《一元一次不等式》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《不等式与一次不等式》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】
1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；
2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；
3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；
4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；
5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
要点诠释：
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a
>，x a
≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：a<b,b<c则a<c.这个性质也叫做不等式的传递性.
不等式的基本性质2：不等式两边都加上(或减去)同一个数，所得到的不等式仍成立．
如果a＞b，那么a±c＞b±c
如果a<b，那么a±c<b±c
不等式的基本性质3：不等式两边都乘(或都除以)同一个正数，所得到的不等式仍成立；
不等式两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所
得到的不等式成立.
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc,a b
c c >;
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc,a b
c c ．
要点二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”
“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
要点诠释：
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
要点诠释：
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．
【典型例题】
类型一、不等式
1.用适当的语言翻译下列小题：
（1）x与9的差是正数或0；
（2）b与-5的和既不是正数也不是负数；
（3）y的5倍既大于x又小于3x+2；
（4）a的2倍与-4的差小于5或大于7；
（5）1
02
y x -≥； （6）1
2302
x -<-<；
（7）
（8） 【答案与解析】
解：（1）x -9≥0； （2）b+(-5)=0； （3）x<5y<3x+2；
（4）2a-(-4)<5或2a-(-4)>7； （5）y 的一半与x 的差非负；
（6）x 的一半与3的差既大于-2又小于0； （7）x>-3或写作：大于-3的数；
（8）2<x ≤3或写作：既大于2又小于等于3的数. 【总结升华】对“既……又……”，“既是……也是……”，“是……或是……”等连接词也要逐步领会积累．
2. 设x>y ，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?
【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。

【答案与解析】
解：可利用作差比较法比较大小．
-(8-l0x)-[ -(8-l0y)] =-8+10x+8-10y =10x -10y ．
∵x>y ，∴10x>10y ，∴10x -10y>0 ∴-(8-l0x)>-(8-l0y)．
按题意-(8-l0x)>0，则10x>8．
∴45
x >
． ∴x 的最小正整数值是1．
【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断：
①0a b a b >⇔-> ②0a b a b =⇔-= ③0a b a b <⇔-< 举一反三：
【变式】己知：x<0.5，比较2-4x 和18x-9的大小. 【答案】
解：∵2-4x-（18x-9）=11-22x
而又∵x<0.5，∴-22x>-11 即11-22x>0
∴2-4x>18x-9
类型二、一元一次不等式
【高清课堂：一元一次不等式章节复习 410551 例3（3）】
3. 已知关于x 的不等式
()()1151222x ax -->+的解集是12
x >，求a 的取值范围. 【答案与解析】
解：法一：522x ax -->+，
(1)9a x ∴->，
∵它的解集为12
x >
， 109112a a ->⎧⎪∴⎨=⎪-⎩
， 17a ∴=-.
法二：12x =
是关于x 方程()()11
51222
x ax --=+ 的解， 1111
(5)1(2)2222
a ∴--=+，解得17a =- 17a ∴=-.
【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解.
举一反三：
【变式1】如果关于x 的不等式06>+--x k 正整数解为1、2、3, 则正整数ｋ应取怎样的值?
【答案】解不等式得：6+-<k x
∵ｋ为正整数且6+-<k x 中的正整数解为1，2，3 ∴46=+-k ∴2=k ．
【变式2】关于x 的不等式﹣2x+a≥5的解集如图所示，则a 的值是 ．
【答案】3.
