⎪
⎨=⎪⎩解得：00x y =⎧⎨=⎩
或23p x y ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
，
所以483p OP ===，解得：6p =．
当k =四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

资料来源：微信公众号 智慧学库
15．（13分）（新题型）设函数()ln f x x ax b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为63y x =-.(1)求,a b ；(2)证明：()3
5f x x
>-
.【解】（1）函数()f x 的定义域为()()10,,f x a x
∞'+=+.将1x =代入63y x =-，解得3y =，即()13f =，由切线方程63y x =-，则切线斜率()16f '=.故3,16a b a +=+=，解得5,2==-a b .（2）证明：由（1）知()ln 52f x x x =+-
，
从而()35f x x >-
等价于2
3ln 525
x x x x >-+-.设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x ='+.
所以当10,e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭x 时，()0g x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>.
故()g x 在10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
从而()g x 在()0,∞+上的最小值为11e e g ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
设函数()2
2
312525555h x x x x ⎛
⎫=-+-=--- ⎪⎝
⎭，
从而()h x 在()0,∞+上的最大值为12155e h ⎛⎫
=-<- ⎪⎝⎭
.
故()()>g x h x ，即()3
5f x x
>-.
16．（15分）（2022•新高考Ⅱ）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；
（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 )．
【解析】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
50.00110150.00210250.01210350.01710450.02310550.02010650.01710750.00610850.0021047.9
x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的频率为：(0.0120.0170.0230.0200.017)100.89++++⨯=，
∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率为0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40，50)为事件B ，此人患这种疾病为事件C ，则()0.1%0.02310
(|)0.0014()16%
P BC P C B P B ⨯⨯=
=≈．17．（15分）（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，60ADB ADC ∠=∠=︒，E 为BC 中点．
（1）证明BC DA ⊥；
（2）点F 满足EF DA =
，求二面角D AB F --的正弦值．
【解析】证明：（1）连接AE ，DE ，DB DC = ，E 为BC 中点．DE BC ∴⊥，
又DA DB DC == ，60ADB ADC ∠=∠=︒，ACD ∴∆与ABD ∆ 均为等边三角形，
AC AB ∴=，
AE BC ∴⊥，AE DE E = ，
BC ∴⊥平面ADE ，
AD ⊂ 平面ADE ，BC DA ∴⊥．
（2）设2DA DB DC ===，
∴BC =
DE AE ==2AD =，2224AE DE AD ∴+==，
AE DE ∴⊥，
又AE BC ⊥ ，DE BC E = ，AE ∴⊥平面BCD ，
以E
为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
D
，A
，B ，(0E ，0，0)，
EF DA = ，
∴(F ，
∴(DA =
，AB =
，(AF =
，
设平面DAB 与平面ABF 的一个法向量分别为1111(,,)n x y z =
，2222(,,)n x y z = ，
则111100⎧+=⎪=，令11x =，解得111y z ==
，2220
==⎪⎩，令21y =，解得20x =，21z =，故1(1n =
，1，1)，2(0n = ，1，1)，
设二面角D AB F --的平面角为θ，
则1212|||cos |||||n n n n θ⋅== ，
故sin θ=
，
所以二面角D AB F --
．18．（17分）（2022•新高考Ⅰ）已知点(2,1)A 在双曲线22
22
:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；
（2
）若tan PAQ ∠=PAQ ∆的面积．【解析】（1）将点A 代入双曲线方程得
2241
11
a a -=-，化简得4
2
440a a -+=，2
2a ∴=，故双曲线方程为2
212x y -=，
由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，设1(P x ，12)(y Q x ，2)y ，则联立双曲线得：222(21)4220k x kmx m -+++=，
故122421
km
x x k +=--，21222221m x x k +=-，
121212121111
02222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----，
化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--=，
故22
22(22)4(12)(4(1)02121k m km
m k m k k ++-----=--，即(1)(21)0k m k ++-=，而直线l 不过A 点，故1k =-；（2）设直线AP 的倾斜角为α
，由tan PAQ ∠=，
∴
2
2tan
21tan 2
PAQ
PAQ ∠=∠-
tan 2PAQ ∠=由2PAQ απ+∠=，∴2
PAQ
πα-∠=，
得tan AP k α==
，即
111
2
y x -=-，
联立1112y x -=-，及221112x y -=
得11x y ==
，
同理22x y =
=
故12122068
,39
x x x x +==，
而12||2|,||2|AP x AQ x =-=-，由tan PAQ ∠=，得sin PAQ ∠=，
故12121||||sin 2()4|2PAQ S AP AQ PAQ x x x x ∆=
∠=-++=
．19．（17分）（2016·江苏·高考真题）记{}1,2,,100U = .对数列{}()*
n a n N ∈和U 的子集T ，
若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t = ，定义12k T t t t S a a a =+++ .例如：{}=1,3,66T 时，
1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S .
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,,T k ⊆ ，求证：1T k S a +<；（3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥，求证：2C C D D S S S ⋂+≥.
【解】（1）由已知得1*13,n n a a n N -=⋅∈.
于是当{}2,4T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=.又30r S =，故13030a =，即11a =.
所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈.（2）因为{}1,2,,T k ⊆ ，1*
30,n n a n N -=>∈，
所以1
121133(31)32
k k
k r k S a a a -≤+++=+++=
-< .因此，1r k S a +<.
（3）下面分三种情况证明.
①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S ⋂+=+≥+=.②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S ⋂+=+=≥.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.
令U E C D =⋂ð，U F D C =⋂ð则E ≠∅，F ≠∅，E F ⋂=∅.于是C E C D S S S ⋂=+，D F C D S S S ⋂=+，进而由≥C D S S ，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.
由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k
l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.
又k l ≠，故1l k ≤-，
从而1
1211
31133
222
l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤
，故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+ ，即21C C D D S S S ⋂+≥+.
综合①②③得，2+≥ C C D D S S S .
冲刺2024年高考数学真题重组卷真题重组卷01（参考答案）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。

12345678C
A
B
C
A
B
D
B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

91011BD
AC
AC
第II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．2
13．28
14．6
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15．（13分）
【解】（1）函数()f x 的定义域为()()1
0,,f x a x
∞'+=+.将1x =代入63y x =-，解得3y =，即()13f =，由切线方程63y x =-，则切线斜率()16f '=.故3,16a b a +=+=，解得5,2==-a b .
（2）证明：由（1）知()ln 52f x x x =+-，从而()35f x x >-
等价于2
3ln 525
x x x x >-+-.设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x ='+.
所以当10,e ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭x 时，()0g x '<，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0g x '>.
故()g x 在10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，
从而()g x 在()0,∞+上的最小值为11e e g ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
设函数()2
2
312525555h x x x x ⎛
⎫=-+-=--- ⎪⎝
⎭，
从而()h x 在()0,∞+上的最大值为12155e h ⎛⎫
=-<- ⎪⎝⎭
.
故()()>g x h x ，即()3
5f x x >-.
16．（15分）
【解析】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
50.00110150.00210250.01210350.01710450.02310550.02010650.01710750.00610850.0021047.9
x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的频率为：(0.0120.0170.0230.0200.017)100.89++++⨯=，
∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率为0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40，50)为事件B ，此人患这种疾病为事件C ，则()0.1%0.02310
(|)0.0014()16%
P BC P C B P B ⨯⨯=
=≈．17．（15分）
【解析】证明：（1）连接AE ，DE ，DB DC = ，E 为BC 中点．DE BC ∴⊥，
又DA DB DC == ，60ADB ADC ∠=∠=︒，
ACD ∴∆与ABD ∆ 均为等边三角形，
AC AB ∴=，
AE BC ∴⊥，AE DE E = ，
BC ∴⊥平面ADE ，
AD ⊂ 平面ADE ，BC DA ∴⊥．
（2）设2DA DB DC ===，
∴BC =
DE AE ==2AD =，2224AE DE AD ∴+==，
AE DE ∴⊥，
又AE BC ⊥ ，DE BC E = ，AE ∴⊥平面BCD ，
以E
为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
D
，A
，B ，(0E ，0，0)，
EF DA = ，
∴(F ，
∴(DA =
，AB =
，(AF =
，
设平面DAB 与平面ABF 的一个法向量分别为1111(,,)n x y z =
，2222(,,)n x y z = ，
则111100
⎧+=⎪=，令11x =，解得111y z ==
，
22200
==⎪⎩，令21y
=，解得20x =，21z =，故1(1n = ，1，1)，2(0n = ，1，1)，
设二面角D AB F --的平面角为θ，
则1212|||cos |||||n
n n n θ⋅==
，
故sin θ=，
所以二面角D AB F --
．
18．（17分）
【解析】资料来源: 微信公众号 智慧学库
（1）将点A 代入双曲线方程得224
111a a -=-，
化简得42440a a -+=，22a ∴=，故双曲线方程为2
212x y -=，
由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，设1(P x ，12)(y Q x ，2)y ，则联立双曲线得：222(21)4220k x kmx m -+++=，故122421km x x k +=--，212222
21m x x k +=-，
1
2121212111102222
AP AQ y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----，化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--=，故2222(22)
4(12)(4(1)02121k m km
m k m k k ++-----=--，
即(1)(21)0k m k ++-=，而直线l 不过A 点，故1k =-；
（2）设直线AP 的倾斜角为α
，由tan PAQ ∠=，
∴22tan 21tan 2
PAQ
PAQ ∠=∠-
tan 2PAQ ∠=由2PAQ απ+∠=，∴2PAQ
πα-∠=，
得tan AP k α==
，即111
2
y x -=-，
联立1112y x -=-，及2
2
1112x y -=
得11x y ==，
同理22x y ==故12122068
,39x x x x +==，
而12||2|,||2|AP x AQ x =-=-
，由tan PAQ ∠=
，得sin PAQ ∠=，
故12121
||||sin 2()4|2PAQ S AP AQ PAQ x x x x ∆=∠=-++=．
19．（17分）
【解】（1）由已知得1*
13,n n a a n N -=⋅∈.
于是当{}2,4T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=.又30r S =，故13030a =，即11a =.
所以数列{}n a 的通项公式为1*
3,n n a n N -=∈.
（2）因为{}1,2,,T k ⊆ ，1*
30,n n a n N -=>∈，所以1
121
133(31)32k k k r k S a a a -≤+++=+++=-< .
因此，1r k S a +<.
（3）下面分三种情况证明.
①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S ⋂+=+≥+=.②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S ⋂+=+=≥.③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令U E C D =⋂ð，U F D C =⋂ð则E ≠∅，F ≠∅，E F ⋂=∅.于是C E C D S S S ⋂=+，D F C D S S S ⋂=+，进而由≥C D S S ，得E F S S ≥.设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k
l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.
又k l ≠，故1l k ≤-，从而11211
31133222l
l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++=≤≤ ，
故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+ ，即21C C D D S S S ⋂+≥+.综合①②③得，2+≥ C C D D S S S .。