解：解不等式﹣2x+a≥5得x≤
，
∵由图可知，不等式的解集为x≤﹣1， ∴
=﹣1，解得a=3．
故答案为：3．
类型三、一元一次不等式组
4.（2016•德州）解不等式组：
．
【思路点拨】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 【答案与解析】
解：解不等式5x +2≥3（x ﹣1），得：x ≥﹣， 解不等式1﹣
＞x ﹣2，得：x ＜，
故不等式组的解集为：﹣≤x ＜．
【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【高清课堂：一元一次不等式章节复习 410551 例4（2）】 举一反三：
【变式】若关于不等式组15
3
2223
x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨
+⎪<+⎪⎩只有四个整数解，求a 的取值范围. 【答案】
解：由
15
32x x +>-，得21x <， 由22
3
x x a +<+，得32x a >-+， ∴不等式组的解集为3221a x -+<<，
∵只有四个整数解，∴163217a ≤-+<，即1453
a -<≤-， ∴a 的取值范围：1453
a -<≤-
. 5. 某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台．三种家电的进价和售价如下表所示：
(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?
【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15-2x)台．根据两个关键词：“不大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据x的取值讨论确定进货方案．(2)分别求出(1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴．
【答案与解析】
解：(1)设购进电视机、冰箱各x台．
依题意，得
1
152
2
200024001600(152)32400 x x
x x x
⎧
-≤
⎪
⎨
⎪++-≤
⎩
解这个不等式组得，6≤x≤7
∵ x为正整数．∴ x＝6或7．
方案一：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
方案二：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．
(2)方案1需补贴：
(6×2100+6×2500+3×1700)×13％＝4251(元)．
方案二需补贴：
(7×2100+7×2500+1×1700)×13％＝4407(元)．
∴国家财政最多需补贴农民4407元．
【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：①根据题意构建不等式(组)；解这个不等式(组)；②由不等式(组)的整数解的个数确定方案．
类型四、综合应用
6.已知不等式组
1
3
4(1)1
x
m
n x
+
⎧
-≥
⎪
⎨
⎪--<
⎩
的解集为
3
2
2
x
<≤，试求m，n的值．
【答案与解析】
解：解不等式
1
3
x
m
+
-≥，得31
x m
≤-．
解不等式 n-4(x-1)＜1，得
3
4
n
x
+ >．
因为不等式组的解集为3
2 2
x
<≤，
所以有
312
33
42
m
n
-=
⎧
⎪
⎨+
=
⎪⎩
，∴
1
3
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：m、n的值分别1和3．
【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题意，建立关于m、n的方程求解．
7.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B两类蔬菜，两种植户
说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等． (1)求A 、B 两类蔬菜每亩平均收入各是多少元?
(2)某种植户准备租20亩地用来种植A 、B 两类蔬菜，为了使总收入不低于63000元，且种植A 类蔬菜的面积多于种植B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有租地方案．
【答案与解析】
解：(1)设A 、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是x 元，y 元． 由题意得：3125002316500x y x y +=⎧⎨
+=⎩ 解得3000
3500
x y =⎧⎨=⎩
答：A 、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是3000元，3500元．
(2)设用来种植A 类蔬菜的面积a 亩，则用来种植B 类蔬菜的面积为(20-a)亩．
由题意得：30003500(20)63000
20a a a a +-≥⎧⎨>-⎩
解得：10＜a ≤14．
∵ a 取整数为：11、12、13、14．
【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，读懂统计表，能够从统计表中获得正确信息，及熟练解方程组和不等式组是解题的关键． 举一反三：
【变式】某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1500元．
（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？
（2）据市场调研，1株甲种花木售价为760元， 1株乙种花木售价为540元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株,那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？ 【答案】
解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x 元和y 元．
由题意得：⎩⎨⎧=+=+15003170032y x y x ， 解得：⎩
⎨⎧==300400
y x ．
（2）设种植甲种花木为a 株，则种植乙种花木为（3a+10）株．
则有：⎩⎨⎧
≥+-+-≤++21600
)103)(300540()400760(30000)103(300400a a a a
解得：
13
270
9160≤≤a 由于a 为整数，∴a 可取18或19或20，所以有三种具体方案： ①种植甲种花木18株，种植乙种花木3a+10=64株； ②种植甲种花木19株，种植乙种花木3a+10=67株； ③种植甲种花木20株，种植乙种花木3a+10=70株.。